函数的单调性的题型分类及解析

1、函数的单调性知识点1、增函数定义、减函数的定义：(1) 设函数y f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间 M中的任意两个值 x,x2, 当改变量 x x2 X! 0时，都有y f(x2) f (x-i) 0,那么就称函数y f (x)在区 间M上是增函数，如图(1)当改变量 x x2 Xi 0时，都有y f (x2) f(xj 0， 那么就称函数y f (x)在区间M上是减函数，如图(2)注意：单调性定义中的 Xi、X2有什么特征：函数单调性定义中的X1,X2有三个特征，一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间.1、 根据函数的单调性的定义思考：由f(x)是增(减)函数且f(X1)

2、f(X2)能否推出X1X2)2、 我们来比拟一下增函数与减函数定义中x, y的符号规律，你有什么发现没有？3、 如果将增函数中的“当x X2 X1 0时，都有 yf(X2) f(X1) 0 改为当x X2 X10时，都有 y f(X2) f(X1)0结论是否一样呢?4、定义的另一种表示方法如果对于定义域1内某个区间D上的任意两个自变量X1,x 2,右 (-)X1f(X2)X20即y 0，那么函数y=f(x)是增函数，假设 f(xj f (X2)假设0即 y 0，那么函数y=f(x)为减X为x2X函数。判断题:1 f(x)因为f( 1) f (2)，所以函数f(x)是增函数.X 假设函数f (x

3、)满足f(2) f (3)那么函数f(x)在区间2,3上为增函数.假设函数f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，那么函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.11因为函数f (x) 在区间 ，0),(0,)上都是减函数，所以f(x) 在xx(,0)(0,)上是减函数通过判断题，强调几点： 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. 对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数). 单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。 函数在定义域内的两个区间A,B上都

4、是增(或减)函数，一般不能认为函数在 A B上是增(或减)函数.(2 )单调区间如果函数y= f (x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y = f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y= f (x)的单调区间.函数单调性的性质：(1) 增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意 两个自变量的值卍,当_ 时，都有1 /, f(x1)f(x2)0为 x2(2) 减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值,当时， 都有1 - , f(x1)f(x2)0x1 x2(3) 函数的单调性还有以下性质.1. 函数y= f (x)与函数y= f (x)的单调性相反

5、.12. 当f (x)恒为正或恒为负时，函数y= f(x)与y= f (x)的单调性相反.3. 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数等.4 如果k0 函数k f x与函数f x具有相同的单调性。如果k0,函数f X与函数f x具有相同的单调性。假设f x 01 x2解：设-1 VX10,于是，当 a0 时，f(x 1) V f(x 2)；当 av 0 时，f(x 1) f(x 2).故当a0时，函数在(-1 , 1)上是增函数；当av 0时，函数在(-1 , 1)上为减 函数.题型二：单调性判断与证明1.以下函数中，在区间(0, 1)上为增函数的是2A . y= |x2

6、 1| B. yC. y = 2X2 x+ 1D. y= |x|+ 1x题型三：求函数的单调区间及该区间上的单调性1求以下函数的增区间与减区间(1)y = lx2 + 2x 3|x2 2xL2y x 2x 32判断函数f(x)= x3+1在( a ,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果 x( 0, + 8)，函数f(x)是增函数还是减函数？题型四：简单函数的单调性求与其相关函数的单调性b假设函数y= ax,y= x在(0,+)上都是减函数，那么函数y= ax2 + bx在(0, + )上是 (填单调性).设y=f(x)的单增区间是(2, 6)，求函数y=f(2 x)的单调区间.解：令

7、t(x)=2-x,那么由得，f(t)在区间是(2, 6),解：令t(x) 2 x,那么由得f(t)在t (2,6)上是增函数，而 t(x) 2 x (2,6)锐2(减区间是(一4,0)又t(x) 2 x在x ( 4,0)上是单减的，由复合函数单调性可知，f(2 x) ft(x)在 x ( 4,0)上是单调递减的。设函数y = f (x)是定义在(一1,1)上的增函数，那么函数 y= f (x2 1)的单调递减区间是函数 f(x)=8 + 2x x2,如果 g(x)=f( 2 x2 )，那么函数 g(x)()A .在区间(一1, 0)上是减函数B .在区间(0, 1)上是减函数C .在区间(一2

8、, 0)上是增函数D.在区间(0, 2)上是增函数设y f x是R上的减函数，贝Vy f x 3的单调递减区间为题型五：函数的单调性，求参数的取值范围。函数f(x) = x2+2(a-1)x+2在区间(-g, 4上是减函数，那么实数a的取值范 围是.函数y=-x2+ 2x+ 1在区间3, a上是增函数，那么a的取值范围是 函数f(x) = ax2 + 4(a + 1)x 3在2 ,+ 上递减，那么 a的取值范围是 ax 1函数f(x)在区间(-2, +g)上是增函数，那么 a的取值范围是()x 2A. 011a -B. a -22解: f(x) =ax+ 1a(x+ 2) + 1 -2a 1

