微积分综合练习课件

1、微积分综合练习1第八讲第八讲 综合训练综合训练一、客观题一、客观题客观题主要是指填空题和单项选择题，内容涵客观题主要是指填空题和单项选择题，内容涵盖各知识点。盖各知识点。 很多客观题往往是根据某一特殊很多客观题往往是根据某一特殊性和重要结论来构造性和重要结论来构造.处理这类问题要从特殊处理这类问题要从特殊到一般，用某些特殊的结论。常用的方法有：到一般，用某些特殊的结论。常用的方法有：赋值法、直接法、排除法、图示法、反例法。赋值法、直接法、排除法、图示法、反例法。)2, 0),1arcsin(:(_;_)(,1)(,sin)()1(22 xxxxxfxxf答的定义域为则已知 2, 0, 111)

2、,1arcsin()(,1 , 1arcsinsin)(:22 xxxxxxxxf即应满足故而的定义域为的反函数由于分析 微积分综合练习2_)(30, 903,)()2(122 xfxxxxxf的反函数函数)09( ,99, 0930)2()90( , 9003)1(.,:22 yyxxyyxyyxxyyxyx由由最后用分段形式表示的取值范围围确定相应的取值范并要由求分段函数的反函数分段分析 09,990 ,09,990,xxxxyyyyyx即从而)()( ;)( ;)( ;)()()(,)(,)()3(ADCBAxgfxgxf按定义不难判定为以上都不对非奇非偶函数奇函数偶函数是则是奇函数是偶

3、函数设)(,),()()()4(Bxgfxgxf则少函数调减内分别是单调增加和单在与微积分综合练习3_)10(,2 , 1)43()5()(;)()(;)(的定义域为则的定义域为已知不增不减函数有增有减函数单调减少函数单调增加函数xfxfDCBA10, 1)10(1010101,10, 1)(101243121:的定义域为即由的定义域为即由分析xxfxxfxxx _)(,)1()(2)()6(2 xfxxfxfxf则满足方程若函数)12(31)()1()1(2)()1()(2,)1()1(2)(,)1()()1(21:,:22222 xxxfxxfxfxxfxfxxfxfttftftx程组解方

4、即得令先换元函数给出的条件中出现复合分析332)( ;32)( ;2)( ;3)()()(, 3)(lim, 12)(lim,)()7(2323232023 xxxDxxxCxxBxxAxfxxfxxxfxfxx则且为多项式设微积分综合练习4)(, 0)(lim3)(lim()22)(12)(lim:002323Cxfxxfxxxfxxxfxxx满足上述条件的只有由由分析 173)3(,20)()()(:_3,210)8( 于是分析时的需求价格弹性为则某商品需求函为pppQppQppp)()();()();()();()()()()(lim,)()9(00000000 xfbDxfaCxfba

5、BxfbaAhbhxfahxfxxxfh 则可导在点设函数成立故分析)(),()()()()(lim)()()(lim:0000000Bxfbahbabhxfahxfbahbhxfahxfhh )(,00, 00,1sin)()10(则处连续但不可导在已知函数xxxxxxfa微积分综合练习5), 0)0()(2)(; 10)(; 1)(; 0)(BfaDaCaBaA应选利用 无法判断且可导且可导不可导处则在点且的某邻域内连续在已知函数)(; 0)0(,)(; 0)0(,)(;)()()(0, 2)()(lim, 1)(lim,0)(),()11(200DfCfBAxfxxgxfxxgxxgxf

6、xx 0)0()(lim, 0)0()(lim2)()(lim1)(lim:00200 fxfgxgxgxfxxgxxxx分析22)1()()(lim)()()(lim)()()(lim02020 xgxxfxgxgxxfxgxfxxgxxx00)0()(lim0)(lim, 2)(0)0()(lim000 xfxfxgxgxfxfxxx必有微积分综合练习6)(, 0)0(Bf应选即 0)(lim)(lim)( ; 0)(lim0)(lim)(0)(lim)(lim)( ; 0)(lim0)(lim)()(,), 0()()12(0000 xfxfDxfxfCxfxfBxfxfAxfyxxxx

7、xxxx存在由由存在由由则内有界在设)(.)()(lim,2cos1sin1)(0)(lim,), 0()(,sin1)();(),(, 01coslim, 0sinlim,cos)(,sin)(.:22200BAxgxxxxxxgxfxgxxxgDCxxxxfxxfxxxx应选不正确不存在有界在显然取从而排除有取答案通过举反例来确定正确分析 . 0)(, 0)()(; 0)(, 0)()(; 0)(, 0)()(; 0)(, 0)()()(), 0()(, 0)(, 0)()0 ,(),(),()()13( xfxfDxfxfCxfxfBxfxfAxfxfxfxfxf内有在则内有在若微积分综

