梁的弯扭失稳

1、第四章 梁的弯扭失稳在最大刚度平面内承受弯曲作用的理想弹性梁，如图4.1 所示，在侧向没有足够的支撑，且侧向刚度很差， 当弯矩 M 达到某一限值 M cr 时，梁产生突然侧向弯曲变形u 和扭转角，此现象称为弯扭失稳。属于第一类稳定问题，即分岔失稳或分支点失稳。图 4.1 受弯构件的弯矩与侧扭变形图 4.1 中，在分岔点A 之前，梁处在平面内稳定的弯曲平衡状态；从分岔点A 开始出现了不稳定的平面弯曲加侧扭变形的中性平衡状态，图中水平线a。实际受弯构件在弯曲平面内和平面外都存在几何缺陷，构件一受弯就会产生侧扭变形，其应属于第二类稳定问题，即极值点失稳。 图中 b 是弹性弯矩变形曲线，实际弯矩一变形

2、曲线应为c， M e 是截面边缘纤维开始屈服时对应的弯矩，M u 是极限弯矩。4.1 梁的弹性弯扭失稳对图 4.2a 所示单轴对称截面纯弯梁，采用固定坐标xyz 的移动坐标系 ，截面的形心o 和剪心 s 在弱轴 y 上，剪心矩为y 0 。在 yz 平面内作用着绕强轴x 的均匀弯矩M x ，当产生平面外微小的侧扭变形时，任意截面的受力和变形如图4.2b 、c 所示。分析时采用如下假定：（ 1） 构件为弹性体；（ 2） 弯曲和扭转时，构件截面的形状不变；（ 3） 构件的侧扭变形是微小的；（ 4） 构件为等截面且无缺陷；（ 5） 在弯矩作用平面内的刚度很大，屈曲前变形对弯扭屈曲的影响忽略不计。用平衡

3、法求解纯弯构件弯扭屈曲临界弯矩时可以直接利用第三章所建立的单轴对称截面压弯构件的平衡方程，只需令方程（3.46），（ 3.47），（ 3.50）中的 P=0 即可得到三个平衡方程：EI xM x0（ 4.1）EI yuM x0（ 4.2）EI w2 yM xGI t RM x u 0（ 4.3）方程（ 4.1）是解耦的，方程（4.2）与方程（ 4.3）是耦联的，对方程（4.2）微分两次，对方程（ 4.3）微分一次后可得到一般受力条件下的单轴对称截面受弯构件弹性弯扭屈曲的微分方程。即EI yu IVM x0（ 4.4）80EI wIV2 yM xGI tRM x u 0（ 4.5）图 4.2纯弯

4、梁的受力与弯扭变形4.1.1支撑条件对梁弯扭失稳临界弯矩的影响1. 两端简支的纯弯构件对方程（ 4.4）积分两次后得EI yuM xAzB（ 4.6）引入边界条件 u ( 0)u ( l)(0)( l)0 , 有 A B0，则由式（ 4.6）得uM x（ 4.7）EI y将式（ 4.7）代入式（ 4.5）后IV2y M x GI t RM x2（ 4.8）EI w0EI y2 y M x GI tRM x2，则式（ 4.8）可写作令 k1， k2EI wEI y EI wIVk1k20（ 4.9）方程（ 4.9）的通解为c1 sinh1 zc2cosh( 1 z) c3sin( 2 z) c4

5、 cos( 2 z)（4.10）式中k1k124k2（ 4.11）1281k1k124k2（ 4.12）22由边界条件0l0 ，0l0得到c2c40（ 4.13）1 sinh(1 )12c2)22c40)4 cos()0（4.14）cc2cosh(1lc3sin(2lc2l（4.15）l12 c1sinh(1l )12c2cosh(1l )22 c3 sin(2 l)22 c4 cos(2 l )0（ 4.16）由 c1 , c2 ,c3 和 c4 有非零解条件，得到稳定方程00010202=0（ 4.17）12sinh(l )cosh(1l )sin(2l )cos(2l)12 sinh(

