特殊的四边形压轴题教学借鉴

1、特殊的四边形 压轴题题一解答题（共30小题）1已知，正方形abcd中，man=45，man绕点a顺时针旋转，它的两边分别交cb、dc（或它们的延长线）于点m、n，ahmn于点h（1）如图，当man绕点a旋转到bm=dn时，请你直接写出ah与ab的数量关系： ；（2）如图，当man绕点a旋转到bmdn时，（1）中发现的ah与ab的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知man=45，ahmn于点h，且mh=2，nh=3，求ah的长（可利用（2）得到的结论）2如图，在abcd中，bc=2ab=4，点e、f分别是bc、ad的中点（1）求证：abecdf；（2）当四边形

2、aecf为菱形时，求出该菱形的面积3如图，在abc中，d是bc边上的一点，e是ad的中点，过a点作bc的平行线交ce的延长线于f，且af=bd，连接bf（1）求证：d是bc的中点（2）如果ab=ac，试判断四边形afbd的形状，并证明你的结论4已知在rtabc中，acb=90，现按如下步骤作图：分别以a，c为圆心，a为半径（aac）作弧，两弧分别交于m，n两点；过m，n两点作直线mn交ab于点d，交ac于点e；将ade绕点e顺时针旋转180，设点d的像为点f（1）请在图中直线标出点f并连接cf；（2）求证：四边形bcfd是平行四边形；（3）当b为多少度时，四边形bcfd是菱形5如图，在矩形ab

3、cd中，ab=5，ad=3，点p是ab边上一点（不与a，b重合），连接cp，过点p作pqcp交ad边于点q，连接cq（1）当cdqcpq时，求aq的长；（2）取cq的中点m，连接md，mp，若mdmp，求aq的长6正方形abcd和正方形aefg有公共顶点a，将正方形aefg绕点a按顺时针方向旋转，记旋转角dag=，其中0180，连结df，bf，如图（1）若=0，则df=bf，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由7如图正方形abcd中，

4、e为ad边上的中点，过a作afbe，交cd边于f，m是ad边上一点，且有bm=dm+cd（1）求证：点f是cd边的中点；（2）求证：mbc=2abe8如图，在正方形abcd中，e、f分别为bc、ab上两点，且be=bf，过点b作ae的垂线交ac于点g，过点g作cf的垂线交bc于点h延长线段ae、gh交于点m（1）求证：bfc=bea；（2）求证：am=bg+gm9如图，已知矩形abcd，ad=4，cd=10，p是ab上一动点，m、n、e分别是pd、pc、cd的中点（1）求证：四边形pmen是平行四边形；（2）请直接写出当ap为何值时，四边形pmen是菱形；（3）四边形pmen有可能是矩形吗？若

5、有可能，求出ap的长；若不可能，请说明理由10如图，已知正方形abcd，把边dc绕d点顺时针旋转30到dc处，连接ac，bc，cc，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程11如图，在正方形abcd中，点e、点f分别在边bc、dc上，be=df，eaf=60（1）若ae=2，求ec的长；（2）若点g在dc上，且agc=120，求证：ag=eg+fg12如图，正方形abcd的对角线相交于点o点e是线段do上一点，连接ce点f是oce的平分线上一点，且bfcf与co相交于点m点g是线段ce上一点，且co=cg（1）若of=4，求fg的长；（2）求证：bf=og+cf13（1）如图，两个正方形的边长

6、均为3，求三角形dbf的面积（2）如图，正方形abcd的边长为3，正方形cefg的边长为1，求三角形dbf的面积（3）如图，正方形abcd的边长为a，正方形cefg的边长为b，求三角形dbf的面积14如图，正方形abcd中，e是bd上一点，ae的延长线交cd于f，交bc的延长线于g，m是fg的中点（1）求证：1=2；ecmc（2）试问当1等于多少度时，ecg为等腰三角形？请说明理由15如图，正方形abcd中，m为bc上除点b、c外的任意一点，amn是等腰直角三角形，斜边an与cd交于点f，延长an与bc的延长线交于点e，连接mf、cn（1）求证：bm+df=mf；（2）求nce的度数16如图，

