复数及其代数运算

1、盐城工学院基础部应用数学课程组 复 变 函 数 与积分变换* Email: Tel:讲人：黄琼伟主讲人：黄琼伟盐城工学院基础部应用数学课程组2.2.交交作业：作业：2 2本本/ /位，每周一上课前由课代表收位，每周一上课前由课代表收齐和发放作业本齐和发放作业本( (按学号顺序按学号顺序) )。作业放置点：。作业放置点：博学楼博学楼C C楼一楼教师休息室楼一楼教师休息室； 一、学习要求及考核方式一、学习要求及考核方式1.1.共共3232学时，严格出勤考核；学时，严格出勤考核；3.3.最终成绩：最终成绩：盐城工学院基础部应用数学课程组复变函数复变函数 姓姓 名名 班班 级

2、级 A05盐城工学院基础部应用数学课程组 复变函数复变函数课程是电气、自动化等专业必修的课程是电气、自动化等专业必修的专业基础课专业基础课. . 二、课程介绍二、课程介绍 该课程可以看作实变函数的微积分学该课程可以看作实变函数的微积分学在复数域中的推广在复数域中的推广. . 举例：举例：在电路基础中，我们也用虚数去处理在电路基础中，我们也用虚数去处理RLCRLC电路中的相角关系；电路中的相角关系；主要研究对象是解析主要研究对象是解析( (可导可导) )函数。函数。 平行板电容器所形成的电场可平行板电容器所形成的电场可用复变函数处理，求出静电场复势。用复变函数处理，求出静电场复势。盐城工学院基础

3、部应用数学课程组第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.2 1.2 复数的几何表示复数的几何表示1.1 1.1 复数复数1.3 1.3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1.4 1.4 区域区域1.5 1.5 复变函数复变函数1.6 1.6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性盐城工学院基础部应用数学课程组第一节 复数及其代数运算 第一章第一章 一、复数的概念一、复数的概念二、复数的代数运算二、复数的代数运算盐城工学院基础部应用数学课程组一、复数的概念一、复数的概念1.1.虚数单位虚数单位规定：规定：i虚数单位虚数单位实例：方程实例：方程21x 在实数集中无解在实数集中无解. .2

4、1;i 性质：性质：;1ii ; 12 i;23iiii ; 431ii i盐城工学院基础部应用数学课程组2.2.复数复数: :, , . .x yzxyizxiy任任意意两两实实数数称称或或为为复复数数 , , xz其其中中称称为为 的的实实部部Re( ). xz记记作作,00 ; ; xyziy纯纯虚虚数数当当时时称称为为,00 . . yzxix当当时时就就实实数数是是, , yz虚虚部部称称为为 的的Im( ). yz记记作作因此，实数可以看作是复数的特殊情形。因此，实数可以看作是复数的特殊情形。盐城工学院基础部应用数学课程组例例1 1复复数数取取何何值值时时实实数数,m )43(2m

5、m( ); ( )是是实实数数纯纯虚虚数数? ?12imm)65(2 解解令令234,xmm256,ymm(1),0,如如果果复复数数是是实实数数 则则y256061. 由由知知, ,或或mmmm(2),00,xy如如果果复复数数是是纯纯虚虚数数 则则且且234041. 由由知知, ,或或mmmm01. 由由知知, ,舍舍去去ym4.即即m盐城工学院基础部应用数学课程组若两复数的实部和虚部分别相等，则两复数相等若两复数的实部和虚部分别相等，则两复数相等.3 3、两复数相等、两复数相等0 yixz当且仅当当且仅当.0 yx特别地特别地， 只有只有相等与不相等的关系。相等与不相等的关系。虚部不为零

6、的两个复数不能比较大小，虚部不为零的两个复数不能比较大小，注注23ii 23ii 4.4.共共轭复数轭复数 设设 ，yixz 称称 为为 z的共轭复数的共轭复数. .xiy zxiy 记作记作无序集无序集盐城工学院基础部应用数学课程组二、复数的四则运算二、复数的四则运算111222,zxiyzxiy1. 1. 和差和差: :121122()()zzxiyxiy2. 2. 积积: :121122()()zzxiyxiy3. 3. 商商: :1212211222222222x xy yx yx yixyxy20z( (）设设12122112()().x xy yi x yx y111222zxiy

7、zxiy1212()().xxi yy11222222()()()()xiyxiyxiyxiy盐城工学院基础部应用数学课程组其运算法则与实数运算律完全类似其运算法则与实数运算律完全类似1.1.交换律交换律1221;zzzz1221.zzzz2.2.结合律结合律123123()();zzzzzz123123()().zzzzzz3.3.分配律分配律1231213().zzzzzzz4.4.共轭复数的运算性质共轭复数的运算性质: :1212(1);zzzz1212;zzzz1122;zzzz盐城工学院基础部应用数学课程组(2);zz22(3)Re( )Im( );z zzz(4)2Re( ),2

8、Im( ).zzzzziz牢记，证明略牢记，证明略. .盐城工学院基础部应用数学课程组例例2 2.zz计计算算共共轭轭复复数数与与 的的积积解解()()xyixyi22()xyi22.xy,.z z两两个个共共轭轭复复数数的的积积是是一一个个实实数数结论：,zxiy令令z z则则盐城工学院基础部应用数学课程组例例3 3 解解12 55 ,34 ,zi zi 设设1122 .zzzz求求与与125534zizi (55 )( 34 )( 34 )( 34 )iiii ( 1520)(1520)25i71.55i 12 zz71.55i 分母实数化分母实数化盐城工学院基础部应用数学课程组例例4 解

