极值理论在风险价值度量中的应用

1、word格式整理版极值理论在风险价值度量中的应用1、引言自20世纪70年代以来，金融市场的波动日益加剧，一些金融危机事件频繁发生，如 1987年的“黑色周末”和亚洲金融危机，这使金融监管机构和广大的投资者对金融资产价 值的暴跌变得尤为敏感。金融资产收益率的尖峰、厚尾现象也使传统的正态分布假定受到严 重的质疑，因此如何有效地刻画金融资产收益率的尾部特征，给出其渐进分布形式，及各种风险度量模型的准确估计方法和置信区间，依此制定投资策略，确定国家监管制度，成为风险度量和管理所面临的巨大挑战。目前，对金融资产损失的估计方法主要包括历史模拟、参数方法和非参数方法。历史模拟是一种最简单的方法，它利用损失的

2、经验分布来近似真实分布，但是该方法不能对过去观察不到的数据进行外推，更不能捕获金融资产收益序列的波动率聚类现象，而受到大量的批评。参数方法假设收益符合某种特定的分布如：正态分布、t分布等，再通过分布与样本的均值、方差的匹配对参数进行估计，或者是假设收益符合某种特定的过程如：ARMA模型、GARCH模型，该方法可以在一定程度上解释尖峰后尾现象和波动率聚类问题，具有比较 好的整体拟和效果。 不过参数方法只能对已经到来的灾难信息给出准确的估计，对于即将到来的灾难信息无法给出准确的预测，因此对极端事件的估计缺乏准确性。非参数方法则主要包括极值理论（EVT）,该理论不研究序列的整体分布情况，只关心序列的

3、极值分布情况，利 用广义帕累托分布（generalized Pareto distribution）或者广义极值分布（generalizedextreme value distribution）来逼近损失的尾部分布情况。Danielsson and de Vries （ 1997）以7支美国股票构成的组合为样本比较各种模型的表现情况，发现EVT的表现比参数方法和历史模拟方法明显的好。Lon gin（ 2000）认为极值理论的优点在于它的没有假设特定的模型， 而是让数据自己去选择，而GARCI模型作为估计风险的一种方法，它只能反映当时的波动率情况，对于没有预期到的变化缺乏准确性。不幸的是，Lee

4、 and Saltoglu （ 2003）把EVT模型应用到5个亚洲股票市场指数上，发现表现令人非常不满意，而传统的方法尽管没有一个在各个市场表现都是绝对优于其它模型的，但都比EVT模型的表现好。本人认为EVT模型之所以在亚洲市场表现不好主要是因为亚洲金融市场的数据具有很强的序列相关和条件异 方差现象，不能满足EVT模型要求的独立同分布假定。另外，Jondeau and Rockinger （ 1999），Rootzen and Kluppelberg （ 1999）， Neftci （ 2000）， Gilli and Kellezi （ 2003）和 Christoffersen and

5、Gon calves （ 2004）也分别采用极值原理和其他模型对金融数据的尾部特征进行了分析和比较。本章在传统单纯采用极值理论(假设被分析数据是独立同分布的)描述金融资产收益尾部特征的基础上，把ARMA (Asymmetric)GARCH模型和极值理论有机的结合起来。首先利用ARMA (Asymmetric)GARCH模型捕获金融数据中的序列自相关( Correlation )和异方差(Heteroskedasticity )现象，禾U用GMM估计参数，获得近似独立同分布的残差序列，再采用传统的极值理论对经过 ARMA (Asymmetric)GARCH模型筛选处理过的残差进行极值分析， 在

6、一定程度上克服了传统单纯采用极值理论时，由于金融数据序列自相关和波动率聚类现象不能满足极值理论假设所造成的估计误差。另外，本章还采用Bootstrap的方法给出了采用极值理论估计出的 VaR和ES在某一置信水平:-下的置信区间改进了采用似然比率法估计置 信区间时，由于极值事件的小样本所造成的误差。最后，我们利用中国上证指数自1990年12月19到2004年9月30日的对数日收益率进行实证研究给出上证指数的VaR和ES值，及置信区间。2、VaR和 ES的概念：VaR (Value at Risk )是一种被广泛接受的风险度量工具，2001年的巴塞耳委员会指定VaR模型作为银行标准的风险度量工具。