7、在菱形abcd中，ab=2，dab=60，点e是ad边的中点，点m是ab边上的一个动点（不与点a重合），延长me交cd的延长线于点n，连接md，an（1）求证：四边形amdn是平行四边形（2）当am的值为何值时，四边形amdn是矩形？请说明理由17如图，abc中，ab=ac，ad是abc外角的平分线，已知bac=acd（1）求证：abccda；（2）若b=60，求证：四边形abcd是菱形18如图，在abc中，ab=ac，b=60，fac、eca是abc的两个外角，ad平分fac，cd平分eca求证：四边形abcd是菱形19如图，在四边形abcd中，ab=ad，cb=cd，e是cd上一点，be交

8、ac于f，连接df（1）证明：bac=dac，afd=cfe（2）若abcd，试证明四边形abcd是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定e点的位置，使得efd=bcd，并说明理由20如图，abc中，ab=ac，ad是bac的角平分线，点o为ab的中点，连接do并延长到点e，使oe=od，连接ae，be（1）求证：四边形aebd是矩形；（2）当abc满足什么条件时，矩形aebd是正方形，并说明理由21如图，abc中，点o是边ac上一个动点，过o作直线mnbc设mn交acb的平分线于点e，交acb的外角平分线于点f（1）求证：oe=of；（2）若ce=12，cf=5，求oc的长；（3）当点o在边a

9、c上运动到什么位置时，四边形aecf是矩形？并说明理由22如图，过正方形abcd的顶点d作deac交bc的延长线于点e（1）判断四边形aced的形状，并说明理由；（2）若bd=8cm，求线段be的长23如图，菱形abcd中，e是ad中点，efac交cb的延长线于点f（1）de和bf相等吗？请说明理由（2）连接af、be，四边形afbe是平行四边形吗？说明理由24如图1，菱形abcd中，点e、f分别为ab、ad的中点，连接ce、cf（1）求证：ce=cf；（2）如图2，若h为ab上一点，连接ch，使chb=2ecb，求证：ch=ah+ab25如图，四边形abcd是菱形，e是bd延长线上一点，f是

10、db延长线上一点，且de=bf，连接af、cf（1）请你猜想图中与点f有关的一个正确结论；（2）证明你的猜想26如图，菱形abcd中，点e、m在ad上，且cd=cm，点f为ab上的点，且ecf=b（1）若菱形abcd的周长为8，且d=67.5，求mcd的面积；（2）求证：bf=efem27如图，在菱形abcd中，b=60，点e、f分别在边bc、cd上（1）若ab=4，试求菱形abcd的面积；（2）若aef=60，求证：ab=ce+cf28（1）人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1，abcd中，过对角线bd上一点p作efbc，hgab，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？根

11、据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为 和 ；（2）如图2，点p为abcd内一点，过点p分别作ad、ab的平行线分别交abcd的四边于点e、f、g、h已知sbhpe=3，spfdg=5，则spac= ；（3）如图3，若五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形efgh（不重复、无缝隙）已知四个平行四边形面积的和为14，四边形abcd的面积为11，则菱形efgh的周长为 29将矩形纸片abcd折叠，使点c与点a重合，然后展开，折痕为ef，连接ae、cf，求证：四边形aecf是菱形30如图，abc中，bac=90，点d是bc的中点，aedc，ecad，连接de交ac于点o，（1）求证：四边形

12、adce是菱形；（2）若ab=ao，求tanoce的值2017年11月04日数学1的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1已知，正方形abcd中，man=45，man绕点a顺时针旋转，它的两边分别交cb、dc（或它们的延长线）于点m、n，ahmn于点h（1）如图，当man绕点a旋转到bm=dn时，请你直接写出ah与ab的数量关系：ah=ab；（2）如图，当man绕点a旋转到bmdn时，（1）中发现的ah与ab的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知man=45，ahmn于点h，且mh=2，nh=3，求ah的长（可利用（2）得到的结论）【分析】（

