数字信号处理课程设计IIR

1、吉林建筑工程学院电气与电子信息工程学院数字信号处理课程设计报告设计题目： IIR数字滤波器的设计 专业班级： 信工102 学生姓名： 丁航 学 号： 10210211 指导教师： 杨佳 吴贺君 设计时间： 2013.01.072013.01.11 教师评语：成绩 评阅教师 日期 IIR数字滤波器设计报告一、设计的作用、目的目的：课程设计是理论学习的延伸，是掌握所学知识的一种重要手段，对于贯彻理论联系实际、提高学习质量、塑造自身能力等于有特殊作用。本次课程设计一方面通过MATLAB仿真设计内容，使我们加深对理论知识的理解，同时增强其逻辑思维能力，另一方面对课堂所学理论知识作一个总结和补充。作用：

2、加深对脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR滤波器数字滤波器基本方法的了解，熟悉这一设计的计算机编程。观察用脉冲响应不变法和双线性变换法设计的数字滤波器和响应模拟滤波器的时域特性和频域特性，比较所涉及的数字滤波器和响应的模拟滤波器的频域特性，观察脉冲响应不变法设计中产生的频域混淆现象。学会MATLAB的使用，掌握运用MATLAB设计IIR低通滤波器。 熟悉Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器和椭圆滤波器的频率特性。二、设计任务及要求通过课程设计各环节的实践，应使学生达到如下要求：1.掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器以及窗函数法设计FIR数字滤波器的原理、具

3、体方法及计算机编程2.观察双线性变换法、脉冲响应不变法及窗函数法设计的滤波器的频域特性，了解各种方法的特点3.用MATLAB画出三种方法设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查结果是否满足要求。三、设计内容已知通带截止频率,通带最大衰减,阻带截止频率，阻带最小衰减，T=1ms，按照以上技术要求，用脉冲响应不变法和双线性变换法设计巴特沃斯数字低通滤波器，并观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线。四、设计原理4.1数字低通滤波器的设计原理数字滤波器的基本结构作为线形时不变系统的数字滤波器可以用系统函数来表示，而实现一个系统函数表达式所表示的系统可以用两种方法：一种方法是采用计算机软件实现；

4、另一种方法是用加法器、乘法器、和延迟器等元件设计出专用的数字硬件系统，即硬件实现。不论软件实现还是硬件实现，在滤波器设计过程中，由同一系统函数可以构成很多不同的运算结构。对于无限精度的系数和变量，不同结构可能是等效的，与其输入和输出特性无关；但是在系数和变量精度是有限的情况下，不同运算结构的性能就有很大的差异。因此，有必要对离散时间系统的结构有一基本认识。 IIR滤波器的基本结构一个数字滤波器可以用系统函数表示为： (2-1) 由这样的系统函数可以得到表示系统输入与输出关系的常系数线形差分程为： (2-2) 可见数字滤波器的功能就是把输入序列x(n)通过一定的运算变换成输出序列y(n)。不同的

5、运算处理方法决定了滤波器实现结构的不同。无限冲激响应滤波器的单位抽样响应h(n)是无限长的，其差分方程如(2-2)式所示，是递归式的，即结构上存在着输出信号到输入信号的反馈，其系统函数具有(2-1)式的形式，因此在z平面的有限区间(0z)有极点存在。前面已经说明，对于一个给定的线形时不变系统的系统函数，有着各种不同的等效差分方程或网络结构。由于乘法是一种耗时运算，而每个延迟单元都要有一个存储寄存器，因此采用最少常熟乘法器和最少延迟支路的网络结构是通常的选择，以便提高运算速度和减少存储器。然而，当需要考虑有限寄存器长度的影响时，往往也采用并非最少乘法器和延迟单元的结构。IIR滤波器实现的基本结构

6、有：IIR滤波器的直接型结构；优点：延迟线减少一半，变为N 个，可节省寄存器或存储单元；缺点：其它缺点同直接I型。 通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统(一、二阶)来实现。IIR滤波器的级联型结构；特点： 系统实现简单，只需一个二阶节系统通过改变输入系数即可完成； 极点位置可单独调整； 运算速度快(可并行进行)； 各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。 缺点：不能直接调整零点，因多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传输零点时，级联型最合适。(3)IIR滤波器的并联型结构。优点： 简化实现，用一个二阶节，通过变换系数