8、合练习7)(, 0)(, 0)(.)(,)(0)(, 0)(;,)()()(:Cxfxfxxfxxfxfxfyxfxfxf应选而有从轴的右方是下降下凹的的图形在根据对称性知轴左方且上升下凹的图形在知由轴图形对称是偶函数知由分析 5 , 0,5, 15, 1)(;1 , 0,)(2 , 0,)1(1)(;3 , 2, 65)()()14(322 xxxyDxeyCxyBxxyAx满足罗尔定理条件的是下列函数在给定区间上.)();1()0()( ;)()(, 0)3()2(,),(:不可导不连续因此选且显然连续可导对于分析DffCBAffA 不增不减有增有减单调减少单调增加内在区间函数)( ;)(

9、 ;)( ;)()()1 , 1(1)()15(2DCBAxxxf 微积分综合练习8)(,)1 , 1()(,)1 , 1()(,)1()2()(.:2Cxfxfxxxxf应选内有增有减在故有正有负内在显然利用一阶导数判定分析 ),(),)()()()();,(),)()()()();,(),)()()()();,(),)()()()()(,),(,),()()16(2222112121112121xaaxfafxfDxxxxfxfxfCbxxbfxfbfBbaabfafbfAxxbaxxbaxf 使则至少存在一点且任意两点内是区间和内可导在区间若函数成立从而条件满足拉格朗日中值定理内连续可导

10、则在其任一子区间在开区间内可导若函数分析)(,)(:Cxf 微积分综合练习9_, 1, ,5100)17(取值范围是则商品价格的对值大于如果商品需求弹性的绝求量和价格分别表示需其中设商品的需求函数为PQPQ 20,10(,20, 05100)(,2010,20, 1510051510051|51005|1|51005| )(| ,51005)()()(, 5)(5100:围是所以商品价格的取值范得最高价格为根据或解得或由题设由由分析 pppQppppppppppppppQppQppQpQ _)(ln,)()18( dxxxfexfx则若cxxeexfexfcxfxdxfdxxxfxxx 1,1

11、)(ln)()(ln)(ln)(ln)(ln:1lnln所以原式由分析微积分综合练习1043)(;34)(;23)(;32)()(,2cosln322tan)()19(DCBAkxxkxf 则的一个原函数是设)(,34,2tan342tan2tan34)2(2cos2sin32)2cosln32()(:Ckxxkxxxxxf应选即由分析 _)(, 0)1(,)(1)()20( xffxfxf则且的弹性函数为函数|ln)(, 00)1(,|ln1)(1)(1)(,)(1)()(,)()(:xxfcfcxdxxxfxxfxfxxfxfxxfxfxxfExEy 所以得由从而知由分析微积分综合练习11

12、.)(,)()(;)(,)()(;)(,)()(;)(,)()()(,)()(,)()21(必为单调增加函数是单调增加函数时当必为周期函数是周期函数时当必为奇函数是偶函数时当必为偶函数是奇函数时当则的原函数是是连续函数设xFxfDxFxfCxFxfBxFxfAxfxFxf xdttfxFxf0)()()(:的原函数通常表为连续函数分析.,),(,)(),()()()(,0:,0:,)()(:)(00说明其不成立其它可举反例应选是偶函数于是令对于AxFxFduufduufxFxuxtdudtutdttfxFAxaxx _)(,)(11)()22(101032 dxxfdxxfxxxf则设函数微积

13、分综合练习12 _)(1,arcsin)()23(dxxfcxdxxxf则设cxdxxxdxxfxxxfcxdxxxf 23222)1(311)(111)(,arcsin)(:得两边求导对分析)()(;)(;)(;)()(),(),()24(00正确连续的关系的结论偏导数存在直接利用可微有连续的偏导数偏导数存在连续有极限该点处数在处可微的充分条件是函在点函数D，、DCBAyxyxfz )()4, 0()4, 0(lim,sinsin),()25(022 yfyfyxyxfy 则设3)()(414)(arctan)(11)(:101010310101010310210dxxfdxxfdxxdxx

14、fxdxxfxdxxdxxf两边积分得分析微积分综合练习1321)(;214)(; 0)(;21)(DCBA )(,21)4, 0(,sinsin2cossin2),()4, 0()4, 0()4, 0(lim:220Dfyxyyyxffyfyfyyyy应选而分析 )1(21,:_)26(42020020220222222 edyyedxedydyedxedyedxyyyxyyxy故积分的次序所以要改换二次的原函数不是初等函数由于被积函数分析)1,2:(_)1(1)27(202的半园面积它等于半径为利用定积分几何意义答 dxx微积分综合练习14_)(, 5)(, 3)()28(215251 d

15、xxfdxxfdxxf则设253)()()()()(:5251255121 dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf分析_23,211)29(22上的平均值为在区间函数xxy 1213121231:232122 dxxxy分析_, 41)30(22 DdxdyyxD则为若 34:,:22rRSDD的面积为园环为区域如图分析D120微积分综合练习15二、计算题计算题计算题在选拔考试中占了相当比重计算题在选拔考试中占了相当比重,如果计算过关了如果计算过关了,也就胜算在握也就胜算在握.考生要熟练掌握基本运算的方法与技考生要熟练掌握基本运算的方法与技巧巧.具体有以下几个方面具体有以下几个方面:利用变量