13、1）由三角形全等可以证明ah=ab，（2）延长cb至e，使be=dn，证明aemanm，能得到ah=ab，（3）分别沿am、an翻折amh和anh，得到abm和and，然后分别延长bm和dn交于点c，得正方形abce，设ah=x，则mc=x2，nc=x3，在rtmcn中，由勾股定理，解得x【解答】解：（1）如图ah=ab（2）数量关系成立如图，延长cb至e，使be=dnabcd是正方形，ab=ad，d=abe=90，在rtaeb和rtand中，rtaebrtand，ae=an，eab=nad，eam=nam=45，在aem和anm中，aemanmsaem=sanm，em=mn，ab、ah是ae

14、m和anm对应边上的高，ab=ah（3）如图分别沿am、an翻折amh和anh，得到abm和and，bm=2，dn=3，b=d=bad=90分别延长bm和dn交于点c，得正方形abcd，由（2）可知，ah=ab=bc=cd=ad设ah=x，则mc=x2，nc=x3，在rtmcn中，由勾股定理，得mn2=mc2+nc252=（x2）2+（x3）2（6分）解得x1=6，x2=1（不符合题意，舍去）ah=6【点评】主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等2如图，在abcd中，bc=2ab=4，点e、f分别是bc、ad的中点（1）求证：abecdf； （2）当四边形aecf为菱形时，求出该菱形

15、的面积【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用sas证全等第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道abe为等边三角形这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得【解答】（1）证明：在abcd中，ab=cd，bc=ad，abc=cda又be=ec=bc，af=df=ad，be=dfabecdf（2）解：四边形aecf为菱形，ae=ec又点e是边bc的中点，be=ec，即be=ae又bc=2ab=4，ab=bc=be，ab=be=ae，即abe为等边三角形，abcd的bc边上的高为2sin60=，菱形aecf的面积为2【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理

16、能力（1）用sas证全等；（2）若四边形aecf为菱形，则ae=ec=be=ab，所以abe为等边三角形3如图，在abc中，d是bc边上的一点，e是ad的中点，过a点作bc的平行线交ce的延长线于f，且af=bd，连接bf（1）求证：d是bc的中点（2）如果ab=ac，试判断四边形afbd的形状，并证明你的结论【分析】（1）因为afbc，e为ad的中点，即可根据aas证明aefdec，故有bd=dc；（2）可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定【解答】（1）证明：afbc，afe=dce（1分）e是ad的中点，ae=de（2分）aef=dec，aefdec（3分）af=dc，af=bd

17、bd=cd，d是bc的中点；（4分）（2）四边形afbd是矩形，（5分）证明：ab=ac，d是bc的中点，adbc，adb=90，（6分）af=bd，afbc，四边形afbd是平行四边形，（7分）四边形afbd是矩形【点评】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系4已知在rtabc中，acb=90，现按如下步骤作图：分别以a，c为圆心，a为半径（aac）作弧，两弧分别交于m，n两点；过m，n两点作直线mn交ab于点d，交ac于点e；将ade绕点e顺时针旋转180，设点d的像为点f（1）请在图中直线标出点f并连接cf；（2）求证：四

18、边形bcfd是平行四边形；（3）当b为多少度时，四边形bcfd是菱形【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）首先根据作图得到mn是ac的垂直平分线，然后得到de等于bc的一半，从而得到de=ef，即df=bc，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；（3）得到bd=cb后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可【解答】解：（1）如图所示：（2）根据作图可知：mn垂直平分线段ac，d、e为线段ab和ac的中点，de是abc的中位线，de=bc，将ade绕点e顺时针旋转180，点d的像为点f，ef=ed，df=bc，debc，四边形bcfd是平行四边形；（3）当b=60时，