6、l )2 cosh(l )2 sin(2l )2 cos(2l)111122展开后2221l ) sin(2l )0（4.18）12sinh(由于2220 或 sin(2l)0。若 sinh(1l )0则 10，这样四个常数全120 , 则有可能 sinh( 1l )为零，因此只有sin(2 l ) 0 ，即2 ln, n1,2, 可以得到最小值2l，将2 中 k1 、 k 2 的表达式代入，则得到M x 的最小值，也即是纯弯构件的弯扭屈曲临界弯矩2EI y2I wGI tR 2（ 4.19）M crl 2yyI y12 EI wl将 sin(2 l)0 代入式（ 4.13）（ 4.16）中可

7、得 c1c2c40 ，这样构件的扭转角为c3 sin( 2z)c3 sinz（4.20）把式（ 4.20）代入式（ 4.2）且积分两次后，引入边界条件lu( 0)u(l )0可得uM xl 3c3 sin z（4.21）2EI yl可见按照小变形理论求解时，只能了解构件屈曲时变形曲线为正弦半波曲线，与轴心受压构件分支点屈曲问题一样不能具体确定变形幅值。2. 两端固定的纯弯梁两端绕强轴x弯曲为简支，绕弱轴y弯曲和绕z 轴的扭转均为固定的边界条件是u(0) u (l ) u ( 0)u (l )0 ,( 0)(l )(0)(l )0, 符合这些边界条件的变形函数为uc11cos 2nz，c21co

8、s 2n zll代入耦联方程（4.4）和方程（ 4.5）后，得到临界弯矩2EI yI wGI tR2M cr21l（4.22）l2 2yyI y2EI w23. 悬臂纯弯梁82悬 臂 梁 固 定 端 的 边 界 条 件 为 u (0)u (0)0 ,( 0)( 0)0；自由端的边界条件为u ( l)(l ) 0 。满足这些边界条件的变形函数为u c1 1cosnz ，c21cos n z2l2l将上式代入方程（4.4）和方程（ 4.5）后，得到临界弯矩2 EI y2I w1GI tR2l2）M cr2yy（ 4.232lI y2 EI w当构件端部约束条件不同或在跨中设置侧向支撑以限制构件侧移

9、和扭转时，引进计算长度系数y 和 w 后，式（ 4.19）、式（ 4.22）、式（ 4.23）可以写成临界弯矩通式2 EI y2I wGI k R2M cryl2yyI y12EI wwl（4.24）双轴对称截面梁（如工形和箱形截面），点对称 Z 形截面以及绕对称轴弯曲的单轴对称截面（如槽形截面） ，它们的不对称截面常数y0 ，如不计残余应力影响（R 0 ），则临界弯矩表达式变为M crEI y2EI wGI k（4.25）ylw l 2当两端简支时，进一步简化为M crEI y GI k12 EI w（4.26）lGI k l 24.1.2 荷载作用类型对梁弯扭失稳临界弯矩的影响1. 不等端

10、弯矩作用的梁如图 4.3 所示两端简支的双轴对称工字形截面梁，在两端作用有不相等的弯矩M1和 M2，且 M 1M 2 ，则在任意截面的弯矩为M xM 1M 1M 2z ，代入式（ 4.4）、式（ 4.5）后得到lEI yu IVM 1M 1lM 2 z2 M 1lM 20（4.27）EI wIV(GI kR)(M 1M1 M2)0（ 4.28）lz u式（ 4.27）、式（ 4.28）是藕联的变系数微分方程，可用数值法或能量法求解。用 Ritz 法可以得到目前通用的不等端弯矩作用双轴对称截面梁的临界弯矩计算公式M crEI y GI k 12 EI w（4.29）bGI k l2l式中b 为临

