大学文科数学1

1、大大 学学 文文 科科 数数 学学目录l前言l第一章 微积分的基础和研究对象l1极限、实数与集合在微积分中的作用l2微积分的研究对象函数l第二章 微积分的直接基础极限l1 从阿基里斯追赶乌龟谈起数列极限l2 函数极限l3 极限应用的一个例子连续函数数学数学发展的五个时期发展的五个时期 数学的萌芽时期 初等数学时期 变量数学时期 近代数学时期 现代数学时期数学的萌芽时期数学的萌芽时期（至公元前六、五世纪）（至公元前六、五世纪）l大约在三百万年前，人类还处于茹毛饮血的原始时代，以采集野果，围猎野兽为生. 在集体劳动和“平均”分配的体制下，他们学会了在捕获一头猎物后用一块石子、一根木头来代表如此等等

2、. 后来，人类在日常生活和生产实践中渐渐产生了计数的意识，并摸索出了多种计数方法，开始了结绳计数，掷石数羊和土地测量. 这也就是数学的源起.l巴比伦，古埃及，古印度初等数学时期初等数学时期古希腊数学（公元前古希腊数学（公元前6 6世纪至公元世纪至公元6 6世纪）世纪）（公元前6世纪至公元17世纪）第一个时期：从伊奥尼亚学派到柏第一个时期：从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪中叶到公元前三世纪 l伊奥尼亚学派（伊奥尼亚学派（泰勒斯泰勒斯，几何论证之父），几何论证之父）开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数

3、学史上是一个不寻常的飞跃.l毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派“万物皆数万物皆数”，勾股定理，勾股定理l柏拉图学派柏拉图学派 “不懂几何者不得入内不懂几何者不得入内” 重视数学的严谨性，在教学中，坚持准确地定义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明，系统地运用分析方法和推理方法.第一次数学危机第一次数学危机l希帕索斯，的发现l否定了毕达哥拉斯学派的信条 l直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的. 从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物.l第一次数学危机的产物古典逻辑与欧氏几何学2第一章第一章 微积分的

4、基础微积分的基础和研究对象和研究对象进入封建时代后，数学的发展经历了一个黑暗的时期. 直到欧洲文艺复兴，数学重新进入了一个伟大的时代！1 1 微积分的基础集合、实数和极限微积分的基础集合、实数和极限l1.1 从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起（1 1）微积分的建立）微积分的建立 进入进入17世纪，科技发展给数学提出了四世纪，科技发展给数学提出了四类问题：类问题： 瞬时速度问题； 曲线的切线； 函数极值问题；a. 求积问题(曲线长度、图形面积等)。b. 英国数学家牛顿（英国数学家牛顿（Newton,1642-1727）和德国数学家莱布尼兹和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)

5、分别独立地建立了微积分。分别独立地建立了微积分。牛顿 莱布尼茨c.牛顿、莱布尼茨对微积分的主要贡献牛顿、莱布尼茨对微积分的主要贡献 澄清概念澄清概念特别是建立导数（变化率）特别是建立导数（变化率）的概念；的概念； 提炼方法提炼方法从解决具体问题的方法中提从解决具体问题的方法中提炼、创立出普遍适用的微积分方法；炼、创立出普遍适用的微积分方法； 改变形式改变形式把概念与方法的几何形式变把概念与方法的几何形式变成解析形式，使其应用更广泛；成解析形式，使其应用更广泛； 确定关系确定关系确定微分和积分互为逆运算。确定微分和积分互为逆运算。 （2 2）微积分的特点）微积分的特点 与以往的数学相比：微积分的

6、突出与以往的数学相比：微积分的突出特点是可以研究不断变化的事物现特点是可以研究不断变化的事物现象象 运动，是变量数学的标志。运动，是变量数学的标志。（3 3）微积分的应用）微积分的应用 从从17世纪末到世纪末到19世纪初，微积分理世纪初，微积分理论被广泛而有效地应用于物理、天论被广泛而有效地应用于物理、天文等领域。文等领域。（4 4）微积分存在的问题）微积分存在的问题理论体系粗糙，极不严密。它的一理论体系粗糙，极不严密。它的一些定理和公式在推导过程前后出现些定理和公式在推导过程前后出现逻辑矛盾，使人们感到难以理解，逻辑矛盾，使人们感到难以理解，这种矛盾集中体现在对这种矛盾集中体现在对“无穷小量