16、代换求极限极限利用等价无穷小代替求利用罗比塔法则求极限利用重要极限求极限未定式的极限无理式的极限有理分式的极限)4( ;)3(;)2( ;)1(),1 ,0 ,0 ,00,(. 3);,(. 2);,(. 100 nxnx求极限01微积分综合练习16224111314lim34lim)3(lim. 1 nnnnnnnnnnnnnnn同除有理化1211lim)21()1(lim)1(lim)1(1lim. 2220220020020222222 xxxeexxedtetdtetxxxxxxxtxxtxx),()1()(lim.13为常数其中knnCknkknn 微积分综合练习17 ekeknnn

17、knnnnknnnknnnnknnkknnnnkkknnkknknkknkn!11!)1()1()11()21)(11(lim!)1()1()1()2)(1(lim!)1()(!)1()2)(1(lim:)(原式解6sin6limsin6310sin200)31(lim)31(lim. 4eexxxxxxxxxxx 1lim1ln)1(lnlim)00(ln1limln1lim. 501lnlimln0ln0ln000 eeexxexxexxxxxxxxxxxxxxxxx微积分综合练习18)00(11sin1lim. 620 xxexx)1, 0(sin14cossinlim2sin12cos

18、sinlim:)( 12200 xxxxexxxxxxxxexxxxx其中原式罗比塔法则解)1cos. 1sin, 0(21sin141limsin141limsin14coslimsin14sinlim0000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx其中212sinlim2sinlim:)(2020 xxxxxxx原式等价无穷小代替解21lim1sinlim211sin11)1(sinlim:32200022 xxexxxxexxxxxxx有理化原式解微积分综合练习192321coslim2321coslim2sin3lim21cossin3lim)00()1ln()cos1(1coss

19、in3lim. 702002020 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)1ln(; 2cos1 ,0(xxxx 时其中eeeeeeexexexxxxxxxxxxxxexeexxexexxxexxexxexxxxx 11lim)1ln(lim)1ln(10lim1010000lim:;)1(lim)1()1(lim. 8原式或用罗比塔法则微积分综合练习20311131)3(sin)6cos(lim31)3(csc3)6cos(lim)00(3cot)6sin(lim3tan)6sin(lim. 92262666 xxxxxxxxxxxx 0,6,6,63133cos3sin3sin0li

20、m3cotsin0lim)32tan(sin0lim:2txtxtxtttttttttttt（令原式解，求且具有二阶连续导数设函数4)0(, 0)(lim,)(.100 fxxfxfx2)(lim)()(01000200010202)(1lim)(1 lim2)(lim212)(lim)00()(lim,0)(,)(, 0)(lim0)(lim:)(1 limeexxfxxfxfxxfxxfxfxfxfxxfxxfxxfxxfxfxxxxxxxxxxxx ，于是由此所以二阶导数有连续因由解微积分综合练习21求各类一元函数的导数02重点会求复合函数和隐函数的一阶、二阶导数重点会求复合函数和隐函数

21、的一阶、二阶导数yxeyx 求设,1sin. 11tan)1sec1tan1(cos1)1(1cos1sin)1(1sec:1tan221tan221tanxxxexxxexxxeyxxx 解 xdttxdxd02)sin(. 2)( :元又有上限变量必须先换被积函数中既有积变量解微积分综合练习22 xxxduudxdduudxdutx02202sinsinsin原式0,2)(. 3 xxydyyxxfy求所确定由方程设函数dxdyyyxyyxyxxxy)12(ln,12ln1,0,1)(2ln2:0 即并代入上式得时当由原方程知求导两边同时对解dyfexfyxf求可微其中设,)(ln. 4)

22、( dxxfxfxfxedyxfxfxfxexfexfexxfyxfxfxfxf)(ln)()(ln1)(ln)()(ln1)()(ln1)(ln:)()()()( 解微积分综合练习23处的切线斜率在点求曲线且满足条件可导设函数)1(, 1()(, 12)1()1(lim,)(. 50fxfyxxffxfx 2222)1()1(lim)1()1(lim)1(12)1()1(lim:000 kxxffxfxffxxffxxx斜率由解yxxxxy 求设,1)2(arcsin3. 6223xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyarcsin912223arcsin91

23、)2()1(23arcsin9122)2(1213arcsin9)1)(2(1)2()(arcsin3arcsin)3(:22333222232222232222233 解微积分综合练习24)(,112ln2sin3)(. 7xffxxxxfx 求设)1)(12(23)2cos22sin3(ln3)11122(212cos232sin3ln3 )1ln()12ln(21)2(sin32sin)3()(: xxxxxxxxxxxxxfxxxxx解yxxxyx 求设,)1(1. 83232232)1ln(2)1ln(31ln)1(1)1(33)1(ln)1211(31)1(1)1(ln)(:xxx