7、就可实现整个系统； 极、零点可单独控制、调整，调整1i、2i只单独调整了第i对零点，调整1i、2i则单独调整了第i对极点； 各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差； 可流水线操作。 缺点： 二阶阶电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。 a、直接型 b、并联型c、串联型图2-1、IIR滤波器的基本结构数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)滤波器和有限长冲激响应(FIR)滤波器。IIR滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间

8、，在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。数字滤波器的设计方法有多种，如双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。随着MATLAB软件尤其是MATLAB的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。数字滤波器设计的基本步骤如下：(1)确定指标在设计一个滤波器之前，必须首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标。在很多实际应用中，数字滤波器常常被用来实现选频操作。因此，指标的形式一般在频域中给出幅度和相位响应。幅度指标主要以两种方式给出。第一种是绝对指标。它提供对幅度响应函数的要求，一般应用于F

9、IR滤波器的设计。第二种指标是相对指标。它以分贝值的形式给出要求。在工程实际中，这种指标最受欢迎。对于相位响应指标形式，通常希望系统在通频带中具有线性相位。运用线性相位响应指标进行滤波器设计具有如下优点：只包含实数算法，不涉及复数运算；不存在延迟失真，只有固定数量的延迟；长度为N的滤波器(阶数为N-1)，计算量为N/2数量级。因此，本文中滤波器的设计就以线性相位FIR滤波器的设计为例。(2)逼近确定了技术指标后，就可以建立一个目标的数字滤波器模型。通常采用理想的数字滤波器模型。之后，利用数字滤波器的设计方法，设计出一个实际滤波器模型来逼近给定的目标。(3)性能分析和计算机仿真上两步的结果是得到

10、以差分或系统函数或冲激响应描述的滤波器。根据这个描述就可以分析其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；或者利用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果来判断。滤波器的性能指标我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。在通带内： 1- AP| H(ej)| 1 |c在阻带中： |H(ej)| Ast st |c其中c 为通带截止频率, st为阻带截止频率，Ap为通带误差, Ast为阻带误差。与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划分为低通、高通、带通、

11、带阻、全通等类型，由于数字滤波器的频率响应是周期性的，周期为2。各种理想数字滤波器的幅度频率响应如图所示：图2-7、 各种理想数字滤波器的幅度频率响应IIR数字滤波器的设计方法目前，IIR数字滤波器设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询，因此，充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大方便，IIR数字滤波器的设计步骤是：(1)按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；(2)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器H(s)；(3)在按一定规则将H(s)转换为H(z

12、)。若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束，若所设计的是高通、带通或者带阻滤波器，那么还有步骤：(4)将高通、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤(2)设计出模拟低通滤波器H(s)，再由冲击响应不变法或双线性变换将H(s)转换为所需的H(z)。s - z 映射的方法有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等。下面讨论双线性变换法。双线性变换法8是指首先把s 平面压缩变换到某一中介平面s1 的一条横带(宽度为2T,即从- T到T) ,然后再利用的关系把s1平面上的这条横带变换到整个z 平面。这样s 平面与z 平面是一一对应关系, 消

13、除了多值变换性, 也就消除了频谱混叠现象。s 平面到z 平面的变换可采用 (2-5) (2-6)令 ，有： (2-7)从s1 平面到z 平面的变换,即 (2-8)代入上式，得到： (2-9) 一般来说，为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，可引入代定常数c， (2-10)则 (2-11) 这种s 平面与z 平面间的单值映射关系就是双线性变换。有了双线性变换，模拟滤波器的数字化只须用进行置换。4.2变换方法的原理脉冲响应不变法介绍：脉冲响应不变法是实现模拟滤波器数字化的一种直观而常用的方法。它特别适合于对滤波器的时域特性有一定要求的场合。按照z=eST的关系，每一个s平面上宽

14、度为2/T的水平条带将重迭映射到z平面上。因此脉冲响应不变法将s平面映射到z平面，不是一个简单的一一对应的关系。对于高采样频率(T小)的情况，数字滤波器在频域可能有极高的增益。为此我们采用 (8) (9) 在脉冲响应不变法设计中，模拟频率与数字频率之间的转换关系是线性的(= *T)。同时，它可以保持脉冲响应不变，h(t)=ha(nT)。因此，这一方法往往用于低通时域数字滤波器设计及相应的模拟系统数字仿真设计。2、双线性变换法介绍：脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换zeST的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压