7、无穷小量”的理解与处理中。的理解与处理中。第二次数学危机第二次数学危机l无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾. 牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替. 但是，他始终无法解决上述矛盾. 莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁. l英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数) “是消失了的量的鬼魂”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误， “是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果” . 很显然，贝克莱抓住了

8、当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，尽管他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索，事实上大大地促进了数学发展.l罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集.”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象. 1919世纪初，法国数学家柯西建立了严格世纪初，法国数学家柯西建立了严格的极限理论，后来德国数学家魏尔斯特的极限理论，后来德国数学家魏尔斯特拉斯等加以完善，从而形成了拉斯等加以完善，从而形成了严密的实严密的实数理论数理论。由此把微积分的无矛盾性问题。由此把微积分的无矛盾性问题归结为实数系统的无矛盾问题。归结为实数系统的无矛盾问题。（

9、5 5）微积分的严密化）微积分的严密化微积分得以严密化的基础是：微积分得以严密化的基础是：实数系统的完备性（或连续性）实数系统的完备性（或连续性）对象：函数内容：微分、积分，以及连接微分与积分的桥梁微积分基本定理。工具：极限微积分研究的对象、内容及工具微积分研究的对象、内容及工具函数：函数：物质世界的基本模型物质世界的基本模型世界是物质的，物质是运动的，运动是世界是物质的，物质是运动的，运动是相互联系的。这种相互联系的物质运动大都相互联系的。这种相互联系的物质运动大都可以被数学家抽象为以可以被数学家抽象为以数量之间的变化关系数量之间的变化关系为基本特征为基本特征的的数学模型数学模型函数函数。数

10、学模型。数学模型是人类认识与改造世界的一个基本手段。是人类认识与改造世界的一个基本手段。有些事物的变化是离散的有些事物的变化是离散的比如：比如：随着时间的推移，中国奥运金牌的数量；随着时间的推移，中国奥运金牌的数量；随着时间的推移，母鸡下蛋的数量；随着时间的推移，母鸡下蛋的数量；随着重量的增加，邮局邮寄包裹的价格；随着重量的增加，邮局邮寄包裹的价格；随着路程的增大，乘坐出租车的费用；随着路程的增大，乘坐出租车的费用；0 xy0 xy0 xy有些事物的变化则是连续的有些事物的变化则是连续的比如：比如：随着时间的推移，一辆汽车行走距离、速度随着时间的推移，一辆汽车行走距离、速度的变化；人的动作；的

11、变化；人的动作；随着时间的推移，某地气温的变化；随着时间的推移，某地气温的变化；随着半径的增大，圆盘面积的变化；随着半径的增大，圆盘面积的变化；随着气压的增高，水的沸点的变化；随着气压的增高，水的沸点的变化；0 xy0 xy0 xy常值函数；常值函数；幂函数与根式函数；幂函数与根式函数；三角函数与反三角函数；三角函数与反三角函数；指数函数与对数函数指数函数与对数函数通过它们的有限次四则运算、复合运算所得到的函通过它们的有限次四则运算、复合运算所得到的函数及其反函数。数及其反函数。函数既有具有具体表达式的初等函数函数既有具有具体表达式的初等函数也有更多的不能具体通过代数式表示、也有更多的不能具体

12、通过代数式表示、但却具有实际意义的函数，以及一般的但却具有实际意义的函数，以及一般的抽象函数。抽象函数。微积分：微积分：研究连续性变化研究连续性变化连续性变化的情况涉及到每一个瞬间，连续性变化的情况涉及到每一个瞬间，涉及到涉及到“无穷小无穷小”的时间段内的变化情况，的时间段内的变化情况，人类是无法精确捕捉到的。如何研究？人类是无法精确捕捉到的。如何研究？动画片如何表现连续动作？动画片如何表现连续动作？切片！很短时间内的一种静止画面。切片！很短时间内的一种静止画面。“微小的差异微小的差异”是微分积分的奥秘！是微分积分的奥秘！观察某一微小变化观察某一微小变化 = = 微分微分连接一系列微小变化连接

