向量内积的坐标运算与距离公式教学设计

1、向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题.2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直.3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用.【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导， 即a b= | a |b | cos? a, b ?与a b= aibi+ a2b2两个式子的内在联系.【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统

2、 一无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成. 【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图1.非零向量 a与b，贝U a与教师提出问题.为知识迁移做准b的内积表达式是怎样的？由内积表达学生回忆解答师生共同备.式怎样求cos?a, b?回忆旧知识.导2.a_Lb u:师：对平面向量的内积的入3.| a |与7a a有何关系?研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示.引出探究问题.ei , e2是直角坐标平面上的基学生讨论并答复，教师再问题为复习向量向量，a= (ai,

3、a2), b= (bi, b?),你能推提出的以下冋题：的线性运算和向量的导出a b的坐标公式吗？(i)(aiei+ a2e2) (bi ei +内积而设计.通过学探究过程b2 e2是怎样进行运算的？生的探究给出结论，a b= (aiei + a?e2) (biei + b?e2)(2)eiei,e2e2,eie2比直接给出更符合学新=ai bi ei ei + aib2ei e2的内积是怎样计算的？生的特点，容易被学课+ a2biei e2 + a2b2e2 e2,教师针对学生的答复进行生接受.通过结论的又因为点评.师生共同写出详细的探探究，让学生初步感eiei= i,e2e2= i,eie

4、2= 0,究过程.受到无论是向量的线所以性运算还是向量的内a b= aibi + a2b2.积运算，最终都归结为直角坐标运算.新课定理 在平面直角坐标系中，ei， e2是直角坐标平面上的基向量，两 个非零向量 a = (ai, a2), b= (bi, b2), 那么a b= aibi+ a2b2-这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和.我们还可以得到以下结论：(1) 向量垂直的充要条件为a丄心 ai bi+ a2 b2= 0;(2) 两向量夹角余弦的计算公式为aibi+ a2b2COS?a, b?f 2 丄 a2 債2丄 b2.pai + a2 pbi + b2问题：(1) 假设

5、a= (ai, a2),你能用上面 的定理求出| a |吗？解因为2| a | = a a = (ai, a2) (ai, a2)=ai2+ a22,所以 | a |= #a/+ a2?.这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式.(2) 假设 A(xi, yi), B(X2, y2)，你能求出忌|吗？解 因为 A(xi, yi), B(x2 , y2),所以= (X2-xi, y2-yi).因为 | a |=Qai2+ a22，所以 |B|=P (X2 - Xi)2 + (y2-yi)2,这就是根据两点的坐标求两点之间 的距离公式.例 i 设 a = (3, - i), b= (i, - 2)

6、, 求：教师给出向量内积的直角 坐标运算公式.并引导学生用 文字表达.在教师的引导下学生讨论 得出.教师提出问题，稍加点拨.学生讨论解答.教师总结得出这就是根据 向量的坐标求向量长度的计算 公式.教师提出问题.学生讨论解答.教师总结得出这就是根据 两点的坐标求两点之间的距离 公式.学生尝试解答.教师针对 学生的答复进行点评.通过对问题的详 细探究得到性质，比 直接给出结论更容易 被学生接受.同时加 深对 a -b= aibi + a2b2 的理解.从而提高学 生的思维能力.使刚刚学过的知 识及时得到应用.通过例i可让学 生加深对向量内积的直角坐标运算公式及 向量的长度公式的理 解和记忆. a

7、b;(2) | a |; I b |;？a, b?.解 (1) a b= 3X 1 + ( 1) x ( 2)=3 + 2 | a |=3 + (- 1) =. 10； | b |= 12+ ( 2)2=- 5;因为cos?a,b?=a b|a|b|22，所以孔b?= n例 2 A(2, 4), B( 2, 3), 求|云B|.解 因为 A(2, 4), B( 2, 3)，所以AB = ( 2, 3) (2, 4)=(4, 7),所以 |AB|= ；72+ ( 4)2= , 65.例 3 A(1 , 2), B(3, 4), C(5,0)，求证： ABC是等腰三角形.证明因为B = (3 1,

8、4 2) =(2,2),云C = (5 1,0 2) =(4, 2),BC = (5 3,0 4) =(2, 4),屁 |= 42 +( 2)2= 20,|血|= ,22 + ( 4)2= 20 ,所以 |AC|= |BC|.教师点拨，学生解答.教师针对学生的答复进行点评.教师点拨，学生讨论解答. 小组讨论时教师巡视，并 针对学生的答复给予补充、完 善.最后师生共同完成此题.教 师给出具体的解题步骤.稳固公式，形成 技能.在板书证明的过 程中，突出解题思路 与步骤.因此 ABC是等腰三角形.例 4 A(1, 2), B(2, 3), C( 2,教师点拨，学生解答.通过学生讨论，5)，求证：Xb

9、丄XC .教师针对学生的答复进行老师点拨，可以突出点评.解题思路，深化解题证明因为步骤，分解难点.顺云B = (2 1 , 3 2) = (1 , 1),利帮助学生完成.云C = ( 2 1, 5 2)= ( 3, 3),新可得课AB AC = (1 , 1) ( 3, 3) = 0.所以Xb丄云C .练习1 A(1 , 2), B(2 , 3), C( 2,n5)，求证：ZBAC=2.2 .点P的横坐标是7点P到 点N( 1, 5)的距离等于10,求点P的坐 标.师生合作共同完成.学习新知后紧跟 练习，有利于帮助学 生更好的梳理和总结 本节所学内容.有利 于教师检验学生的掌 握情况.本节课我们主要学习了平面向量内学生阅读课本，畅谈本节梳理总结也可针积的坐标运算与距离公式，常见的题型课的