24、xxxxxxxxxeeyxxxxxx 解微积分综合练习250,11)sin(. 9 xyxyxyy求所确定的函数是由方程设2, 0111,1, 00)(1)()cos(:, 1, 111010sin:,0:020 xxyyyxxyyyxyxyxyyyx得代入将得求导方程两边对即得代入函数时当解微积分综合练习26可导问题中常数的确定连续极限、03的值确定已知baxbaxfx,)(),;(lim. 1)( 运算依据运算依据: mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx, 0,lim00110110babaxxxx,),1(lim).1(2求 微积分综合练习2721, 1021010)21(

25、)1(lim1111)21()1(lim11)21()1(lim:222222222 baabaaabxaxbaxxxbabxaxbaxxxbxabxaxxx同除有理化原式解的值确定已知bacxbaxfx,)(),;(lim. 20)( 微积分综合练习28的值求若baxbaxxx, 51lim).2(21 6, 75)2(15)1()(lim0)(lim:2121 baabaxbaxxbaxxxx由解的值求已知babxaxxx, 0)3sin(lim).3(230 )29, 3:( ba答0),;(, 0)()30),;(, 0)()20),;(, 0)()1 baxfxbaxfxbaxfxx

26、x则若则若则若 运算依据运算依据:微积分综合练习29 )(lim)(lim)()(lim)()(lim:,. 30000000 xfxfxfxfxfxfxxxxxxxxx则有下列式子成立处连续设在点连续问题中常数的确定处连续在点为何值时00,cossin0, 40,)cos1()(,)4(022 xxxdxtxBxxxxAxfBAx微积分综合练习308, 34)0(24)0(1,0)(1)coscos(limcossinlim)(lim2)cos1(lim)(lim:200200200 ABfAfBxxfBxxBxdttxBxfAxxAxfxxxxxx解得有处连续在由解处连续在为何值时问设0)

27、(,0,2sin0,)()5(2 xxfaxxxxeaxfx)1:( a答微积分综合练习31可导问题中常数的确定. 4运算依据运算依据: )()()()(lim)(lim:,)(000000 xfxfxfxfxfxxxfxxxx则下列等式成立处可导在点设)(,),()2;),()10,0, 00,)(,).6(2xfxcbxxxaxxfcba 并求内可导在内连续在函数为何值时问微积分综合练习32因而有必须满足连续这一条件内可导的必要条件是在为任意实数解,),()()2.0, 0)0()(lim)(lim0)0()(lim)(lim) 1:00200 xfbcafcbxxffaaxxfxxxx

28、0,0, 00,)(2xbxxxxxfb现确定常数 0, 00,2)(, 0),0()0(,0)(,lim)0()(lim)0(, 0lim)0()(lim)0(00200 xxxxfbffxxfbxbxxfxffxxxfxffxxxx此时即必须处可导在若由微积分综合练习33处可导在使求设2)(,2,2,)()7( xxfbaxbaxxexfx),.2,(22ebeax 处可导必左右导数相等在可导必连续讨论函数的性态05 利用导数讨论函数的增减极值利用导数讨论函数的增减极值,凹向拐点以及渐凹向拐点以及渐近线近线,函数作图问题函数作图问题.增减极值的用一阶导数增减极值的用一阶导数,凹向拐凹向拐点

29、的用二阶导数点的用二阶导数.填写下表对函数21)1(xxy 微积分综合练习34单调减少区间单调增加区间极值点极值上凹区间下凹区间拐点渐近线), 0(),2,( )0 , 2( 2 41 ), 0(),0 , 3( )3,( )92,3( 00 yx和并填写下表的图形作函数,1)2(2xxy 微积分综合练习35解解:2113.单调增加区间单调增加区间单调减少区间调减少区间极值点极值点极值极值上凹区间上凹区间下凹区间下凹区间拐点拐点渐近线渐近线)1 , 0(), 1( 1 x21),3( )3, 0()43,3(0 y微积分综合练习36定积分的计算不定积分、06cxxdxdxxxxcxxdxdxx

30、x 221)(arctan)(arctanarctan2)1(arctan)2(ln12)ln1()ln1(ln11)1(cxxxxxxxdxdxx 4ln22)1(ln21ln)1()3(222)1arctan2,1( ;1)2()4(cxtxxxdx 原式令微积分综合练习37cxxcxxxxxdxxxxdxdxxx ln11ln1)1(ln1)1(ln1)1()1(ln1ln)5(2 cxxdxxxdxxxdx22arcsin)2(44)4()6(22cxcttdtxxdxtxcxxxdxxdx 2arcsin22arcsin242)4(,:32arcsin2)(22)4(:2222则令解