9、解,131 iiiz 设设.Re( ), Im( )zzz z 求求与与13 1izii 3 (1) (1)(1)iiii iii 31,22i31Re( ), Im( ),22zz 22Re( )Im( )z zzz223122 5.2分母实数化分母实数化从而从而盐城工学院基础部应用数学课程组例例5 证证111222 ,zxiyzxiy1212122Re().zzzzzz1212zzzz11221122 =()()()()xiyxiyxiyxiy12122112()()x xy yi x yx y12122112()()x xy yix yx y12122()x xy y122Re().zz

10、12121212 zzzzzzzz或或设设证明：证明：左端左端122Re().zz盐城工学院基础部应用数学课程组1.1.复数的有关概念复数的有关概念. . 2.2.复数的代数运算复数的代数运算3.3.共轭复数及其运算性质共轭复数及其运算性质. .内容小结内容小结盐城工学院基础部应用数学课程组复数一定不能比较大小吗？复数一定不能比较大小吗？不一定不一定思考题思考题答案答案盐城工学院基础部应用数学课程组作作 业业习题一习题一: 1: 1、 2 2盐城工学院基础部应用数学课程组 卡尔丹称它们为卡尔丹称它们为“虚构的量虚构的量”或或“诡辩的量诡辩的量”。他还把它。他还把它们与们与负数统称为负数统称为“

11、虚伪数虚伪数”；把正数称为；把正数称为“证实数证实数”。附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话两数的和是两数的和是 10 , 积是积是 40 , 求这两数求这两数卡尔丹发现只要把卡尔丹发现只要把 10 分成分成 和和 即可。即可。155 155 1545 年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在大术大术中求解这样的问题：中求解这样的问题： 卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的学生哈里奥特的责难。学生哈里奥特的责难。盐城工学院基础部应用数学课程组附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 整个

12、十七世纪，很少有人理睬这种整个十七世纪，很少有人理睬这种 “虚构的量虚构的量” 。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。意义下的意义下的“复数复数”的名称。的名称。 1632 年，笛卡尔在年，笛卡尔在几何学几何学中首先把这种中首先把这种“虚构的量虚构的量”改称为改称为“虚数虚数”，与，与“实数实数”相对应。同时，还给出了如相对应。同时，还给出了如今今盐城工学院基础部应用数学课程组附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。,sin1cos)sin1(cosnnn 1722 年，

13、法国数学家德摩佛给出德摩佛定理：年，法国数学家德摩佛给出德摩佛定理： 其中其中 n 是大于零的整数。是大于零的整数。,sin1cos1exxx 1748 年，欧拉给出了著名的公式：年，欧拉给出了著名的公式：并证明了德摩佛定理对并证明了德摩佛定理对 n 是实数时也成立。是实数时也成立。.1 1777 年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文微分公式微分公式中首次使用中首次使用 i 来表示来表示盐城工学院基础部应用数学课程组附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。 179

14、7 年，当时年仅年，当时年仅 20 岁的高斯在他的博士论文中证明了岁的高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理。代数基本定理。 高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们直观地理解了复数的真实意义。直观地理解了复数的真实意义。 十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展成为一个庞大的数学分支。成为一个庞大的数学分支。而且而且 n 次多项式恰好有次多项式恰好有 n 个根。个根。任何多项式在复数域里必有根，任何多项式在复数域里必有根，即即盐城工学院基础部应用数学课程组附：附：人物介绍人物介绍

15、高斯高斯 许多数学学科的开创者和奠基人。许多数学学科的开创者和奠基人。 几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。 享有数学王子的美誉。享有数学王子的美誉。德国数学家、 (17771855)高 斯Johann Carl Friedrich Gauss物理学家、 天文学家盐城工学院基础部应用数学课程组 高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理，高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理，历时历时67年，出版了年，出版了高斯全集高斯全集，共，共12卷。卷。附：附：人物介绍人物介绍 高斯高斯 在哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌在哥廷根大学的广场上，

16、矗立着一座用白色大理石砌成的纪念碑，它的底座砌成成的纪念碑，它的底座砌成 正十七边形正十七边形，纪念碑上是，纪念碑上是高斯的青铜雕像。高斯的青铜雕像。18岁岁盐城工学院基础部应用数学课程组二、教学内容二、教学内容 本课程由本课程由复变函数复变函数与与积分变换积分变换*两个部分组成。两个部分组成。 复变函数与积分变换课程是工科各专业的重要复变函数与积分变换课程是工科各专业的重要基础理论课，是工程数学的主要课程之一。在科学基础理论课，是工程数学的主要课程之一。在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。复变函数复变函数的内容包括：的内容包括：复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形映射共形映射以及以及解析函数在平面场的应用解析函数在平面场的应用。积分变换积分变换的内容包括：的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换傅里叶变换和拉普拉斯变换。盐城工学院基础部应用数学课程组复数领域的推广和发展复数领域的推广和发展 。复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八