7、它可以定义为在一定的置信水平p下，某一资产或投资组合在未来特定时间内的最大损失，或者说是资产组合收益损失分布函数的分位数点。假设X代表某一金融资产的收益，其密度函数为f(x)，则VaR可以表示为：VaRp nf x| f (X 岂 x) (1 - p)(1)当密度函数f (x)为连续函数是也可以写作：Va&-FCp)，其中F-1称为分为数函数，它被定义为损失分布 F(x)的反函数。该模型计算简单，在证券组合损失X符合正态分布，组合中的证券数量不发生变化时，可以比较有效的控制组合的风险。但是VaR模型只关心超过VaR值的频率，而不关心超过VaR值的损失分布情况，且在处理损失符合非正态分布(如 后

8、尾现象)及投资组合发生改变时表现不稳定，会出现VaRp(X Y)VaRp(X) VaRp(Y)(2)的现象，不满足 Artz ner (1999)提出了一致性风险度量模型的次可加性。ES(p)( Expected shortfull )满足Artzner (1999)提出的次可加性、齐次性、单调性、平移不变性条件，是一致性风险度量模型。 它的定义如下：在给定的置信水平 p下，设X是 描述证券组合损失的随机变量，F(x)=PXx是其概率分布函数，令 F (： ) = inf x| F (x) _ ： ，则 ES( .)(X)可以表示为：11 -p 1ES(p)(X)0 F 七)d：(3)P在损失

9、X的密度函数是连续时，ES(p)可以简单的表示为：ESp - -Ex|F(x)乞(1-p)。 本章将分别选用这两个模型来度量金融资产的风险，给出在修正过的极值模型下，其估计的方法和置信区间。3. ARMA- (Asymmetric)GARCH模型3.1 ARMA- (Asymmetric)GARCH模 型的性质ARMA(p,q)模型：pqyt =yt_i C . ；t(4)其中，；t是期望为0,方差为常数 匚2的独立同分布随机变量，ARMA(p,q)模型在可逆的情况下可以表示为 ARC：)。该模型假设yt的条件期望是可得的，条件方差为常数，通常可 以用来解释时间序列的相关性，并可以对时间序列进

10、行的短期预测。但是该模型条件方差为常数的假设，使其无法有效的解释在金融时间序列中经常被观察到的波动率聚类现象，为此，我们需要在模型中进一步引入 GARCH模型。我们令；t =ztht，其中zt是期望为0，方差为常数1,的独立同分布随机变量， ht2是；t 在t时刻的条件方差。这里我们采用通常使用的最简单的 GARCH (1,1)模型，则条件方差可 以表示为：ht2 -a0 a1料 bht2, GARCH (1,1)模型也可以表示成平方误 的形式：f =a 佝 b)-b(；t2-ht2)(；-h2)(5)2 2 2其中E( 丫 -介)|丘)=0，因此GARCH (1,1)模型本质上是平方误；t的

11、ARMA(1,1)。GARCH (1,1)模型的引入不仅可以捕获到金融时间序列的波动率聚类现象，而且可以在一范文范例学习指导定程度上改善zt尖峰后尾现象，因为(6)其中kh4和kZ4分别表示ht和Zt的峰度，ht的峰度明显大于等于 Zt的峰度。另外，在金融序列中我们还可以明显的观察到，波动率正方向变动与收益率负方向变动的相关性大于与收益率正方向变动的相关性，一种可能的解释是收益率的负方向变动会加大波动幅度。而GARCH (1,1)模型认为收益的正方向变动和负方向变动对波动率变动幅度有着相同的影响，为了捕获金融序列波动率变动的这一不对称性，我们引入需要Glosten etal( 1993)提出的

