不定积分典型例题讲解

1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分 不定积分的计算方法 第四四章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1. 直接积分法直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 .2. 换元积分法换元积分法xxfd)( 第一类换元法第一类换元法tttfd)()( 第二类换元法 注意常见的换元积分类型, 如掌握 p205p206 公式(16) (24)的推导方法 (代换: )(tx目录 上页 下页 返回 结束 3. 分部积分法分部积分法vuxvud

2、使用原则:1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u , 排后者取为.v计算格式: 列表计算xvud目录 上页 下页 返回 结束 xvund) 1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvu xvund) 1( )2() 1()(nnnvuvuvuxvunnd) 1() 1(1多次分部积分的多次分部积分的 规规 律律)2()1()( nnnvuvuvuxvund)2( 快速计算表格:)(ku)1(knvuuu )(nu)1( nv)(nv)1( nvvn) 1()1( nuv1) 1(n特别特别: 当 u

3、为 n 次多项式时,0)1(nu计算大为简便 . 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndcx3ln2ln)arctan(32目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1 (212221dxx325)1ln(2xxc23分析分析: 5)1ln(d2xx目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求.dcos1sinxxxx解解 :原式xxxxxd2cos22

4、cos2sin222tandxxxxd2tancxx2tan分部积分目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设,)(2xyxy解解: 令, tyx求积分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd) 1()3(d2222 1原式ttttd) 1()3(2222123tt132tttttd12ct1ln221cyx1)(ln221目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求.deearctanxxx解解:xearctan原式xedxxearctanexexxxde1e2xxearctanexxxxde1e)e1 (222xxearctanexcx)e1 (ln221

5、目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求32(2)e.dxxxx解解: 取,23xxuxv2)4(e23 xx132xx660)(ku)4(kvx2ex221ex241ex281ex2161ex2e 原式)2(321 xx) 13(241xx681cxxxx)7264(e232816161cxxaxaxpxkndcossine)(说明说明: 此法特别适用于如下类型的积分: 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 证明递推公式)2(1tandtan21ninxxxinnnn证证:xxxinnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2ni2ni注注:0iin或1i0i

6、,cx1icx cosln目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求.d1xx解解: 设1)(xxf1x,1x1x,1x则)(xf1,1221xcxx1,2221xcxx因)(xf连续 , , ) 1 ()1 ()1 (fff得21211121cc221121cc记作c得xxd1)(xf1,21221xcxx1,21221xcxx,) 1(221cx,) 1(221cx利用 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设 解解:)(xf为)(xf的原函数,时时当当0 x,2sin)()(2xxfxf有且,1)0(f,0)(xf求. )(xf由题设, )()(xfxf则,2sin)()(2xxfxf

7、故xxfxfd)()(xxd2sin2xxd24cos1即cxxxf4sin)(412,1)0(f, 1)0(2fc0)(xf, 因此14sin)(41xxxf故)()(xfxf14sin2sin412xxx又目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1. 一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换目录 上页 下页 返回 结束 2. 需要注意的问题需要注意的问题(1) 一般方法不一定是最简便的方法,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合使用各种基本积分法, 简便

8、计算 . 因此不一定都能积出.例如例如 , ,de2xx,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求.eee1d632xxxx解解: 令,e6xt 则,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tct arctan3cxxxx636arctane3) 1ln(e) 1ln(e323目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 求.dsincossincos3xxxxx解解: 令xxsi

9、ncos3xbaxbasin)(cos)(比较同类项系数3 ba1 ba, 故2, 1ba 原式xxxxxsincos)sind(cos2dcxxxsincosln2说明说明: 此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxbxxaxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcbxdxca目录 上页 下页 返回 结束 例例12.解解：xxbxaxidsincossin1求因为.dsincoscos2xxbxaxi及12ibiaxxbxaxbxadsincossincos1cx12iaibxxbxaxaxbdsincoss

10、incos)sincosd(xbxa2sincoslncxbxacxbxaabxbai)sincosln(1221cxbxabaxbai)sincosln(1222目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求不定积分.dsin)cos2(1xxx解解: )cos(xu 令令原式 uuud) 1)(2(12) 1)(2(12uuua21ub1uc31a61b21c2ln31u1ln61ucu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xcx) 1ln(cos21xxxxdsin)cos2(sin2目录 上页 下页 返回 结束 例例14.)()sin()sin(dkbabxaxxi求xbxaxd)sin()sin()()sin(bxax)sin(1ba xbxaxbad)sin()sin()sin(1)sin(ax )cos(bx )cos(ax )sin(bx)sin(1ba xbxbxd)sin()cos(xaxaxd)sin()cos(caxbxba)sin(ln)sin(ln)sin(1caxbxba)sin()si