大学物理上质点运动学14运动学的两类问题

1、12)(ta)(tr求导求导求导求导积分积分积分积分( ) tv质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题 一一 由质点的由质点的运动方程运动方程可以求得质点在任一可以求得质点在任一时刻的时刻的位矢、速度和加速度位矢、速度和加速度； 二二 已知质点的已知质点的加速度加速度以及以及初始速度和初始初始速度和初始位置位置, 可求质点可求质点速度及其运动方程速度及其运动方程 。3ttvvdtavddtavd00,ttrrdtvrddtvrd00, 22dtrddtvdadtrdvtrr 一一 已知质点的已知质点的运动方程，运动方程，可以求得质点在可以求得质点在任一时刻的任一时刻的位矢、速度和加速度位

2、矢、速度和加速度； 二二 已知质点的已知质点的加速度以及初始速度和初始加速度以及初始速度和初始位置位置, 可求质点可求质点速度及其运动方程速度及其运动方程 。4解：解：)/(322smjti tdtrdv 0202rrr )/(1240202smjivvv jji) 6(24)(84mji )/(62202smjitva )() 6(32sijtitr 例例：用矢量表示二维运动用矢量表示二维运动，设：设：求求：质点在头两秒的位移和平均加速度质点在头两秒的位移和平均加速度。5例：例：一质点作直线运动，其加速度为一常量一质点作直线运动，其加速度为一常量 a0 ，已知，已知在在 t = 0 时刻，时

3、刻，x = x0， v = v0，试求：试求：（1）速度与时间的关系；速度与时间的关系；（2）位置与时间的关系；位置与时间的关系；（3）速度与位置的关系速度与位置的关系。解：（解：（1）,dtdva dtaadtdvttvv0000tavv00,00tavv,dtdxv dttavvdtdxttxx)(00000200021tatvxx （2）6dxdvvdtdxdxdvdtdvavdvdxa0)(21)(20200vvxxadvvdxavvxx000注意：注意：这都是匀加速这都是匀加速直线运动公式，它们直线运动公式，它们不具有一般意义！不具有一般意义！（变量变换）（变量变换）（分离变量）（分

4、离变量）)(200202xxavv（两边同时积分）（两边同时积分）tavv0020021attvxx（3）7例：例：质点沿质点沿 x 轴作直线运动，加速度轴作直线运动，加速度 a = 2t 。t = 0时，时，x = 1m，v = 0，求：求：任意时刻质点的速度和位置。任意时刻质点的速度和位置。解：解： 质点作非匀加速的运动。质点作非匀加速的运动。 dtdva tdtdv2积分：积分： tvtdtdv0022tv 即有：即有： 2tdtdxtxdttdx021可得：可得： 3311tx8例：例：设某质点沿设某质点沿 x 轴运动，在轴运动，在 t = 0 时时x = 0， v = v0，其加速度

5、与速度的大小成正比而方向相反，比例系数其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数为为k ( k 0 )，试求：（试求：（1）质点速度随时间变化的关系质点速度随时间变化的关系式；式；（2）运动方程运动方程 ，（3）质点最终停止的位置质点最终停止的位置? 解：解：dtdvkva 分离变量：分离变量： kdtvdv 积分：积分： tvvkdtvdv00得得 ktvv 0ln所以所以 ktevv 0速度的方向保持不变，但速度的方向保持不变，但大小随时间增大而减小，大小随时间增大而减小，直到速度等于零为止。直到速度等于零为止。 （1）由题意及加速度由题意及加速度的定义式，可知：的定义式，可知： 9ktevdtdx 0dtevdxkt 0tktxdtevdx000kttktekvekvx1000 tekt则则, 0kvxxm0 （2）（3）0 质点停止时质点停止时ktevv 0由由ktevv 0dtdxv 10例：例：质点沿质点沿 x 轴正向作直线运动，加速度轴正向作直线运动，加速度a = - kx (k为正常数为正常数)。t = 0时，时，x = 0, v = v0 ，求：求：在什么位在什么位置质点停止运动置质点停止运动? 解：解： dtdva dtdxdxdvdxdvv分离变量，积分：分离变量，积分：xvv