19、四边形bcfd是菱形；b=60，bc=ab，db=ab，db=cb，四边形bcfd是平行四边形，四边形bcfd是菱形【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定及基本作图的知识，解题的关键是能够了解各种特殊四边形的判定定理，难度不大5如图，在矩形abcd中，ab=5，ad=3，点p是ab边上一点（不与a，b重合），连接cp，过点p作pqcp交ad边于点q，连接cq（1）当cdqcpq时，求aq的长；（2）取cq的中点m，连接md，mp，若mdmp，求aq的长【分析】（1）根据全等三角形的性质求得dq=pq，pc=dc=5，然后利用勾股定理即可求得；（2）方法1、过m作efcd于f，则efab

20、，先证得mdfpme，求得me=df=，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得方法2、利用三角形的外角和dmp=90，得出dcp=90，得出bp=bc=3，再判断出aq=ap=2即可【解答】解：（1）cdqcpq，dq=pq，pc=dc，ab=dc=5，ad=bc=3，pc=5，在rtpbc中，pb=4，pa=abpb=54=1，设aq=x，则dq=pq=3x，在rtpaq中，（3x）2=x2+12，解得x=，aq=（2）方法1，如图2，过m作efcd于f，则efab，mdmp，pmd=90，pme+dmf=90，fdm+dmf=90，mdf=pme，m是qc的中点，dm=qc，pm=qc，d

21、m=pm，在mdf和pme中，mdfpme（aas），me=df，pe=mf，efcd，adcd，efad，qm=mc，df=cf=dc=，me=，me是梯形abcq的中位线，2me=aq+bc，即5=aq+3，aq=2方法2、点m是rtcdq的斜边cq中点，dm=cm，dmq=2dcq，点m是rtcpq的斜边的中点，mp=cm，pmq=2pcq，dmp=90，2dcq+2pcq=90，pcd=45，bcp=9045=45，bpc=45=bcp，bp=bc=3，cpq=90，apq=1809045=45，aqp=9045=45=apq，aq=ap=2【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判

22、定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等，（2）求得mdfpme是本题的关键6正方形abcd和正方形aefg有公共顶点a，将正方形aefg绕点a按顺时针方向旋转，记旋转角dag=，其中0180，连结df，bf，如图（1）若=0，则df=bf，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由【分析】（1）利用正方形的性质证明dgfbef即可；（2）当=180时，df=bf（3）利用正方形的性质和dgfbef的性质即可

23、证得是真命题【解答】（1）证明：如图1，四边形abcd和四边形aefg为正方形，ag=ae，ad=ab，gf=ef，dgf=bef=90，dg=be，在dgf和bef中，dgfbef（sas），df=bf；（2）解：图形（即反例）如图2，（3）解：补充一个条件为：点f在正方形abcd内；即：若点f在正方形abcd内，df=bf，则旋转角=0【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件7如图正方形abcd中，e为ad边上的中点，过a作afbe，交cd边于f，m是ad边上一点，且有b

24、m=dm+cd（1）求证：点f是cd边的中点；（2）求证：mbc=2abe【分析】（1）由正方形得到ad=dc=ab=bc，c=d=bad=90，abcd，根据afbe，求出aeb=afd，推出baeadf，即可证出点f是cd边的中点；（2）延长ad到g使bm=mg，得到dg=bc=dc，证fdgfcb，求出b，f，g共线，再证abecbf，得到abe=cbf，根据三角形的外角性质即可求出结论（1）证明：正方形abcd，ad=dc=ab=bc，c=d=bad=90，abcd，afbe，aoe=90，eaf+aeb=90，eaf+baf=90，aeb=baf，abcd，baf=afd，aeb=a

25、fd，bad=d，ab=ad，baeadf，ae=df，e为ad边上的中点，点f是cd边的中点；（2）证明：延长ad到g使mg=mb连接fg，fb，bm=dm+cd，dg=dc=bc，gdf=c=90，df=cf，fdgfcb（sas），dfg=cfb，b，f，g共线，e为ad边上的中点，点f是cd边的中点，ad=cdae=cf，ab=bc，c=bad=90，ae=cf，abecbf，abe=cbf，agbc，agb=cbf=abe，mbc=amb=2agb=2gbc=2abe，mbc=2abe【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，正方形的性质等知识点，综合运用性质进