12、非对称 GARCH (1,1)模型：2 2 2 2hta。& 心a?sgn(；t)；t jbht_)( 7)10 xcO其中sgn(:t) =sgn(召)，在这个模型中我们通过 a2sgn(；t)项来捕获收益率J x色0的正负变动对波动率变动的不同影响，如果收益率的波动与收益率波动率的变动像我们上面 所预期的那样，则a2 0。这样我们就得到了 ARMA (Asymmetric)GARCH模型pqyi吃灯严勺J +吗i 1j 1“勺=冇(8)耳2 =ao +(q +a2sg n(和)+b)0时，y 0,比)；当 0时，yw0, ?。分布函数G；a(y)被称作广义的Pareto分布。图2:广义 P

13、areto分布在厂-1，取0.3，0，-0.3的图形从图形上我们可以看到的不同取值确定了尾部的厚度，越大则尾部越厚，越小尾部越薄，从G；4y)函数我们还可以得到当L(?)_?吊但是，于超过阀值的极值数据量不会很多，使的这一估计的渐进效果可能不佳。为此，我们引入Bootstrap方法来获得置信区间的估计。既然我们得到的序列&时独立同分布，就可以每次独立从中抽取N个点组成新的序列，用该序列估计 VaRp和ESp，重复这一操作，就可以得到一系列的 VaRp和ESp估计值，求出VaRp和ESp的经验分布，最后根据经 验分布得到VaRp和ESp的置信区间，并把 VaRp和ESp的期望值作为VaRp和ES

14、p的估计 值。我们在这里只给出了 POT模型中VaRp置信区间的求法，其他参数的置信区间可以类似 的求得。该方法在确定置信区间的同时，也是一种检验模型稳定性的方法。5、实证分析我们采用上海证券交易所公布的日收益综合指数P为原始数据(数据来源：大智慧)，样本空间选自1990年12月19日-2004 年9月30日。样本容量为 3391个(使用 Eviews 和Matlab软件)。我们定义收益为 R =|n P - In R。我们的实证过程分为四步， (1)用 ARM/V (Asymmetric)GARCH模型对收益序列进行过虑得到近似独立同分布的残差序列；t ；(2) 用极值理论对这一残差进行分析

15、，给出其渐进分布，并估计出相应的VaR和ES值。(3) 比较用似然比率和用 Bootstrap方法给出VaR和ES值的置信区间的估计。(4)整合 第一步和第二步的结果，计算收益Rt的VaR和ES值。(5)利用BMM莫型估计VaR值。5.1 ARMA- (Asymmetric)GARCH模型形式和参数的确定首先给出收益序列 Rt的描述性统计量(图1),可以看到序列具有明显的尖峰后尾现象,从J- B检验可以显著的拒绝正态性假设。对收益序列进行单位根ADF检验(见表1),因为检验的t统计量是-23.64516，比显著性水平为1 %的临界值还小，所以拒绝原假设，序列不存在单位根，是平稳序列。Serie

16、s: 丫Sample 1 3391Observations3391Mean0.000338Median0.000199Maximum0.312320Minimum-0.077761Std. Dev.0.012198Skewness5.943910Kurtosis141.0951Jarque-Bera2714435.Probability0.000000图1 :收益序列Rt的描述性统计量ADF Test Statistic-23.645161% Critical-3.4354Value*5% Critical Value-2.862910% Critical Value-2.5675*MacK

17、innon critical values for rejecti on of hypothesis of a un itroot.表1 :序列的单位根检验可以进一步分析数据的自相关和偏相关（见表2）现象，发现滞后10期，在99%的置信水平下都不能拒绝没有自相关和偏相关的原假设，为此可以认为收益序列中不存在ARMA现象。这样，我们就可以直接用 R序列对常数项作最小二乘回归得到残差项可，然后对残差序列勺进行ARCH效应的LM检验（见表3）,发现当q取比较大的值8时的相伴概率仍然有p= 0.044476，小于显著水平0.05，拒绝原假设，残差序列存在高阶 ARCH效应，即有GARCH 效应。Aut