11、界弯矩修正系数，或称为受弯构件的等效弯矩系数，对图 4.3 所示受力条件， 可以推导出b1.751.05M 2M 10.3M2 M122.3（ 4.30）式中 M 1 、 M 2 使梁在弯矩作用平面内产生同向曲率变形的取同号，且M1M 2；使梁产生异向曲率变形的取异号，且要求M1M 2 。83图 4.3不等端弯矩作用的梁2. 横向荷载作用的梁对于图 4.4 所示的两端简支的单轴对称截面梁，在横向均布荷载和跨中集中荷载作用下，总势能的表达式为1l2EI w2GI k2R2222M xuqa2dz12l 22EI y uy M xa02（4.31）图 4.4 横向荷载作用的梁（ 1）横向均布荷载作

12、用的梁用 Ritz 法求解临界弯矩时，假定符合几何边界条件的变形函数为u c1 sinzc2sin z ，ll而 M x1 q lz z2 ，代入式（ 4.31），如不计残余应力，经积分后得到2844 EI y c124 EI w2 GI kqly331 qalc 22ql23 c1c2（4.32）4l 34l 34l24424由0 ，0 可得c1c 22 EI y223 Mc20l 2c132（4.33）223 M2 EI w423 M8aMc1GI kyc203 2l 23 22式中 M1 ql 2，则梁的稳定方程为82EI y223 M=0l 23223 M2EI w423 M8aM2G

13、I ky32l 2322解之可得梁的临界弯矩M cr2 EI y0.466a0.5340.466a0.5342I w1GI k l 2（ 4.34）1.152yyI y2 EI wl（ 2）横向集中荷载作用的梁将方程（ 4.4）积分两次后得到EI y uM xc1 zc2 ，根据两端简支的边界条u 0 0 ，00，可得c1c20，则有 uM x，代入式（4.31）后，总势能表达式变为EI y1 l2222M x2212（4.35）2 0 EI wEI kR2 y M xEI ydz2 pal 2用 Ritz 法求解时，假定符合几何边界条件的变形函数为csinz l，如不计残余应力，则代入式（4

14、.35），经积分后得4 EI w2GI k24p 26 l 31p22（4.36）4l 34ly161922 EI yc2pac2由势能驻值原理c0，并令 MPl 4，则梁的稳定方程为226 l224 y8a22EI wMMGI k0（ 4.37）342l2EI y解之得临界弯矩M cr2 EI y0.554a0.4060.554a0.4062I w1GI k l 2（ 4.38）1.3662yyI y2 EI wl考虑不同边界条件，不同荷载情况后得到受弯构件弯扭屈曲临界弯矩的通式85M cr2EI y2 a2 a2I w1GI tlw213 y3 yI y（ 4.39）l y22 EI w式

15、中：1 临界弯矩修正系数，取决于作用于受弯构件上荷载的形式；2 荷载作用点位置影响系数；3 荷载形式不同时对单轴对称截面的修正系数。具体取值见表 4.1。将上式 M cr 与纯弯构件的M cr (纯弯 ) 的比值记为M cr，则上式可以写成另一个bM cr纯弯通时（不计 R ）M crb2 EI y2I w1GI tl w2（4.40）l y2yyI y2 EI w式中等效弯矩系数b 的取值见表 4.2。表 4.1梁临界弯矩计算公式中的系数86表 4.2等效弯矩系数b注： 1）截面为双轴对称截面，荷载作用于截面的剪心2）表 4.2 （ b）中， M max 为无支承梁段内的最大弯矩的绝对值；M

16、A 为无支承梁段内 1/4 点处弯矩的绝对值；MB 为无支承梁段中点弯矩的绝对值；MC 无支承梁段内3/4 点处弯矩的绝对值。【例题 4.1】 计算图4.5(a)所示两端简支的双轴对称的焊接工形截面受弯构件临界弯矩和等效弯矩系数。截面尺寸见图4.5(b) ，不计残余应力影响，屈服强度y23.5kN / cm 2 ，比例极限p19kN / cm 2 ，弹性模量 E2.0610 4 kN / cm 2 ，剪切模量 G7.9103 kN / cm 2 。跨中的集中荷载分别作用于截面的上翼缘、剪心和下翼缘。 解截 面 的 几 何 性 质 ： I x2.08105 cm 4 ， I y6550cm 4，