31、解微积分综合练习38)2)3()3(81368(23arctan4)136ln(211368136)136(211365)7(22222222 xxdxxdxcxxxxxdxxxxxddxxxx其中 xedxxexedxxexdedxxedxxexedxxxexxxxxxxxx1111111)1(1()1()8(22cxxxttdtdtdttttdttttdttxxxdx 22222111coscoscoscossin1sin1cos)sin1(cossin1)1()9(令微积分综合练习39)(),0(1)()10(2xfxxxf求设 cxxfcttftxtxcxxfcxxfxdxfcxdxx

32、fxxfx 2)(,2)(,2)()(212)(,)(,1)(:2222222即令即得两边积分由解)(6)0()()11(xffxexfx的函数且求满足 7,6)0(,)(: cfcexexdedxxexfxxxx得代入将两边积分解7)( xxexexf微积分综合练习40ceedeedeeedxeexxxxxxxxx )1ln()111(11)12(2) )1ln(,:( xxxedete或用分部积分法原式本题也可用换元法令注35211111)13(21230 tdttttxdxxx令)3121(2sincoscos1tan1tan1tan11)14(342234223122 dtttdttt

33、ttxdxxx令微积分综合练习4121)( 2121)15(2101021021032222 dxeexdexdxexxxxx分部积分432ln11312132)16(102102102 xxdxxxdxxx 1131)17(dxx求广义积分)()11(lim)11(lim21lim21lim21limlim.10,1 , 1:22021012012013013001103332122112211发散原式的瑕点为上在解 xxdxxdxxdxxdxxxx微积分综合练习428)42(212)2(arctan212)2(84)18(002202 xxdxxxdx14)20(21sin)sin(cos

34、)()()()(,sincos)sin()(:)(,sin)()19(22222222 xxxxxdxxfxxfxxdfdxxfxxxxxxxxfdxxfxxxxf解求有一个原函数设微积分综合练习43分元函数的偏导数与全微三求二)(70会求一般函数的一阶二阶偏导数,全微分;会求复合函数(含抽象的复合函数)一阶偏导数与全微分,会求隐函数的一阶偏导数与全微分,二阶偏导数及偏导数值.dzyxzxy求,)1( )ln(ln:1yxyyxyyxyyxxzxyxyxy 解)(ln)ln()(lnln1dyyxxdxyxyyxdyyzdxxzdzyxxyxxyxyxxyzxyxyxyxy 微积分综合练习44

35、的二阶偏导数求yxzsin)2(2 yxxyzyxyxzyxyzyxzyxyzxxxzcos2;cos2,sinsin2.cos;sin2:22222222 答yzxzyxvyxuuvz ,3),sin(,)3(22求设)cot()3(23)sin(1:2222yxyxxyxxvvzxuuzxz 解微积分综合练习451)cot()3(2)sin(12222 yxyxyyxyvvzyuuzyz再来求偏导此题也可化为显函数注)sin(3:22yxyxz dzyxxyfz求设),()4( )(1),(,:2yxvzxuzyvvzyuuzyzyvzyuzxvvzxuuzxzvufzyxvxyu 则设解

36、微积分综合练习46dyvzyuzxdxyzyuzydz)1()1(2 dzyxuuuxyz求设),(,)5( zuxy,:yuxyuuzyzyzxuyxuuzxzxz 解dyyuxdxxuydyyzdxxzdz)()( 处的全微分点在所确定的函数求由方程)1, 0 , 1(),(2)6(222 yxfzzyxxyz微积分综合练习4712),(:)1, 0, 1(222222)1, 0, 1()1, 0, 1(222 zyxzxyzyxxyzFFxzzyxxyzzyxFzx令解2)1,0, 1(222222)1,0, 1()1,0, 1( zyxzxyzyxyxzFFyzzydydxdz2 微积

37、分综合练习48xzgfxygyxxyfz 求均可微其中设,),(),()7()1(),(,:vgvufzyxvxyu 则令解zuvxyvvuvvuvvugxyfyf ygyxyfyf yyvgyfyfxvvzxuuzxz 22221111)1(1微积分综合练习49yxfyxyxyxyxf 222,arctanarctan),()8(求已知2222222222211)(112,arctan21)(1)()(1arctan2:yxyxxxyxyxfyxyxyyxyxyxyxxyxxf 解dxduxzeyexzzxyyzyxfuzxy求所确定和方程分别由有连续偏导数设,00)(),(,),()9(

38、uxyz微积分综合练习50)( ,0)( ,110:2xzexxzzxezdxdzxzeyexyyxeyedxdyyedxdzzfdxdyyfxfdxduzzzxyxyxyxy 其中由其中由解zfxxzzyfxyyxfdxdu 12代入得微积分综合练习51)(80直角坐标与极坐标系下求二重积分 DxydxdyxyxyxyD求所围成的区域直线为曲线设,2, ,).1(20122xy xy xy2 1D2D 2122102221210221821)2()2(,.:2212dxyxdxyxxydydxxydydxxydxdyxydxdyxydxdyDDDxxxxxxxxDDD如图所示解微积分综合练习