18、ocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob10.0570.05710.9240.00120,D550 06221.2480.00030.0420.03627 1300.00040.0270.02029.5960.00050.D320 02633 1090.0006 -0.013-0.02033.698oroo70.002-0.001337180 0008 -0.024-0 02535.6510 00090.0190.02136 3670 000100.0010 00136.8720 000表2 :样本数据的自相关和偏相关表ARCH T

19、est:F-statistic1.986141Probability0.044340Obs*R-squared15.85684Probability0.044476=表3: ARCH效应的LM统计量检验19),并对其进行正态(19)根据上面的分析，我们可以确定在第一步中所采用的模型公式( 最大似然估计(见表 4)。yt 二 c 厲；t = zA乙 L iid (0,1)2 2 2 2hty 2 a2 sgn(bhtCoefficie n Std. Error z-StatisticProb.tC9.43E-059.03E-051.0442060.2964Variance EquationC1.

20、47E-061.06E-0713.956390.0000ARCH(1)0.4797340.01034546.372400.0000(RESID1,这意味习不存在有限的方差，而在 GMM估计中玄+铉+b?=0.95009c1，保证了缶的方差有限性。GMM估计在没有z分布的情况下给 出了参数的取值，并有效的降低了目标函数Qt的取值。把GMM估计值代入公式（19），由收益序列得到残差序列 z （见图2），从图像上可以看 出序列Zt变的更平稳，波动率聚类现象明显下降，更接近于独立同分布。对其进行一阶,二阶自相关和偏相关性检验和Ljung - Box检验，结果都在很高的水平上拒绝原假设，表示残差序列Zt

21、以没有ARMA现象和条件异方差现象。图2:收益序列R和残差序列zARCH Test:F-statistic2.75E-050.995818ProbabilityObs*R-squared2.75E-050.995817Probability表6:序列zt的ARCH佥验5.2 POT模型的应用基于极值理论中POT模型，我们需要利用充分大的阀值 u，对超限分布进行 GPD以合, 根据公式（14）,得到超限期望图（见图 3）。发现样本的平均超限函数图在 UK0.8时近似 直线，具有明显的 Pareto分布特征。当u = 0.8时数据超过阀值 u的个数Nu = 369 ；当u =0.9时肌=287 ；

22、当u =1时Nu =228，我们的总样本个数 N =3390，在u允许的情 况下选取10%左右的数据（DuMouchel （1983）作为极值数据组是比较合适的选择，否则 可能不能抓住序列尾部分布的特征，样本内过度拟合，样本外不适用。为此，我们分别给出阀值取0.8, 0.9的情况下，利用最大似然估计得到各参数、VaRo.01、ES0.01的取值和95 % 的置信区间（见表 7）,以及在这些参数下的 Q- Q图和分布图（见图 4和图五），从图形中我们可以看到极值分布有效拟合了我们的样本分布，只有个别地方出现异常现象。且在u =0.8和u =0.9两种情况下的拟合效果没有明显的区别，为此在后面我们

23、只给出u二0.9时的图形。u = 0.8 Nu = 369u = 0.9 N u = 287?VaR0.01ES0.01VaR0.01ES0.01下界0.150.331.822.460.160.321.812.46估计值0.2290.3671.9672.7910.2540.3731.9582.818上界0.340.422.153.390.380.432.143.50区间长度0.190.090.330.931.04表7:参数的最大似然估计和95%置信区间图3：序列zt的超限期望图（u,e（u）图4: u=0.8和u=0.9时的Q-Q图图5： u = 0.8和u = 0.9