17、 I k 52.22cm 4 ，26，3GI k l 21。I wI y h / 4 13619808cmWx 4502cm， 2 EI w8.2869临界弯矩修正系数1 1.35 ，荷载作用点位置影响系数20.55，临界弯矩计算公式为87图 4.5跨中集中荷载作用的梁2EI y2M cr 1.352I w 1GI k l w0.55a0.55al y2I y2 EI w1）当荷载作用于截面的上翼缘时，a46.2cm2206006550M cr 1.35900 20.5546.20.5546.2 2136198081165508.2869222025.41645.67233064690kNcm

18、纯弯构件的临界弯矩M crEI y GI k 12 EI w26043.22 1 8.2869 79365kN cmGI k l 2l则等效弯矩系数64690b0.815793652）当荷载作用于截面剪心时，a 0M cr22202330 107183kN cmb 1.353）当荷载作用于截面的下翼缘时，a46.2cmM cr 222025.41645.672330177511kN cm177511b2.2479365从上面计算中可以看出，三种荷载作用点不同时，等效弯矩系数b 的比值是1:1.66:2.74，说明荷载作用点位置不同时临界弯矩的差别很大。除了荷载作用于截面上翼缘的临界应力crM

19、cr64690 10 314.37kN / cm 2p19kN / cm2，即在弹性状态屈曲外，其他两种情Wx452088况的临界应力都超过了比例极限，均在弹塑性状态屈曲。4.2 梁的弹塑性弯扭失稳如果梁的侧向弯曲长细比y 不是很大，梁在失稳时截面应力超出弹性范围，会发生弹塑性弯扭失稳。对焊接组合的截面梁，在焊缝近旁处的残余应力有时高达材料的屈服强度f y ，当梁一开始受载时， 截面就会出现局部范围的屈服，特别是受压翼缘局部进入塑性对梁整体稳定会产生不容忽视的影响。 求解梁弹塑性弯扭失稳问题，可以采取一个典型的截面和典型的残余应力分布模式，考虑几何缺陷，用数值方法得到梁的临界弯矩。图 4.6

20、为两端简支的双轴对称工型截面纯弯梁，残余应力分布如图4.6（ a），且 rt rc，在弯矩作用下， 上翼缘外侧首先屈服。 假定材料为理想弹塑性体，应力屈服后， Et 0 ，而 GtG 4。在弹塑性状态， 截面将形成单轴对称截面，截面弹性区为图4.6(d) 的非阴影部分， 中和轴向下移动 yn ，剪心 s 下移 y 0 ，图 4.6(b) 中的虚线即为剪心线。将截面的翼缘，腹板划分为许多单元，单位面积为 Ai ；中心坐标为 xi , yi 。图 4.6弹塑性状态的纯弯梁求解梁弹塑性弯扭失稳临界弯矩的数值方法计算步骤如下：（ 1）建立截面的 M关系先给定曲率，则有对应的弯曲轴坐标y n ，截面任一

21、点的应力i 、应变i 满足iyiynriEi E ,iEi i ,当yiy 时Ei0 ， iyGtG 4当 iy 时Ei0 ， iyGtG 4当 iy 时89由i Ai0 重新确定弯曲轴的位置，若与前面yn 相差较大，则应调整yn ，直到满足精度要求，则与对应的弯矩Mi ( yiyn ) Ai再给定另一个曲率，又可得到与其对应的M ，从而建立 M关系。（ 2）计算截面几何性质参数将梁沿纵向划分为许多单元，确定了分级弯矩对应的每个单元中点截面弹性分布范围后，就可以求出单元中点截面弹性区的I ey ， I ew ， I ek ， I pk 以及剪心矩 y0 和 Wagner 效应系数 K 。(3)