15、缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。为了将s平面的j轴压缩到s1平面j轴上的一段上，可通过以下的正切变换实现： 这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C，可使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。 经过这样的频率变换，当1由时 由 即映射了整个j轴。将这一关系解析延拓至整个s平面，则得到s平面s1平面的映射关系： 再将s1平面通过标准变换关系映射到z平面，即令z=es1T,通常取C=2/T.最后得S平面与Z平面的单值映射关系： 现在我们再来

16、看一看常数C的取值方法：双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个j)对应于Z平面单位圆的一周，S平面的=0处对应于Z平面的=0处，=对应即数字滤波器的频率响应终止于折迭频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。上面讲到，用不同的方法确定待定常数C，可以使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。也就是说，常数C可以调节频带间的对应关系。确定C的常用方法有两种： 保证模拟滤波器的低频特性逼近数字滤波器的低频特性。此时两者在低频处有确切的对应关系，即 因为和都比较小，所以有 另外，根据归一化数字频率与模拟频率的关系，=/=T，所以有=cT/2，所以，

17、c=2/T。 保证数字滤波器的某一特定频率，如截止频率，与模拟滤波器的某一待定频率c严格对应，即 当截止频率较低时，有Cc/(cT/2)=2/T，所以一般取C=2T。现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始所提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从S平面到Z平面映射变换的二个基本要求： 当时，代入 即S的虚轴映射到Z平面正好是单位圆。 代入z表达式，得 当0时，z0时，z1 ，即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。看前面双线性变换的映射关系图。 五、设计步骤目前，IIR数字滤波器设计最通用的方法是借助于模拟滤波器

18、的设计方法。其设计步骤是：1.先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha（s）。然后将H(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H（z），由此可见，设计的关键的问题就是找到这种转换关系，将S平面上的H（s）转换成Z平面的H（z）。为了保证转换关系后的H（z）稳定且满足技术指标要求，对转换关系提出两点要求： 1.因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。我们知道，模拟滤波器因果稳定的条件是系统函数H（s）的极点全部位于S平面的左半平面；数字滤波器因果稳定的条件是H（z）的极点全部在单位圆内。因此转换关系使S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内。 2.数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频

19、响特性，S平面的虚轴映射为Z平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。 IIR数字滤波器是一种离散时间系统,其系统函数为 (式3-1)假设MN，当MN时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数ak和bk,它是数学上的一种逼近问题,即在规定意义上(通常采用最小均方误差准则)去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。2.保证模拟滤波器的低频特性逼近数字滤波器的低频特性。此时两者在低频处有确切的对应关系，即 因为和都比较小，所以有 另外，根据归一化数字频率与模拟频率的

20、关系，=/=T，所以有=cT/2，所以，c=2/T。 保证数字滤波器的某一特定频率，如截止频率，与模拟滤波器的某一待定频率c严格对应，即 当截止频率较低时，有Cc/(cT/2)=2/T，所以一般取C=2T。现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始所提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从S平面到Z平面映射变换的二个基本要求： 当时，代入 即S的虚轴映射到Z平面正好是单位圆。 代入z表达式，得 当0时，z0时，z1 ，即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。看前面双线性变换的映射关系图。 六、 数字低通滤波器MATL

21、AB编程及幅频特性曲线6.1MATLAB语言编程wp=400*pi;ws=600*pi;Ap=1;As=25;T=0.001;fs=1/T;N,Wn=buttord(wp,ws,Ap,As,s);b,a=butter(N,Wn,s);numd,dend=bilinear(b,a,fs);w=linspace(0,pi,500);h=freqz(numd,dend,w);subplot(1,2,2);plot(w,20*log10(abs(h);xlabel(频率);ylabel(幅度/dB);grid;title(双线性变换法); wp=400*pi;ws=600*pi;Ap=1;As=25;

22、T=0.001;fs=1/T;T=0.001;fs=1/T;N,Wn=buttord(wp,ws,Ap,As,s);b,a=butter(N,Wn,s);numd,dend=impinvar(b,a,fs);w=linspace(0,pi,500);h=freqz(numd,dend,w);subplot(1,2,1);plot(w,20*log10(abs(h);xlabel(频率);ylabel(幅度/dB);grid; title(脉冲响应不变法);6.2 幅频特性曲线 七、 优缺点脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特

23、性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（1-8）所示，重写如下：上式表明，S平面上与Z平面的成非线性的

24、正切关系，如图4所示。由图4看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。图4双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（1-8）及图2所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模