13、一系列微小变化 = =积分积分微分：微分：函数的局部性质函数的局部性质函数表示的是因变量依赖于自变量的变化关函数表示的是因变量依赖于自变量的变化关系，函数值反映的是变化结果，但不能反映系，函数值反映的是变化结果，但不能反映变化速度。函数的微分刻画的正是函数的瞬变化速度。函数的微分刻画的正是函数的瞬时变化速度。时变化速度。平均速度平均速度 VS VS 瞬时速度瞬时速度积分：积分：函数的整体性质函数的整体性质一个运动器每一时刻都有一个瞬时速度，一个运动器每一时刻都有一个瞬时速度，从而会行走一段距离；但是在一定时间内，从而会行走一段距离；但是在一定时间内，速度可能在变，如何知道变速运动在一定时速度可

14、能在变，如何知道变速运动在一定时间内的运行路程，这就是积分问题。积分问间内的运行路程，这就是积分问题。积分问题是研究函数的整体变化性质。题是研究函数的整体变化性质。对于一个给定函数来说，局部与整体是对于一个给定函数来说，局部与整体是一个事物的两个方面，二者是对立的统一。一个事物的两个方面，二者是对立的统一。因此，微分与积分具有密切关系，积分因此，微分与积分具有密切关系，积分问题是由函数的局部性质研究整体性质。建问题是由函数的局部性质研究整体性质。建立二者关系的桥梁是立二者关系的桥梁是 微积分基本定理微积分基本定理牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式。极限：极限：人类认识无限的必要手段人类认识

15、无限的必要手段由于生理的原因，人类只能看到有限时由于生理的原因，人类只能看到有限时间、有限范围内的事物；只能判断、测量在间、有限范围内的事物；只能判断、测量在一定时间段内事物的变化量与平均变化速度。一定时间段内事物的变化量与平均变化速度。要认识无限变化的事物，要确定事物瞬时变要认识无限变化的事物，要确定事物瞬时变化的情况等，极限是一个有效工具。化的情况等，极限是一个有效工具。平均速度平均速度 VS VS 瞬时速度瞬时速度 时刻时刻 t 之后之后 s 秒内的平均速度秒内的平均速度= = s 秒内的行走路程秒内的行走路程 d/ /s时间幅度时间幅度 s 无限趋近于无限趋近于0 0 时刻时刻 t 的

16、瞬时的瞬时速度速度直边图形面积直边图形面积 VS VS 曲边曲边图形面积图形面积 abxyoabxyo00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91微积分研究函数的基本观点是微积分研究函数的基本观点是以静代动；以直代曲。以静代动；以直代曲。p传统的处理方法u视为公理；u利用实数的直观表示：无限小数

17、；利用实数的直观表示：无限小数；u利用戴德金分割理论。利用戴德金分割理论。1.31.3 实数系的建立及邻域概念实数系的建立及邻域概念什么是“数” ？数是用来反映量的，是量的抽象.自然数：0，1，2，3，. 分数：有限小数或无限循环小数.分数都是有限小数或无限循环小数，反之亦然.回忆回忆有理数（有理数（rational number): 0 和正负分数和正负分数.无理数（irrational number): 正负无限不循环小数.实数无理数有理数整数（整数（integer)integer)：0 0， . ., 2, 1记号：u有理数集 Q；u实数集 R数系扩充的科学道理自然数中减法产生负数， 整

18、数系统；整数中除法产生分数， 有理数系统；自然数中开方产生无理数， 实数系统；负数中开方产生虚数， 复数系统。p 有理数集是最小的数域（代数性质） 有理数的运算及其法则来源于整数；有理数的运算及其法则来源于整数；有理数集在四则运算下是封闭的，而有理数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，且加法、乘法满足结合律与交换律，并且乘法对加法满足分配律，具有这并且乘法对加法满足分配律，具有这种性质的数集叫做种性质的数集叫做数域数域。有理数集的性质有理数集的性质p 有理数是有序的、可数的（集合性质） 像自然数一样，有理数可以比较大像自然数一样，有理数可以比较大小，是有序的，因此可以在数

19、轴上小，是有序的，因此可以在数轴上排列出来。可以与自然数一一对应。排列出来。可以与自然数一一对应。-1 0 1p 有理数在数轴上是稠密的、和谐的（几何性质）。 稠密性：任意两个有理数之间，必然任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，而不管这两个有存在第三个有理数，而不管这两个有理数有多么接近。理数有多么接近。 和谐性：有理数之间相处得亲密无间，有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定的有理数，永远找不对任意一个给定的有理数，永远找不到一个与之最接近的有理数。到一个与之最接近的有理数。011x这里这里有有有有理数理数这两位这两位之间有之间有有理数有理数从代数上看，从代数上看，有理数在四则运算下