39、5225,)2(22)(22 yxDdxdyeDyx是圆域其中求)1()(210 ; 50:.,sin,cos:25205022050)(22222 erdeddrredrdrdedxdyerDrdrddxdyryrxrrDrDyx 则令解围成的区域是由圆其中求RyyxDdyxRD 2222,)3( 微积分综合练习53R.2R030sin02222230;sin0:sin:RrdrrRdrdrdrRdyxRRrDRrDRDD 的极坐标方程为区域解.2, 0,sin)4(所围成的区域是直线其中求 yxyxDdxdyyyID微积分综合练习54:区域如图解2 2 D1sinsinsin20020 y

40、dydxdyyyxdxdyyyyD积分先对,2,)5(2所围成的区域是由曲线其中求xxyxyDdxdyyID ,2,)5(2所围成的区域是由曲线其中求xxyxyDdxdyyIDdxydyydxdxdyyxxxxxxD 10223102)(32:22解微积分综合练习55154832)2(321023102 dxxdxxx,sin1:,)1(12,:22txxxx 令作换元由于对右端第一个积分注 31212)6(xydyedxI求的草图画出由累次积分限解Dxyx,1231: 根据草图根据草图,更换积分次序更换积分次序:D1 21 xy微积分综合练习56)1(2142020112 edyyedxdy

41、eIyyy如图中阴影部分其中求DdxdyeIDxy,)7( )1 , 1(xy yx 2110eedxeexdyedxIxxxxy2183)(:1211212 解 DxdxdyBAOD求形区域为顶点的三角和是以点设,)1 , 2()2 , 1(),0 , 0()8(微积分综合练习57解解:画出积分区域的草图画出积分区域的草图,并分块积分并分块积分1D2D0AB122.,3,2,2,得垂足坐标轴引垂线交点向过各为的方程相应和直线xxyxyxyABOBOA 232132102221 xxxxDDdyxdxdyxdxxdxdyxdxdyI微积分综合练习58三、应用题三、应用题转体体积求平面图形的面积

42、和旋几何应用101.画草图确定交点坐标画草图确定交点坐标; 如果有某边界是未知的必须先建立其方程如果有某边界是未知的必须先建立其方程,只有各只有各边界曲线已知时边界曲线已知时,才可求面积、体积；才可求面积、体积；2.根据图形形状确定对根据图形形状确定对x积分还是对积分还是对y积分或分块积分积分或分块积分;3.求面积充分利用图形的对称性，整体与局部的关系，求面积充分利用图形的对称性，整体与局部的关系，结合初等几何的知识求之结合初等几何的知识求之;画草图时画草图时,要考虑参数的取值情况要考虑参数的取值情况,不要遗漏不要遗漏.微积分综合练习59:00,1,:2两种情形和就要考虑所围图形面积与抛物线求

43、直线例如 aaxyyaxy2xy )0( aaxy010 a微积分综合练习60的面积所围平面图形和直线求曲线Dyeyxy01,ln)1( 11xyln exy e12)2()(:10210 eyeedyeyeSyy解0VySxxyxxy体的体积轴旋转一周所得旋转并求平面图形绕图形的面积所围成的平面求曲线,3, 1, 0,2)2(2 微积分综合练习6123431)2(3231)2(:213223233222213212212121 SSSxxdxxxSxxdxxxSSSS如图解 01211611)11( dyyVyS体积为轴旋转一周所得旋转体绕平面图形0123xxy22 1S2S-1 30222

44、643)11(27 dyyVyS体积为轴旋转一周所得旋转体绕平面图形微积分综合练习62 921 VVV故所求旋转体体积.,3, 21)3(的旋转体的体积轴旋转所成此平面图形绕求此平面图形的面积及围成的平面图形与直线由曲线xxyxy 0221332514; 6ln5)12(:3212321 dxxVdxxSx解.,0,)4(旋转体的体积轴旋转所形成的图形绕面图形的面积及此平面求此平围成设平面图形由xxeyeyx 微积分综合练习63)1(2)(; 1)(:2102210 edxeeVdxeeSxxx 解01e), 1(e.,24,1)5(轴旋转的体积以及此平面图形绕面积所围成的平面图形的及求由曲线

45、xxxyxy 212)21, 2()2 ,21(2140)116(217)14(:22122221 dxxxVdxxxSx 解微积分综合练习64经济应用02经济应用主要是指一元、二元经济函数的最值问题经济应用主要是指一元、二元经济函数的最值问题.包括最优批量问题；成本、收益、利润问题；边际包括最优批量问题；成本、收益、利润问题；边际与弹性问题等。与弹性问题等。【最优批量问题】：【最优批量问题】：:,1成则年总费用由两部分构货周期为进订货批量为年库存费用率为一次订货费用为平均单价为的年需用量为假设某企业对某种物资TQICPRQRC1)()1( 数批全年订货次每次订货费用订货费用微积分综合练习65