26、行证明是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度8如图，在正方形abcd中，e、f分别为bc、ab上两点，且be=bf，过点b作ae的垂线交ac于点g，过点g作cf的垂线交bc于点h延长线段ae、gh交于点m（1）求证：bfc=bea；（2）求证：am=bg+gm【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，ab=bc，又be=bf，所以abe和cbf全等，再根据全等三角形对应角相等即可证出；（2）连接dg，根据正方形的性质，ab=ad，dac=bac=45，ag是公共边，所以abg和adg全等，根据全等三角形对应边相等，bg=dg，对应角相等2=3，因为bgae，所以bae+2=90，而b

27、ae+4=90，所以2=4，因此3=4，根据gmcf和（1）中全等三角形的对应角相等可以得到1=bfc=2，在adg中，dgc=3+45，所以dgm三点共线，因此adm是等腰三角形，am=dm=dg+gm，所以am=bg+gm证明：（1）在正方形abcd中，ab=bc，abc=90，在abe和cbf中， ，abecbf（sas），bfc=bea；（2）连接dg，在abg和adg中，abgadg（sas），bg=dg，2=3，bgae，bae+2=90，bad=bae+4=90，2=3=4，gmcf，bcf+1=90，又bcf+bfc=90，1=bfc=2，1=3，在adg中，dgc=3+45，

28、dgc也是cgh的外角，d、g、m三点共线，3=4（已证），am=dm，dm=dg+gm=bg+gm，am=bg+gm【点评】本题综合性较强，主要考查正方形的性质，三角形全等的判定，三角形全等的性质，第二问中，证明三点共线是解题的关键9如图，已知矩形abcd，ad=4，cd=10，p是ab上一动点，m、n、e分别是pd、pc、cd的中点（1）求证：四边形pmen是平行四边形；（2）请直接写出当ap为何值时，四边形pmen是菱形；（3）四边形pmen有可能是矩形吗？若有可能，求出ap的长；若不可能，请说明理由【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明（2）当dp=cp时，

29、四边形pmen是菱形，p是ab的中点，所以可求出ap的值（3）四边形pmen是矩形的话，dpc必需为90，判断一下dpc是不是直角三角形就行解：（1）m、n、e分别是pd、pc、cd的中点，me是pc的中位线，ne是pd的中位线，mepc，enpd，四边形pmen是平行四边形；（2）当ap=5时，在rtpad和rtpbc中， ，padpbc，pd=pc，m、n、e分别是pd、pc、cd的中点，ne=pm=pd，me=pn=pc，pm=me=en=pn，四边形pmen是菱形；（3）四边形pmen可能是矩形若四边形pmen是矩形，则dpc=90设pa=x，pb=10x，dp=，cp= dp2+cp

30、2=dc2 16+x2+16+（10x）2=102x210x+16=0 x=2或x=8 故当ap=2或ap=8时，四边形pmen是矩形【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质10如图，已知正方形abcd，把边dc绕d点顺时针旋转30到dc处，连接ac，bc，cc，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程【分析】利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出【解答】解；图中的等腰三角形有：dcc，dca，cab，cbc，理由：四边形abcd是正方形，ab=ad=dc，bad=adc

31、=90，dc=dc=da，dcc，dca为等腰三角形，cdc=30，adc=90，adc=60，acd为等边三角形，ac=ad=ab，cab为等腰三角形，cab=9060=30，cdc=cab，在dcc和abc中，dccabc（sas），cc=cb，bcc为等腰三角形【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出acd为等边三角形是解题关键11如图，在正方形abcd中，点e、点f分别在边bc、dc上，be=df，eaf=60（1）若ae=2，求ec的长；（2）若点g在dc上，且agc=120，求证：ag=eg+fg【分析】（1）连接ef，根据正方形的性质求出ab=