24、极值分布与经验分布的比较对于？的估计Embrechets (1999)认为金融序列的，-1 的取值范围在3到4之间， 而我们这里计算出来的，几乎不落在3,4的区域内，这主要是因为我们对金融序列用ARMA (Asymmetric)GARCH模型进行了过滤，得到的序列zt在一定程度上消除了的尖峰后尾 现象，使得？估计出来的值偏小，这与Embrechets的结论并不矛盾。另外在Q- Q图中，我们可以看到在0.99的分为数之前拟合效果非常好，在后面出现了个别的异常值，这不会影 响我们对VaR0.0!的估计，因为VaR0.0!只关心0.99分为数之前的分布情况，而不受到0.99分为数之后分布情况的影响。

25、 但是ES0.01的估计由于受到0.99分为数之后分布情况的影响， 所以这会对ES0.01的估计造成一定的误差，这也是为什么我们在表7中看到ES0.01的95%估计区间明显比VaR)的95%估计区间要宽的原因之一。下面我们采用Bootstrap的方法来确定各参数的置信区间，首先在序列zt中进行3390次重复抽取得到一个包含3390个数据的新样本，利用这些新样本估计E、VaR0.01和ES0.01取值，重复上述1000次，则得到四个估计序列，其中每个序列中包含了 1000关于某 个参数的估计值，我们把他看作是一个样本， 把这些样本与前面估计出来的参数区间相比较， 如图6左其中方形区域是 、二单参

26、数确定的95%置信区间，椭圆形区域是 、二的95% 联合置信区间，图形中的散点表示每次估计出来的、二的值构成的点。从图形中我们可以看到大概有5 %的点落在了 95%的联合置信区间的外面，但是当我们考虑单参数置信区间 时发现在区域以外的点大大超过了5%,这表明单参数估计的置信区间存在一定的问题，类似的现象我们还可以在 和ES0.01的估计中(见图6右)看到，联合置信区间比较准确的捕获了数据的特性，单参数置信区间的表示方法就有较大的误差。图6:单参数和联合置信区间，以及bootstrap的估计点KIsigma2图7： Bootstrap 方法得到的、二VaR0.01和ES0.01的经验分布图另外，

27、从四个参数估计序列我们可以得到四个参数的经验分布（见图7），通过线性插值的方法得到参数的估计值和95%的置信区间（见表 8）,用Bootstrap方法估计的置信区间明显比最大似然估计得到的置信区间要宽，这可能是因为我们的样本与广义Pareto分布并不是完全符合，且样本数量有限，最大似然估计的估计值是无偏的，但不是最小方差的，造成的估计的误差，但是两种方法估计出来的参数值比较接近，特别是对VaR0.01和ES0.01的 估计的误差都在10以上，没有明显的差别，只需要对使用似然比率计算出的置信区间坐适当的调整。u =0.8 Nu =369u = 0.9 肌=287j?WeVaR0.01ES0.01

28、c?VaR0.01ES0.01下界0.0890.3181.8062.3720.0850.3151.7892.348估计值0.2220.3701.9662.7910.2420.3771.9552.816上界0.3510.4282.1443.3290.3860.4482.1343.379区间长度0.2620.110.3380.9570.3010.1330.3431.031表8:参数的Bootstrap 估计和95%置信区间有了前面的结果，我们就可以把两个模型结合起来计算收益R的VaRo.01和ES0.01。首先，根据公式(19)和第一步中估计出的 ARMA (Asymmetric)GARCH模型中

29、的参数计算t 1 时刻的波动率h*，然后把zt的VaR、ES0.01的值和95%的上下界代入ythc+htzt卅就可以得到收益 Rt的VaRo.01和ES0.01的值和95%的上下界(见表 9):ht + =u = 0.8Nu =369u = 0.9Nu =2870.01397ZtRtZtRtVaR0.01ES0.01VaR0.01ES0.01VaR0.01ES0.01VaR0.01ES0.01下界1.8062.3720.024390.032301.7892.3480.024150.03197497估计值1.9662.7910.026630.038151.9552.8160.026470.03852781上界2.1443.3290.029110.045672.1343.3790.028970.04639397区间长度0.3380.9570.003880.012530.3431.0310.003950.01359697未经ARMA (Asymmetric)GARCH模型调整估计出来的 Vaf和ES