46、PIQ 2)2(每单位库存费平均库存量库存费用1111min11*1*211222122360360:2:)(2:021, 0,21:PRICPIRCPIRCPIRCCPIRCETCPIRQREPIRCQPIQRCdQdCQPIQRCC 最小总费用最优进货周期数次最优订购批最优订货批量由此可得令总费用微积分综合练习66.:)3(;)2(;)1(:批安生批量总量批数与总量的关系批量年库存费用率单价每件库存费批量的一半库存量注 、【成本、收入、利润问题】【成本、收入、利润问题】QQCCQQCQCQCQCCQCCQCQPLRQ，CCC)()()(:)()(:)()(:.1,)(,),)(101010

47、010 平均成本边际成本为固定成本总成本函数为则量为销产价格为总利润为总收益为变动成本固定成本设总成本为微积分综合练习67总成本、边际成本与平均成本的关系：已知其一，总成本、边际成本与平均成本的关系：已知其一，可求其二可求其二QQCQCCdQQCQCdQQCQCCccQCQdQCQCxx )()()()()()()0()()()(001011确定由其中)()()(:)()()(:)()(:.20需求函数平均收入函数边际收入函数总收入函数为QfPQQRQRQfQQfQRQfQPQQR 总收入、边际收入与平均收入的关系：已知其一，总收入、边际收入与平均收入的关系：已知其一，可求其二。可求其二。微积

48、分综合练习68QQRQRdQQRQRRCCQRdQQRQRx )()(,)()()0( ,)()()(0其中)()()()()(:)()()(:)()()(:.30平均成本平均收入平均利润边际成本边际收入边际利润总利润函数为 QQCQQRQQLQLQCQRQLQCQRQL总利润、平均利润与边际利润的关系是已知其一总利润、平均利润与边际利润的关系是已知其一,可求其二可求其二.微积分综合练习69?,),(,05. 0,10,10,. 136费之和最小使生产的准备费及库存能问应分几批生产即库存量为批量的一半是均匀的如果年销售率元而每件库存费为元加准备费每批生产需增件其年销量为某厂生产某种商品:,21

49、005. 0)(10,10,:636之和为生产的准备费与库存费库存费元生产准备费为件则批量为设批数为解xxxx 微积分综合练习70.,5:.5, 0)5(, 5),(5,250;105 . 210), 0(,105 . 210224343库存费之和最小才能使生产的准备费及批生产应分答点为极小值点也是最小值则得唯一驻点舍去令 xyxxxyxyxxxy.,30,2.,103. 23及全年订购次数试求最经济的订货批量元每次订货费为元费为已知这种材料每件库存消耗是均匀的这个厂对这种材料的件某厂每年需某种材料 )10,300:(次全年订购次数为件最经济的订货批量为答微积分综合练习71.,900400)(

50、:. 32并求此最大平均收入的值的试求使平均收入为最大单位的收入为设某产品销售xxxxRx )(30,900, 0, 1900900400)(,:22不合题意舍去即令则设平均收入为解 xxyxyxxxxRyy340,30:.3403030)30(400,3001800)30(),(302303最大平均收入为位时单当产品销售答最大值为点为极大值点也是最大值则又唯一驻点 yxxyxx微积分综合练习72?,),(435)(:),(100,102)(. 42最大利润是多少利润最大少件时问每天生产这种商品多元收入函数为元固定成本为件的边际成本为设某产品每天生产xxxRxxCx 微积分综合练习730)45

51、(),(45, 045)(10024510010235100104435)()()(.100104)(,100104)102()()(),(),(:22222002 LxxxLxxxxxxxxxxCxRxLxxxCCCxxdxxdxxCxCxCxL又唯一驻点于是且则总成本函数为设利润函数为解微积分综合练习74元最大利润为利润最大件时每天生产答从而最大值为点为极大值点也是最大值则5 .912,45:5 .91210024545)45(,4522 Lx.,),( 1)0()2?,)18)():(;44)():():(. 5与产量的函数关系式总利润分别求出总成本万元若不变成本最大总利润求产量为多少时

52、的函数的变化率是产量万元单位总收入的函数百台单位的变化率是产量万元单位设某产品的总成本 CLxxRxRxxCxC微积分综合练习75)(20)8()()(19)44()()1:51515151万元万元解 dxxdxxRRdxxdxxCC答答:产量由产量由1百台增加到百台增加到5百台时百台时,总成本增加总成本增加19万元万元;总收入增加总收入增加20万元万元.,320:2 . 3, 045)2 . 3(),(2 . 3, 0)(;44)44()8()()()(),()()()2(总利润最大台时当产量为答为最大值点则又唯一驻点得令 xLxxLxxxxCxRxLxCxRxL微积分综合练习76)( 18

53、54)(:)( 184)(:);( 1554)()()(,28)8()()(; 184)(, 184)44()()()3(2222002002万元的函数关系为总利润与产量万元的函数关系为总成本与产量万元从而则而 xxxLxxxxCxxxxCxRxLxxdttdttRxRxxxCCCxxdxxdxxCxCxx微积分综合练习77.,150,21,005. 0,. 62可使产量最大如何购料问元购实这两种原料欲用元元和单价分别为两种原料的已知之间有关系式与的数量与所用两种原料设生产某种产品的产量，BAyxPyxBA )1502(005. 0),(.005. 01502:22 yxyxyxFyxPyx