20、是封闭的，有理数在四则运算下是封闭的，构成一个数域。构成一个数域。从几何上看，有理数在数轴上是稠密的，从几何上看，有理数在数轴上是稠密的，因此，要去度量任何一件实际事物，因此，要去度量任何一件实际事物，不论要求多高的精度，不论要求多高的精度，只要有理数就够了。只要有理数就够了。从集合上看，有理数是有序的、可数的，从集合上看，有理数是有序的、可数的，可以在数轴上排列出来，可以在数轴上排列出来，可以与自然数一一对应。可以与自然数一一对应。 看看看看有理数有理数优优 点点说说有理数的缺陷说说有理数的缺陷从代数上看，有理数在从代数上看，有理数在开方运算下不封闭；开方运算下不封闭；从几何上看，有理数在从

21、几何上看，有理数在数轴上还有许多缝隙；数轴上还有许多缝隙；从分析上看，有理数对从分析上看，有理数对极限运算不封闭。极限运算不封闭。由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而也就不会有微积分。也就不会有微积分。有理数扩充的直接结果是实数集。有理数扩充的直接结果是实数集。关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识：关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，有理数与无理数统称为限不

22、循环小数，有理数与无理数统称为实数实数。实数数集产生的必要性实数数集产生的必要性l如何定义实数？如何表示实数？如何定义实数？如何表示实数？l实数是否能够填满整个数轴？实数是否能够填满整个数轴？l实数是否是有序的？实数是否是有序的？l实数运算如何进行？法则如何？实数运算如何进行？法则如何？QuestionQuestion19世纪，德国数学家世纪，德国数学家康托康托（G. Cantor, 1845-1918）、）、戴德金戴德金(J. W. R. Dedekind, 18311916) 、魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯（ K. W. T. Weierstrass, 18151897 ）通过对无理数本质进行

23、深入研究，奠定了实数构通过对无理数本质进行深入研究，奠定了实数构造理论，明确解决了以上问题。造理论，明确解决了以上问题。1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。11 岁时进入德国，1867 年获柏林大学的博士学位，1872 年升为教授。1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。戴德金R. (Dedekind, Richard) 1831年10月 6日生于德国不伦瑞克；1916 年2月12 日卒于不伦瑞克。 数学家。pWeierstrass (1815 1897)德国数学家p先修财务、管理、法律，后学数学p1854年，哥尼斯堡大学名誉博士；1856年，柏林科学院院士p数论、几何、复分析邻域邻域

24、. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a),( aU记作记作,称为这邻域的中心称为这邻域的中心点点a.称称为为这这邻邻域域的的半半径径 . |),( axaxaU,邻邻域域的的去去心心的的点点 a.0|),( axxaU,邻邻域域的的称称为为点点数数集集 aaxx 记作记作xa a a 伽利略经过精确的实验，测得自由伽利略经过精确的实验，测得自由落体的运动方程：落体的运动方程： 221gts 在力学中，质量为在力学中，质量为m，速度为，速度为v的物的物体运动时所具有的能量（称为动能）体运动时所具有的能量（称为动能） 221mvE 在电学中，电流强度为在电学中，电流强度为I 的电流通过的电流

25、通过电阻为电阻为R的导线时，在单位时间内所的导线时，在单位时间内所产生的热量产生的热量 221RIQ 2 2微积分的研究对象函数微积分的研究对象函数在几何中半径为在几何中半径为r的圆的面积的圆的面积 2rS 上述这些变量之间的关系都有一个相同的抽象形式上述这些变量之间的关系都有一个相同的抽象形式 2xky 这就是一个函数关系式。这就是一个函数关系式。 如果将这个函数关系的性质研究清楚了，那么如果将这个函数关系的性质研究清楚了，那么前面的那些实际变量之间的关系的性质也就清楚了前面的那些实际变量之间的关系的性质也就清楚了. . 数学的一个特点是它的高度抽象性，随之也就数学的一个特点是它的高度抽象性