32、ad，b=d，然后利用“边角边”证明abe和adf全等，根据全等三角形对应边相等可得ae=af，从而得到aef是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得ef，再判断出cef是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可；（2）方法一：根据邻补角的定义求出agf=60，然后判断出点a、e、g、f四点共圆，从而得到age=afe=60，再求出cge=60，延长ge交ab的延长线于h，根据两直线平行，内错角相等可得h=cge=60，再求出gaf=hae，然后利用“角角边”证明afg和aeh全等，根据全等三角形对应边相等可得ag=ah，fg=eh，从而得证；方法二：在ag上截取g

33、h=fg，可得fgh是等边三角形，根据等边三角形的性质可得fh=fg，fhg=60，再求出afh=efg，然后利用“边角边”证明afh和efg全等，根据全等三角形对应边相等ah=ge，然后证明即可【解答】（1）解：如图，连接ef，在正方形abcd中，ab=ad，b=d，在abe和adf中，abeadf（sas），ae=af，eaf=60，aef是等边三角形，ef=ae=2，be=df，bc=cd，bcbe=cddf，即ce=cf，cef是等腰直角三角形，ec=ef=2=；（2）方法一：证明：agc=120，agf=180agc=180120=60，又aef是等边三角形，（已证）aef=60，点

34、a、e、g、f四点共圆，age=afe=60，cge=agcage=12060=60，如图（2）延长ge交ab的延长线于h，abcd，h=cge=60，h=agf，又gaf+eag=eaf=60，hae+eag=gab=60，gaf=hae，在afg和aeh中，afgaeh（aas），ag=ah，fg=eh，age=60，agh是等边三角形，ah=gh=eg+eh=eg+fg，即ag=eg+fg方法二：如图（2）在ag上截取gh=fg，agc=120，agf=60，fgh是等边三角形，fh=fg，fhg=60，aef是等边三角形，afe=60，afe=gfh=60，afeefh=gfhefh，

35、即afh=efg，在afh和bfg中，afhefg（sas），ah=ge，ag=ah+gh=eg+fg，即ag=eg+fg【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（2）先求出四点共圆，然后求出age=afe=60，然后作辅助线构造出全等三角形是解题的关键12如图，正方形abcd的对角线相交于点o点e是线段do上一点，连接ce点f是oce的平分线上一点，且bfcf与co相交于点m点g是线段ce上一点，且co=cg（1）若of=4，求fg的长；（2）求证：bf=og+cf【分析】（1）根据条件证明ocfgcf，由全等的性质就可以得出of=gf而得出结论；（2）在bf上截取bh=cf

36、，连接oh通过条件可以得出obhocf可以得出oh=of，从而得出ogfh，ohfg，进而可以得出四边形ohfg是平行四边形，就可以得出结论【解答】（1）解：cf平分oce，ocf=ecfoc=cg，cf=cf，在ocf和gcf中，ocfgcf（sas）fg=of=4，即fg的长为4（2）证明：在bf上截取bh=cf，连接oh四边形abcd为正方形，acbd，dbc=45，boc=90，ocb=180bocdbc=45ocb=dbcob=ocbfcf，bfc=90obh=180bocomb=90omb，ocf=180bfcfmc=90fmc，且omb=fmc，obh=ocf在obh和ocf中，

37、obhocf（sas）oh=of，boh=cofboh+hom=boc=90，cof+hom=90，即hof=90ohf=ofh=（180hof）=45ofc=ofh+bfc=135ocfgcf，gfc=ofc=135，ofg=360gfcofc=90fgo=fog=（180ofg）=45gof=ofh，hof=ofgogfh，ohfg，四边形ohfg是平行四边形og=fhbf=fh+bh，bf=og+cf【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键13（1）如图，两个正方形的边长均为3，求三角形dbf的面积（