54、令的最大值下求函数问是归结为在约束条件解 0150202005. 0001. 02yxFxFxyFyx 解方程组微积分综合练习78 150241502005. 002. 02yxyxyxxxy)(125025100005. 0:.,),(25,1002单位最大产量为值点故唯一的驻点也是最大点因本身问题存在最大值唯一驻点解得 Pyx?,2,;,4110,26. 722212121212211可获得最大利润问两种商品生产多少时总成本函数是生产两种商品的为相应的价格对两种商品的需求量分别是其中设需求函数QQQQCPPQQPQPQ 微积分综合练习7921212221222121212221221122

55、1140262522040264)440()26(:QQQQQQQQQQQQQQCRLQQQQPQPQR 总利润总收益解125,35,)3 , 5(, 0, 036404,10)3 , 5(, 2)3 , 5(, 04)3 , 5()(3, 5040210)(02624)(221122211222121最大利润为时获得利润最大和为别即两种商品的生产量分处取极大值也是最大值在点因此且求得唯一驻点 AACBLCLBLAQQQQQLQQQLQQQQQQ微积分综合练习80四、证明题四、证明题(一一)证题依据证题依据:闭区间连续函数的性质闭区间连续函数的性质;点导数的定义点导数的定义;微分与积分中微分与

56、积分中值定理值定理;变上限积分函数的可导性变上限积分函数的可导性;定积分与二重积分定积分与二重积分的性质的性质;换元积分与分部积分法等换元积分与分部积分法等.(二二)证明题常见类型及证题方法证明题常见类型及证题方法函数奇偶性的证明.10定义、性质、图形定义、性质、图形.)(,)()2( ;)(,)()1(:,)2()(,),()(. 10为非减则非增若也是偶函数则为偶函数若证明且内连续在设函数xFxfxFxfdttxxFxfx 微积分综合练习81为偶函数令证明)(),()()2()()2()()()2()()2()()1(:0000 xFxFdttftxduufuxudufuxutdttfdt

57、txxFxxxx ), 0()(0)()()()()()()(2)()()(,)(2)()(0)(,)()2(0000 xxfxffxxxfxfxxfdttfxxfxxfdttfxFdtttfdttfxxFxFxFxxxx 非增积分中值定理即证非减要证微积分综合练习82.,)0(0)(:20可根据单调性定义的函数对不能求导及函数的性态理合用微分与积分中值定并结转化为证明证明函数的单调性 xF.), 0()()(,), 0)(, 0)0(. 2内单调增加在区间试证函数内单调增加在设 xxfxgxff.)(,)()(0)()(, 0)()()(:2来证明分子大于零的单调性再利用理于是想到用微分中值

58、定不能直接比较大小与由于只要证即证分析xfxfxfxfxfxxxfxfxxg 微积分综合练习83.), 0()(, 0)()()(,0,), 0)()()()()()()()(), 0(),()()()0()(,)(, 0, 0:22内单调增加在区间即从而时故当上单增在又于是有应用拉格朗日中值定理上对在区间对证 xgxgfxfxxfxfxfxfxxfxxxfxfxxgxfxxffxfxftfxx .,), 0()(1)(0)(,), 0(, 0)(. 30为正数其中内的单调性在试讨论函数且内可导在上连续在设kadttfxxFxfaaxfkx .)(,0,)(:的正负条件下即讨论的单调性讨论分析

59、xFkxF 微积分综合练习84.), 0()(, 0)(, 0)(, 0, 00),()()(1)()(1)(1)(:202内单调减少在因此积分中值定理证明axFxFxfxkkxfkxfxkkxfxkxfxkdttfxkkxfxxFkx .)(,)(, 0,)()(. 40的增减性试讨论且单调增加的连续函数为处处有定义其中设xFufadyyxfxFa .,)(,)(:证明或根据单调性的定义来必须经过换元再求导求导不能直接对是个抽象的复合函数分析xFxF微积分综合练习85.)(, 0)(,)(, 0)()()(,)()(:1为单调增加的函数所以即处处单调增加又显然由于令证xFxFufaxxaxf

60、axfxFdttftyxxFaxx 调增加的函数为单亦即故有又有由题意对单调性定义证)(),()(, 0)()()()()()(, 0)()(,:)(2120120102121221xFxFxFdyaxfaxfdyyxfdyyxfxFxFayxfyxfxxaaa .,), 00. 00,)(1)(, 0)0(,), 0)(. 50单调不减且上连续在若若在函数试证单调不减且上连续在设函数 xxdttftxxFfxfxn微积分综合练习86.), 0)(, 0)(,), 0)(), 0(,)()()()()()()(), 0(,), 0)()0(0)(lim)(lim)(lim,)(,0,:2120