26、，随之也就具有应用的广泛性具有应用的广泛性. . 下面给出函数的一般定义下面给出函数的一般定义. . .),()(DxxfyyDfRf 一、函数概念一、函数概念全全体体函函数数值值组组成成的的集集合合称称为为函函数数的的值值域域,记记为为fR或或)(Df,即即 定定义义 设设数数集集R D, ,D ，如如果果对对D中中的的每每一一个个x，按按照照某某个个对对应应法法则则f，有有唯唯一一的的数数R y与与之之对对应应， 则则称称f是是定定义义在在D上上的的一一个个函函数数， 记记为为)(xfy ，Dx 。其其中中D称称为为定定义义域域。 x称为称为自变量自变量，y称为称为因变量因变量. . 在函

27、数的定义中， 对于每个在函数的定义中， 对于每个)( fDx ， 对应的对应的函数值函数值)(xfy 是唯一的是唯一的(因此因此,也称为也称为单值函数单值函数)， 注意：注意：例如，例如，2xy 而而对对于于每每个个)( fRy )，以以之之作作为为函函数数值值的的自自变变量量 x 不不一一定定唯唯一一. 是定义在是定义在R上的一个函数，上的一个函数，它的值域是它的值域是 0|)( yyfR对对于于每每个个函函数数值值)( fRy ，对对应应的的自自变变量量有有两两个个，即即yx 和和yx . 确定函数的两要素：确定函数的两要素：定义域和对应法则。定义域和对应法则。例例1 1 判断下列各对函数

28、是否相同？判断下列各对函数是否相同？ （1 1）1 , 1 tsxy （2 2）xxyxy2 , 相同相同（3 3）2 ,xyxy 不同不同 (定义域不同定义域不同)（4 4）33 ,xyxy 不同不同 (对应法则不同对应法则不同)（5 5）xyxyln2 ,ln2 相同相同不同不同 (定义域不同定义域不同)(1) 根据实际问题；根据实际问题；(2) 自然定义域：使算式有意义的一切实数值自然定义域：使算式有意义的一切实数值.如何求函数的自然定义域？如何求函数的自然定义域？ ( (d) )xarcsin或或xarccos, ,1 x； (a) 分式的分母不等于零；分式的分母不等于零； (b) 偶

29、次根号内的式子应大于或等于零；偶次根号内的式子应大于或等于零； (c) 对数的真数应大于零；对数的真数应大于零； ( (e) )若函数的表达式由多项组成若函数的表达式由多项组成, ,则定义域为各项则定义域为各项定义域的交集；定义域的交集；(f )分段函数的定义域是各段定义域的并集分段函数的定义域是各段定义域的并集.定义域的确定：定义域的确定：例例2 2 求下列函数的求下列函数的( (自然自然) )定义域。定义域。 因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为xxy 22) 1 ()23ln(1)2( xy225151arcsin)3(xxy 解解,022) 1 ( xx，22 x即定义域为即定义域

30、为. )2, 2 ,0)23ln(023)2( xx,13/2 xx即即. ), 1 () 1,32( D225151arcsin)3(xxy ,25151)3(2 xx,5564 xxx4 65 5,54 x因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为.54）， D1）图象法）图象法2）表格法）表格法3）解析法）解析法(公式法公式法).)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxfRD y二、函数的表示法二、函数的表示法 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为

31、分段函数分段函数.分段函数分段函数 0, 120, 1)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xyxyo1 21 ,11 ,1)(,22xxxxxf再如再如这也是分段函数，其定义域为这也是分段函数，其定义域为2 , 1()1 , 1()1, 2 D yOx111221解解例例3 3，设设 21 ,410 , 12)(xxxxxf 221 ),2(4120 , 1)2( 2)2(xxxxxf. )2( xf求求.01 ,212 , 52 xxxx 1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个分段函数的例子几个分段函数的例子. .xyo1 12) 取整函数取整函数 y=

32、x753 ,0 1 5 . 3 .4 ,1 ，1 x表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数. 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 -1 -3xyo1234o有理数点有理数点无理数点无理数点1xy3) 狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlet) 是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy01)(函数的几种基本特性函数的几种基本特性一、有界性一、有界性 如如果果设设区区间间,DIM Mxyoba给给定定函函数数)(xfy ,Dx . ,)(Mxf 有有使使得得对对常常数数, 0IxM 则称函数则称函数上上在在区区间间Ixf)(有界。有界。xyoba函数的