9、2a=+ ax+ 2x+ 2x + 2任取 X1，x2 ( 2，+ g )，且 X1X2，贝y f(X1) f(X2)=C.a1D.a-21 2aX1 + 21 2aX2+ 2(1 2a)(x2 X1)(X1+ 2)(X2 + 2)ax 1函数 f(x)= 在区间(2，+g)上为增函数， f(X1) f(X2)0，X1 + 20，X2+ 20， 1 2a.即实数 a 的取值范围是 2，+ g 题型六：函数单调性的应用11. f(x)在区间(g，+g)上是增函数，a、bR且a+bw 0,那么以下不等式中正确的选项是()A . f(a) + f(b) f(a)+ f(b)D. f(a) + f(b

10、)f( a) + f( b)12. 定义在R上的函数尸蚀在(g, 2上是增函数，且尸f(x+2)图象的对称轴是x=0,贝U()A . f( 1)v f(3)B . f (0) f(3)C. f ( 1)=f ( 3) D. f(2)v f(3)函数f(x)在区间a, b上单调，且f(a)f(b) v 0,那么方程f(x)=0在区间a, b内( )A .至少有一实根B .至多有一实根C.没有实根D .必有唯一的实根题型七：函数的单调性，解含函数符号的不等式。7.函数 f(x)是 R上的增函数,|f(x +1)| v 1的解集的补集是A. ( 1, 2)C . ( g, 1) U 4 , +g)A

11、(0， 1)、B(3 , 1)是其图象上的两点，那么不等式 (B . (1, 4)D . ( g, 1) U 2 , +g)：f(x)是定义在1, 1上的增函数，且f(x 1)0,函数f(x) =2右f(2 a2)f(a),那么实数a的取值范围是()4x x2, x 0, 解析：f(x)= 4x x2= (x 2)2 + 4, xf(a)得 2 a2a,即卩 a2+ a 20，解得-2a1.应选 C.8f(x)在其定义域R+上为增函数，f(2)=1, f(xy)=f(x)+f(y),解不等式f(x)+f(x 2) 1时，f(x) v 0. X2(1 )求f(1)的值；(2) 判断f(x )的单

12、调性；(3) 假设 f(3)=-1,解不等式 f(|x|) v -2.(1) f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。(2 )当 0 x 1，所以 f(y) - f(x) = f(y/x) 9 x 9 或 x v -9.函数 f(x)对任意的 a、b R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当 x 0 时，f(x) 1.(1) 求证：f(x)是R上的增函数；(2) 假设 f(4)=5,解不等式 f(3m 2-m-2) v 3.(1 )设 x1,x2 R,且 x1 v x2,贝U x2-x1 0, a f(x2-x1) 1.f(x2)-f(x1)=f(x2-

13、x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1 0.a f (x2) f(x1). 即f(x)是R上的增函数.(2 )T f ( 4) =f ( 2+2) =f ( 2) +f ( 2) -1=5,a f (2) =3,a 原不等式可化为f(3m2-m-2) v f(2),/ f(x)是 R上的增函数， 3m2-m-2v 2,41 4解得-1 V RK-,故解集为.33设f (x)的定义域为(0, +R)，且在(0, +R)是递增的，f (-) f (x) f (y)y(1) 求证：f( 1)=0，f( xy)=f( x)+f( y)；1(2)

14、设 f( 2)=1，解不等式 f (x) f () 2。x 3(1)证明:f (x)f(x)yf(y),令 x=y=1，那么有:f (1) =f (1) -f(1)=0,f(xy)xf(T) f(x)f(丄)f (x)f(1)f(y) f(x)f(y)。1yy(2)解：/1f(x) f()f(x)ff(x3) f (x) f (x3)2f (x 3x),x 32=2x1=2f(2) =f ( 2) +f(2) =f(4),1 2f (x) f () 2等价于：f (x2 3x)f(4),x 3且x0, x-30由f (x)定义域为(0, + g)可得t x(x3)x23x0, 40,又 f (

15、x)在(0, + g)上为增函数，2x3x41 x 4。又x3，原不等式解集为：x|30,那么f(x)的定义域是 ;假设f(x)在区间(0,1上是减函数，那么实数 a的取值范围是 .解析：(1)当a0且1时，由3 ax 0得x 0,即卩a1时，要使f(x)在(0,1上是减函数，那么需3 ax 1 0,此时1aw 3.当a 10,即a0，此时a0 时，f(x)X2，贝y X1 X20, f(X1) f(X2)= f(X1)+ f( X2)= f(X1 X2). 又 X0 时，f(x)0, f(X1 X2)0，即 f(X1)X2，贝y f(X1) f(X2) = f(X1 X2 + X2) f(X2)= f(X1 X2)+ f(X2) f(X2)= f(X1 X2).又 T X0 时，f(x)0， f(X1 X2)0，即 f(X1)0恒成立，试求实数 a的取值范围.11解析：当 a=时，f(x)=x+ 2, x 1 ,+ )22x设 x2 x1 1 ,贝V f(X2) f(X1)= X2 +2x21x1 x2x1=(X2 X1)+=(X2 X1)(12x12x1 x212x1