第12课时解三角形

1、第12课时解三角形1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2009年，2010年的广东高考开始出现正弦定理，余弦定理的小题了，但全国高考试题作为解答题屡见不鲜，由于广东是将三角试题作为送分题，送分要送到位的话，所以在这方面也不大可能出现难题.应以这两个定理与面积公式的直接应用为主，但是2009年的广东高考这部分内容的考题是模块内的交汇.正弦定理、余弦定理与面积公式的应用在锐角abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，且=2csina,(1)确定角c的大小;（2）若

2、c,且abc的面积为,求ab的值.a37233【解析】（1）由=2csina及正弦定理得，,因为sina0，所以sinc=,因为abc是锐角三角形，所以c=.（2）因为c=,c=.由面积公式得,即ab=6.由余弦定理得a2+b22abcos=7,即a2+b2ab=7.由变形得(a+b)2=25,所以a+b=5.7a3caacasinsin3sin22332333sin21ab3【解析】在钝角abc中，已知ab=,ac=1,b=30，则abc的面积是()a.b. c. d.323432343选b.由得，所以c=60，或c=120,由题意知，c=120，所以a=30，sabc=.baccabsin

3、sin23sinc43sin21abc三角形中的边角互换（2010辽宁高考）在abc中，a、b、c分别为内角a、b、c的对边，且2asina=(2b+c)sinb+(2c+b)sinc.（1）求a的大小；（2）若sinb+sinc=1，试判断abc的形状.【解析】（1）根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c.即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosa,故cosa=-,a=120.（2）由（1）得sin2a=sin2b+sin2c+sinbsinc.又sinb+sinc=1，得sinb=sinc=.因为0b90,0c90，故b=c.所以abc是等腰的钝角

4、三角形.2121(2011北京市朝阳区模拟)在锐角abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知cos2c=.（1）求sinc；（2）当c=2a，且b=时，求a.4373【解析】（1）由已知可得12sin2c=.所以sin2c=.因为在abc中，sinc0，所以sinc=.（2）因为c=2a，所以sina=sinc=.因为abc是锐角三角形，所以cosc=，cosa=.所以sinb=sin(a+c)=sinacosc+cosasinc=由正弦定理可得sinb=asina，所以a=.43738714414218144282587341482542814正弦定理和余弦定理的实际应用（金典原创）

5、一气球以v（m/s）的速度由地面上升，10分钟后由观察点p测得气球在p的正东方向s处，仰角为45；再过10分钟后，测得气球在p的东偏北30方向t处，其仰角为60（如图，其中q、r分别为气球在s、t处时的正投影）求风向和风速（风速用含v的式子表示）【解析】340010分钟后由观察点p测得气球在p的正东方向，仰角为45的s点处，即spq=45， 所以pq=qs=600v (m).又10分钟后测得气球在p的东偏北30，其仰角为60的t点处，即rpq=30，tpr=60，rt=2qs=1200v (m)， 于是pr=rtcot60=v (m).在pqr中由余弦定理得：(m).320022qprprco

6、sspqprpqqr因为，所以pqr=,即风向为正南风. 因为气球从s点到t点经历10分钟，即600 s，所以风速为(m/s). 风向为正南风，风速为 m/s.222222)3200()600()3400(qrpqvvvpr233600|vqp33v(2011苏、锡、常、镇四市模拟)如图，abc为一个等腰三角形形状的空地，腰ca的长为3（百米），底ab的长为4（百米）现决定在空地内筑一条笔直的小路ef（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为s1和s2(1)若小路一端e为ac的中点，求此时小路的长度；(2)求的最小值.21ss【解析】（1)因

7、为e为ac中点时，则ae=ec=,因为+3+4,所以f不在bc上.若f在ab上，则ae+af=3ae+4af+3,所以ae+af=5.所以af=4,在三角形abc中，cosa=.在三角形aef中，ef2=ae2+af22aeafcosa=,所以ef=.即小路一端e为ac中点时小路的长度为 百米.2323232723215230230(2)若小路的端点e、f点都在两腰上，如图，设ce=x,cf=y,则x+y=5，当x=y=时取等号.若小路的端点e、f分别在一腰（不妨设腰ac）上和底上，设ae=x,af=y,则x+y=5当x=y=时取等号.所以最小值为.25111)2(9191sin21sin21221yxxyccfceccbcassssssscefabccefcefabc2525231)2(121121221yxxysssssssaefabcaefaefabc2525111.正弦定理解三角形时,注意大边对大角,小边对小角,求大边对角时,可能会有两解;余弦定理解