33、有界性还可以细分为：函数的有界性还可以细分为： ,)(1Mxf 有有使得对使得对如果存在常数如果存在常数,1IxM 则称函数则称函数 f(x) 在在I上上下有界下有界 .M2 M1 M1称为称为 f(x) 在在I上的上的下界下界。M2称为称为 f(x) 在在I上的上的上界上界。定理定理：函数：函数 f(x) 有界当且有界当且仅当仅当 f(x) 上有界且下有界。上有界且下有界。即即可可。取取 ,max 21MMM ,)(2Mxf 有有使使得得对对如如果果存存在在常常数数,2IxM 则称函数则称函数 f(x) 在在I上上上有界上有界 . 因为存在因为存在 M 1，使对任意，使对任意x ( , )，

34、有，有|sin x| 1，所以所以 y sinx是是( , )内的有界函数。内的有界函数。y sinx 有界吗有界吗?xyo 2 2 11 函函数数xy1 在在），（10上上是是无无界界的的， ？有有界界吗吗xy1 xyo在在）， 1上上是是有有界界的的。 二、单调性二、单调性 ,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;)(上是单调增加的上是单调增加的在区间在区间则称函数则称函数Ixf),()(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfIxyo.)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间

35、间则则称称函函数数Ixf,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ),()(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfIxyo例如例如, 函数函数 y x 3 在在( , )内单调增加。内单调增加。xyo3xy 而函数而函数 y x 2 在区间在区间( , 0)内单调减少；在区间内单调减少；在区间(0, )内单调增加。内单调增加。2xy xyo三、奇偶性三、奇偶性,()(DxODxf 即即若若对对称称关关于于原原点点的的定定义义域域设设函函数数)()(xfxf ;)(为偶函数为偶函数则称则称xf有有如果对于如果对于,Dx ,)Dx 则则有有如果对

36、于如果对于,Dx )()(xfxf .)(为奇函数为奇函数则称则称xf例例1 1 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性： 4243xx xx 23 偶函数偶函数非奇非偶非奇非偶xx 22 即即得得 )()(xfxf ， 偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数xx2121 )(xf 1212)( xxxf1212 xxxx 22）（xx 21ln )()(xfxf)1ln(2 xx)1ln(2 xx,01ln 例例2 2设设)(xf是是定定义义在在),(aa 上上的的任任意意函函数数。证证明明： ),( , )()()(aaxxfxfxg 是偶函数；而是偶函数；而),( , )(

37、)()(aaxxfxfxh 是奇函数。是奇函数。证明是容易的。证明是容易的。 由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：示为一个偶函数和一个奇函数之和：)()(21)()(21)(xfxfxfxfxf 偶函数的图形关于偶函数的图形关于 y 轴对称。轴对称。yx),(yxP )(xfy ox-x),(yxP具有奇偶性的函数的图形有某种具有奇偶性的函数的图形有某种对称性对称性：),(yxP yxox-x)(xfy ),(yxP奇函数的图形关于原点对称。奇函数的图形关于原点对称。若若)(xf是奇函数，且在是奇函数，且在0 x处有定

38、义处有定义, ,则则0)0( f, ,即过原点即过原点. . 例例3 3判判断断函函数数 0 ,320 ,32)(xxxxxf 的的奇奇偶偶性性。 解解 0 ,320 ,32)(xxxxxf 0 ,320 ,32xxxx, )(xf 故故 f(x) 是偶函数是偶函数. xyo2- -11四、周期性四、周期性(通常周期函数的周期是指其通常周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期).,R)(的的定定义义域域为为设设函函数数xf使得使得如果如果,0 T)R( )()( xxfTxf.)(,)(的的周周期期称称为为为为周周期期函函数数则则称称xfTxf如如 sinx, cosx 都都是是周周期期为为

39、2 的的周周期期函函数数， tanx，|sinx|的的周周期期为为 . 注意注意：并非任意周期函数都有最小正周期：并非任意周期函数都有最小正周期. 是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy01)(如狄利克雷函数如狄利克雷函数任何正有理数都是它的周期任何正有理数都是它的周期, 但并不存在最小的正有理数但并不存在最小的正有理数。 2.22.2逆向思维的一例逆向思维的一例 反函数反函数 定义定义 设函数设函数y f (x)的定义域为的定义域为D，值域为，值域为Z。如果对。如果对于每个于每个 y Z，存在唯一，存在唯一x D，使，使 f (x) y，则，则 x是一个定是一个定义在义在

