空间中直线与直线的位置关系

1、-1-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系首页课前预习案课堂探究案首页课前预习案课堂探究案1.异面直线 首页课前预习案课堂探究案首页课前预习案课堂探究案2.空间两条直线的位置关系(1)相交直线同一平面内,有且只有一个公共点;(2)平行直线同一平面内,没有公共点;(3)异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点.首页课前预习案课堂探究案做一做1平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是.答案:相交或异面首页课前预习案课堂探究案3.公理4 首页课前预习案课堂探究案4.等角定理 首页课前预习案课堂探究案首页课前预习案课堂探究案做一做2已知bac=30,abab

2、,acac,则bac=()a.30b.150c.30或150 d.大小无法确定解析:当bac与bac开口方向相同时,bac=30;当bac与bac开口方向相反时,bac=150.答案:c首页课前预习案课堂探究案5.两条异面直线所成的角(夹角) 首页课前预习案课堂探究案做一做3在正方体abcd-a1b1c1d1中,bae=25,则异面直线ae与b1c1所成的角的大小为.答案:65 首页课前预习案课堂探究案思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线. ()(2)两直线垂直,则这两条直线一定相交. ()(3)两直线和第三条直线成等

3、角,则这两条直线平行. ()答案:(1)(2)(3)首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测空间两条直线位置关系的判定空间两条直线位置关系的判定【例1】 (1)在正方体abcd-a1b1c1d1中,判断下列直线间的位置关系:a1b与d1c;a1b与b1c;d1d与ce(e为c1d1的中点);ab与b1c.(2)已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,那么a与c有什么样的位置关系?并画图说明.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测思路分析:(1) (2)根据异面直线的定义分析.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)平行异

4、面相交异面(2)直线a与c的位置关系有三种情况,如图所示.直线a与c可能平行,如图;可能相交,如图;可能异面,如图.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1在本例的正方体中,所有与直线ab异面的棱所在的直线为.解析:正方体中与直线ab异面的棱所在的直线有:cc1,b1c1,dd1,a1d1.答案:cc1,b1c1,dd1,a1d1首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测平行公理、等角定理的应用平行公理、等角定理的应用【例2】如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,m1分别是棱ad和a

5、1d1的中点.(1)求证:四边形bb1m1m为平行四边形;(2)求证:bmc=b1m1c1.思路分析:(1)通过公理4证明mm1bb1,且mm1=bb1;(2)由(1)知b1m1bm,同理证得c1m1cm,再由等角定理证得bmc=b1m1c1.也可以通过证明bcm b1c1m1证出bmc=b1m1c1.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测证明:(1)在正方形add1a1中,m,m1分别为ad,a1d1的中点,mm1 aa1.又aa1 bb1,mm1bb1,且mm1=bb1,四边形bb1m1m为平行四边形.(2)(方法一)由(1)知四边形bb1m1m为平行四边形,b1m1b

6、m.同理可得四边形cc1m1m为平行四边形,c1m1cm.由平面几何知识可知,bmc和b1m1c1都是锐角.bmc=b1m1c1.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(方法二)由(1)知四边形bb1m1m为平行四边形,b1m1=bm.同理可得四边形cc1m1m为平行四边形,c1m1=cm.又b1c1=bc,bcm b1c1m1,bmc=b1m1c1.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2在本例中,若n1是d1c1的中点,则四边形m1n1ca是.(填“平行四边形”或“梯形”)答案:梯形

7、首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测求异面直线所成的角求异面直线所成的角【例3】如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别是a1b1,b1c1的中点,求异面直线db1与ef所成角的大小.思路分析:先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三当堂检测思维辨析解法一:如图(1),连接a1c1,b1d1,并设它们相交于点o,取dd1的中点g,连接og,则ogb1d,efa1c1.goa1为异面直线db1与ef所成的角或其补角.ga1=gc1,o为a1c1的中点,goa1c1.异面直线db1与ef所成的角

8、为90.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三当堂检测思维辨析首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三当堂检测思维辨析解法三:如图(3),在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接b1q,则b1qef.于是db1q为异面直线db1与ef所成的角或其补角.通过计算,不难得到:b1d2+b1q2=dq2,从而异面直线db1与ef所成的角为90.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三当堂检测思维辨析首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三当堂检测思维辨析首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三当堂检测思维辨析变式训练3本例已知条件不变,则a1d与d1c的夹角为.解析:如图,连接a1b,

9、bd. a1d1 bc,四边形a1bcd1是平行四边形,d1ca1b,ba1d就是a1d与d1c的夹角.a1bd是等边三角形,ba1d=60,即a1d与d1c的夹角是60.答案:60首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测因忽略异面直线所成的角的范围而致错典例已知abbc,bccd,deae,debc,且ab=bc=cd,异面直线ab与cd成60角,求异面直线ad与bc所成的角.错解:连接ae,be(如图所示).debc,bc=cd,bccd,四边形bcde为正方形.abbc,ab=bc,异面直线ab与cd成60角,abe=60,abe是正三角形.ae=ab=bc=de,又d

10、eae,ade是等腰直角三角形,ade=45,异面直线ad与bc所成的角的度数为45.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测错因分析:错误的原因是漏掉了如图所示的情况,补齐即可.正解:同错解.连接ae,be(如图所示).debc,bc=cd,bccd,四边形bcde是正方形.又abbc,ab=bc,异面直线ab与cd成60角,ab=be,abe=120.设ab=1,则 ,deae,在rtade中,ade=60,即异面直线ad与bc所成的角的度数为60.综上所述,异面直线ad与bc所成的角的度数为60或45.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测首页课堂探

11、究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练已知在三棱锥a-bcd中,ab=cd,且直线ab与cd成60角,点m,n分别是bc,ad的中点,则直线ab和mn所成的角为.首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:取ac的中点p,连接mp,np.因为m,n分别是bc,ad的中点, 所以mpn(或其补角)为ab与cd所成的角.所以pmn(或其补角)为ab与mn所成的角.因为直线ab与cd成60角,所以mpn=60或mpn=120.又因为ab=cd,所以pm=pn.若mpn=60,则pmn是等边三角形,所以pmn=60,即ab与mn所成的角为60.若mpn=120,则

12、易知pmn是等腰三角形,所以pmn=30,即ab与mn所成的角为30.综上,ab与mn所成的角为60或30.答案:60或30首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测123451.如果两条直线a和b没有公共点,那么a和b()a.共面 b.平行c.异面 d.平行或异面解析:直线a,b没有公共点时,a,b可能平行,也可能异面.答案:d首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测123452.直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是()a.相交 b.平行c.异面 d.以上都有可能解析: 如图所示,在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab与aa1相交,a1b1与aa1相交,aba1b1;又ad与aa1相交,ab与ad相交;又a1d1与aa1相交,ab与a1d1异面.故选d.答案:d首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析当堂检测123453.如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,异面直线ac与b1c1所成的角等于.解析:由于bcb1c1,则acb就是异面直线ac与b1c1所成的角.又四边形abcd是正方形,则acb=45.答案:45首页课堂探究案课前预习案探究一探究二探究三思维辨析