38、2）如图，正方形abcd的边长为3，正方形cefg的边长为1，求三角形dbf的面积（3）如图，正方形abcd的边长为a，正方形cefg的边长为b，求三角形dbf的面积【分析】（1）三角形的面积为底高，可看出三角形dbf的底和高都是3，可求出解（2）正方形abcd的面积加上以cd为长ce为宽的长方形的面积减去abd，bef，dgf的面积即可求出解（3）两个正方形的面积减去abd，bef，gdf的面积可求出解【解答】解：（1）三角形dbf的面积：33=（2分）（2）三角形dbf的面积：32+3133（3+1）121=（3）三角形dbf的面积：a2+b2aa（a+b）b（ba）b=（2分）结论是：三

39、角形dbf的面积的大小只与a有关，与b无关【点评】本题考查读图的能力，关键是从图中看出三角形dbf的面积由哪些图形相加减得到14如图，正方形abcd中，e是bd上一点，ae的延长线交cd于f，交bc的延长线于g，m是fg的中点（1）求证：1=2；ecmc（2）试问当1等于多少度时，ecg为等腰三角形？请说明理由【分析】（1）根据正方形的对角线平分一组对角可得ade=cde，然后利用边角边定理证明ade与cde全等，再根据全等三角形对应角相等即可证明；根据两直线平行，内错角相等可得1=g，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得mc=mg，然后据等边对等角的性质得到g=mcg，所以2=mc

40、g，然后根据fcg=90即可证明mce=90，从而得证；（2）根据（1）的结论，结合等腰三角形两底角相等g=gec，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可求解（1）证明：四边形abcd是正方形，ade=cde，ad=cd，在ade与cde，adecde（sas），1=2， adbg（正方形的对边平行），1=g，m是fg的中点，mc=mg=mf，g=mcg，又1=2，2=mcg，fcg=mcg+fcm=90，ecm=2+fcm=90，ecmc；（2）解：1=30时，ecg为等腰三角形理由如下：ecg为等腰三角形，g=ceg，又1=2=g，在ecg中，g+ceg+2+fcg=180，即31+9

41、0=180，解得1=30故答案为：1=30时，ecg为等腰三角形【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是综合题，但难度不大，细心分析即可找出解题思路15如图，正方形abcd中，m为bc上除点b、c外的任意一点，amn是等腰直角三角形，斜边an与cd交于点f，延长an与bc的延长线交于点e，连接mf、cn（1）求证：bm+df=mf； （2）求nce的度数【分析】（1）截长补短类型题目，延长cd至g使dg=bm，证明adgabm，将bm+df转化到一条线段gf上，再证明mf=gf；（2）过点n作nheb，证mhnabm，再根据线段间的

42、关系得到nh=hc，从而得到chn是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得nce=45【解答】（1）证明：延长cd至g使dg=bm，在adg和abm中， ，adgabm（sas），ag=am，又amn为等腰直角三角形，man=45，fad+mab=45，dag=bam，gaf=fad+dag=45，gaf=man，在在afg和afm中， ，afgafm（sas），mf=gf，又gf=gd+df，gd=bm，bm+df=mf；（2）解：过点n作nheb于点h，amb=180amnnmh=90nmh=mnh，在abmmhn中， ，abmmhn（aas），ab=mh，bm=nh，ch=mhm

43、c=abmc=bcmc=bm=nh，chn是等腰直角三角形，nce=ncg=45【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形，然后确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点16如图，在菱形abcd中，ab=2，dab=60，点e是ad边的中点，点m是ab边上的一个动点（不与点a重合），延长me交cd的延长线于点n，连接md，an（1）求证：四边形amdn是平行四边形（2）当am的值为何值时，四边形amdn是矩形？请说明理由【分析】（1）根据菱形的性质可得ndam，再根据两直线平行，内错角相等可得nde=mae，dne=ame，根据中点的定义

44、求出de=ae，然后利用“角角边”证明nde和mae全等，根据全等三角形对应边相等得到nd=ma，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）连接bd，求出abd是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得dmab，然后根据矩形的定义证明（1）证明：四边形abcd是菱形，ndam，nde=mae，dne=ame，点e是ad中点，de=ae，在nde和mae中，ndemae（aas），nd=ma，四边形amdn是平行四边形；（2）am=1理由如下：如图，连接bd，四边形abcd是菱形，ad=ab=2，dab=60，abd是等边三角形，am=1，ab=2，am=mb=1，dmab