40、Z上的函数，称为上的函数，称为 y f (x) 的反函数，记为的反函数，记为x f 1(y)。函数函数y f (x)与函数与函数x f 1(y)是互为反函数。是互为反函数。将将x与与y互换，就得所求反函数为互换，就得所求反函数为例例1 1 求求y 3x 1的反函数。的反函数。解解，由由13 xy，得得31 yx.31 xy)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy ),(baP)(1xfy 反函数反函数xy 例如，在例如，在( , )内，内，y x2 不是一一对应的函数不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数。关

41、系，所以它没有反函数。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。 在在(0, )内内y x2有反函数有反函数 在在( , 0)内，内，y x2有反函数有反函数 .xy .xy x-x yxyo2xy xyoxy xy 解解例例2 2 求函数求函数)(21xxaay )(21xxaay xyO) 1( a) 1, 0,R( aax的反函数。的反函数。,02 yaaxx,0122 xxyaa,1)(22yyax ,12yyax ）（略略去去21yyax , )1(log2yyxa 所以所求反函数为所以所求反函数为. )1(log2xxya 例例

42、3 3)R( 2 xyx与与)0( log2 xxy互为反函数。互为反函数。xy2log 1xyo1xy2 1.1.常数函数常数函数)( 是常数是常数CCy oxy2.3 基本初等函数基本初等函数C 常函数的定义域常函数的定义域为为( , )，图形为，图形为平行于平行于x轴轴, 在在y轴上轴上截距为截距为C的直线。的直线。 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyo

43、2xy 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyoxy 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyo3xy 幂函数的定义域随幂函数的定义域

44、随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyo3xy 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyoxy1 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为

45、何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyo32xy 3.3.指数函数指数函数)1, 0( aaayx 定义域为定义域为( , )，值域为值域为(0, )，都通过点都通过点(0, 1),当当a1时，函数单调增加；时，函数单调增加；当当0a1 时时, 函数单调增加；函数单调增加；当当 0a1时时, 函数单调减少。函数单调减少。对数的基本性质：对数的基本性质：, 0, 0 NM设设1, 0 aaNMMNaaaloglog)(log NM

46、NMaaalogloglog MpMapaloglog 换底公式换底公式aNNbbalogloglog )1, 0( bb对数恒等式对数恒等式,logxaxa xaxa log5.5.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xycos 余弦函数余弦函数 y sin x与与y cos x的定义域均为的定义域均为( , )，均以，均以2 为周期。为周期。y sin x为为奇函数奇函数，y cos x为为偶函数偶函数。它们都是它们都是有界函数有界函数。xyo 2 2 1 1xyo 2 2 1 1定义域定义域: x (2n 1) /2 。周期周期: 。奇函数。奇函数。正切函数正切函数xytan 定

47、义域定义域: x n 。周期周期: 。奇函数。奇函数。余切函数余切函数xycot xyo2 23 23 2 xyo 2 正割函数正割函数xysec xycsc 余割函数余割函数)cos1(x )sin1(x 6.6.反三角函数反三角函数xyarcsin 反正弦函数反正弦函数2 xyo1 12 oxy1 12 2 定义域：定义域： 1, 1 值域：值域：2,2 单调增加函数；单调增加函数；奇函数奇函数.xyarccos 反余弦函数反余弦函数 xyo1 1oxy1 1 定义域：定义域： 1, 1 值域：值域：, 0 单调减少函数；单调减少函数；无奇偶性无奇偶性.xxarccos)arccos( 2

48、 2 xyarctan 反反正正切切函函数数xy2 2 oxy定义域：定义域：),( 值域：值域：)2,2( 单调增加函数；单调增加函数； 奇函数奇函数.反余切函数反余切函数xycotarc xyoxy 定义域：定义域：),( 值域：值域：), 0( 单调减少函数；单调减少函数； 无奇偶性无奇偶性.xxcotarc)cot(arc 反三角函数值的确定：反三角函数值的确定：求求 arcsin x 值的方法：值的方法： ,0 x若若,sinx 使使；则则 xarcsin)21arcsin( 21arcsin ,2, 0 内内确确定定则则在在,0 x若若.arcsin)arcsin(xx 则则利利用用例例1 1.6 )21arccos( 21arccos 例例2 23 .32 类似地有类似地有.arccos)arccos(xx 2.4 2.4 复合函数复合函数例如例如：2arcsinxy 可看作由可看作由uyarcsin 复合而成。复合