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1、高等数学下册试卷2011616姓名: 学院与专业: 学号: 一、 填空题共20分1. 函数在点的梯度为2. 函数的极值点是3. 假设为圆的右半部分,则4. 设,则05. 设都是方程的解,则方程的通解为二、 (本题8分)计算三重积分,其中是由所围成的闭区域.解 原式三、(本题8分)证明:在点处连续,与存在,但在处不可微.证 因为,所以在点处连续;,所以,与存在,但不存在(只要取便可证明),从而该函数在处不可微.四、(本题8分)设函数有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式,将转化为下的表达式.解: 从而故五、(本题8分)计算,其中为(1)圆周(按反时针方向)(2)圆周(按反时针方向)解: (
2、1)令,则在所围区域每点成立从而由格林公式(2)取为圆周(按反时针方向)则在和中间的区域内每一点成立从而由格林公式六、(本题8分)计算,是平面被圆柱面截出的有限部分解 平面的法向量为(由对称性)七、(本题8分)计算曲面积分,其中为上半球面的上侧.解 取一曲面,下侧. 两曲面形成封闭曲面的外侧,围成有高斯公式 故 原式八、(本题6分)求微分方程的通解解 由非齐次线性微分方程的解的公式九、(本题6分)求微分方程的通解解 对应的齐次方程的特征方程为对照非齐次项的标准形式不是特征根,故特解的待定形式为,代入非齐次方程,得从而原方程的通解为十、(非化工类做)(本题6分)求幂级数的收敛域.解 当时,幂级数化为收敛当时,幂级数化为也收敛从而收敛域为十一(本题7分)将函数展开成麦克劳林级数,并确定其成立的区间.解 ;从而十二、(非化工类做)(本题6分)设函数是以为周期的周期函数,它在上的表达式为,将其展成傅立叶级数,并确定其成立范围。.解: 由函数上的奇函数性质, 所以 十、(化工类做)(本题6分)求微分方程的通十一、(化工类做)(本题7分)计算,其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界.十二、(化工类做)(本题6分)求微分方程的通解
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