22、 建立单元平衡方程，形成各单元线形方程组的系数矩阵参照方程（ 4.4）、（ 4.5）的推导，可以得到单元的平衡方程EI eyuM x0EI ewKGI ekGt I pkM x u0式中 K 为 Wagner 效应系数，且Kii2 Aiixi2yi22y0 yiy02 Ai引入变形函数u ,，代入方程组后可以形成单元的线性代数方程组，得到系数矩阵。(4) 求解临界弯矩将各单元系数矩阵组合，形成总系数矩阵K ，屈曲条件是与矩阵K 对应的行列式 K 0 。实际的判别准则为：当前后两轮迭代得到的系数矩阵对应的行列式满足K i K i 1 0 ，且对应的M 满足M10 3 ，则解得的弯矩 M 即为临界

23、弯矩 M cr 。图 4.7 为电算框图。M90图 4.7梁临界弯矩的电算框图4.3梁的弯扭失稳理论在设计中的应用钢结构设计中，为了保证梁不发生弯扭失稳，要求M xcrcrf yfW xrRf ybr R或写成规范采用的形式M xf( 4.41)bWx式中 M x 为绕强轴作用的最大弯矩， Wx 为按受压纤维确定的梁毛截面的抵抗矩，rR 为抗力分项系数，cr为临界应力， bcr f y 为梁的整体稳定系数。对图 4.8 所示单轴对称截面梁，结合式（4.40），则91crM crl2 EI y2I w1GI k l w2(4.42)f yWx f y2Wx f yI y2 EI wbbyy引入两

24、个系数b 、b ，其中b 是图 4.8 中受压上翼缘 b1t1 结 y 轴的惯性矩 I 1 与全截面的惯性矩 I y I 1 I 2 的比值，即bI1 I y ； b 为截面的不对称影响系数:对双轴对称的工形截面b0对单轴对称的工形截面加强受压翼缘（图4.8（ a）加强受拉翼缘（图4.8(b) ）b0.8 2b 1b2 b1截面的自由扭转惯性矩简化为I k1 At12 ，翅曲惯性矩 I wI 1I 2 h 2b 1 b I y h2 ， I y l 2A2y ，3I yE 2.06 105 N mm 2 ， E G2.6 ， f y235 N mm 2 ，代入式（ 4.42）后可得到焊接工形等

25、截面简支梁的整体稳定系数计算公式4320Ah22351yt1( 4.43)bb2Wxbf yy4.4h当由式（ 4.43）算得 b0.6 时，应用b 代替b 值：1.070.2821.0(4.44)bb图 4.8 单轴对称截面【例题 4.2】图 4.9a 为两端简支的受弯构件，在其中点有一侧向支撑并作用有集中荷载Q。构件的截面有如图4.9b、 c 和 d 三种尺寸，翼缘均具有火焰切割边。构件长度10m，钢材Q235，f y 235N / mm 2，强度设计值 f 215N / mm 2。确定屈曲荷载的设计值。图 4.9 等截面受弯构件92 解1）按照图 4.9b 截面尺寸计算屈曲荷载截面几何性

26、质参数：A136cm 2 ， Wx 3214cm 3 ， i y4.79cm ， y500 / 4.79104.38 ，b0 。由表 4.2 查出b1.75。由式 ( 4.43) 得到4320Ah2235y t1bb2Wx14.4hbf yy432013678.4104.3821.75211.2104.3832144.478.42.4490.6则受弯构件的弹塑性弯扭屈曲的稳定系数为1.070.2821.070.2821.070.1950.875b1.449b由 MbWx f ，而 MQl / 4 ，则有Q4 b Wx f / l40.8753214103215241.85kN101062）按照图 4.9c 截面尺寸计算屈曲荷载截面几何性质参数：A136cm 2 ，Wx3475.9cm3， i y5.07cm ， y500 / 5.0798.62 ，b0.771， b 0.8 2b10.8 20.77110.4336 。由表 4.2 查出 b1.75 。432013678.498.621.22b1.750.4336198.62 23475.94.478.43.5550.61.070.2821.070.2821.070.0790.991b3.555bQ4 bWxf / l