45、，即dma=90，又四边形amdn是平行四边形，四边形amdn是矩形【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口17如图，abc中，ab=ac，ad是abc外角的平分线，已知bac=acd（1）求证：abccda；（2）若b=60，求证：四边形abcd是菱形【分析】（1）求出b=acb，根据三角形外角性质求出fac=2acb=2dac，推出dac=acb，根据asa证明abc和cda全等；（2）推出adbc，abcd，得出平行四边形abcd，根据b=60，ab=ac，得出等边abc，推出ab=bc即

46、可【解答】证明：（1）ab=ac，b=acb，fac=b+acb=2acb，ad平分fac，fac=2cad，cad=acb，在abc和cda中abccda（asa）；（2）fac=2acb，fac=2dac，dac=acb，adbc，bac=acd，abcd，四边形abcd是平行四边形，b=60，ab=ac，abc是等边三角形，ab=bc，平行四边形abcd是菱形【点评】考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较好，综合性也比较强18如图，在abc中，ab=ac，b=60，fac、eca

47、是abc的两个外角，ad平分fac，cd平分eca求证：四边形abcd是菱形【分析】根据平行四边形的判定方法得出四边形abcd是平行四边形，再利用菱形的判定得出【解答】证明：b=60，ab=ac， abc为等边三角形，ab=bc，acb=60，fac=ace=120，bad=bcd=120，b=d=60，四边形abcd是平行四边形，ab=bc， 平行四边形abcd是菱形【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出ab=bc是解决问题的关键19如图，在四边形abcd中，ab=ad，cb=cd，e是cd上一点，be交ac于f，连接df

48、（1）证明：bac=dac，afd=cfe（2）若abcd，试证明四边形abcd是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定e点的位置，使得efd=bcd，并说明理由【分析】（1）首先利用sss定理证明abcadc可得bac=dac，再证明abfadf，可得afd=afb，进而得到afd=cfe；（2）首先证明cad=acd，再根据等角对等边可得ad=cd，再有条件ab=ad，cb=cd可得ab=cb=cd=ad，可得四边形abcd是菱形；（3）首先证明bcfdcf可得cbf=cdf，再根据becd可得bec=def=90，进而得到efd=bcd（1）证明：在abc和adc中， ，abcadc（ss

49、s），bac=dac，在abf和adf中，abfadf（sas），afd=afb，afb=cfe，afd=cfe；（2）证明：abcd，bac=acd，又bac=dac，cad=acd，ad=cd，ab=ad，cb=cd，ab=cb=cd=ad，四边形abcd是菱形；（3）当ebcd时，即e为过b且和cd垂直时垂线的垂足，efd=bcd，理由：四边形abcd为菱形，bc=cd，bcf=dcf，在bcf和dcf中，bcfdcf（sas），cbf=cdf，becd，bec=def=90，bcd+cbe=cdf+efd，efd=bcd【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质

50、，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具20如图，abc中，ab=ac，ad是bac的角平分线，点o为ab的中点，连接do并延长到点e，使oe=od，连接ae，be（1）求证：四边形aebd是矩形；（2）当abc满足什么条件时，矩形aebd是正方形，并说明理由【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形aebd是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出adb=90，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出ad=bd=cd，进而利用正方形的判定得出即可（1）证明：点o为ab的中点，连接do并延长到点e，使oe=od，四边形aebd是平行四边形，ab=ac，ad是bac的角平分线，adbc，adb=90，平行四边形aebd是矩形；（2）当bac=90时，理由：bac=90，ab=ac，ad是bac的角平分线，ad=bd=cd，由（1）得四边形aebd是矩形，矩形aebd是正方形【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键21如图，abc中，点o是边ac上一个动点，过o作直线mnbc设mn交acb的平分线于点e，交acb的外角平分线于点f（1）求证：oe=of； （2）若ce=12，cf=5，求oc的