第12章习题解答

1、平几习题集解答第一章习题练习1（面积法）1 已知：点e、f分别在平行四边形abcd的边dc和bc上，且ae=af，dgaf，bhae，g、h是垂足。求证：dg=bh。证明：连df、be，那么所以 。但af=ae，于是bh=dg。2. 设ad为abc的中线，f为ad的中点，连结bf并延长交ac于e。求证：ec=2ae。证明：因为bd=dc，af=fd，故。3已知平行四边形abcd中，e、f分别在cd、ad上，ae和cf相交于g，且ae=cf。求证：gb平分agc。证明：连be、bf，则。另一方面，所以 sinbgc=sinagb，即bgc=agb。所以bg平分agc。4p是abc中a的平分线上任

2、意一点。过c引ce/pb，交ab的延长线于e，过b引bf/pc，交ac的延长线于f。求证：be=cf。 证明：如图，故 所以be=cf。5e、f是任意四边形abcd的对边ad、bc的中点，m为对角线bd延长线上任一点。若直线me、mf分别与ab、cd相交于p、q两点。求证：ef平分pq。证明：由p、e、m共线，得，故。由f、q、m共线，得，故。所以 。因为ae=ed，bf=fc，所以pn=nq。6ad是abc的中线，过b点的直线交ad于e，交ac于f。求证：。证明：因为cd=db，所以。7p是平行四边形abcd对角线bd上任一点，peab于e，pfbc于f。求证：pe ：pf = bc ：ab

3、。证明：因为abcd是平行四边形，故。另一方面，由peab，pfbc，知，所以 。8abc中，acb=900，ac=bc，d为bc中点。作cead，分别交ab、ad于e、f。求证：ae=2be。证明：因 为cd=bd，故。另一方面，accd，cfad，故afccfd。所以。故ae=2eb。9已知：在abc中，ab=ac，p为bc上任意一点，pdab于d，peac于e，bf是ac边上的高。求证：pd+pe=bf。证明：连ap，那么由，得 acbf=abpd+acpe。又因为ab=ac，所以pd+pe=bf。10设o是abc内任一点，ao、bo、co的延长线分别交对边于d、e、f。求证：。 证明：

4、如图，11设线段oa的中点为m，过a的任意直线与过o的任意（位于oa的两侧）的两直线分别相交于p、q，q在线段ap上，pm与oq交于r，qm与op交于s。求证：。证明：因为m是oa的中点，故根据平行四边形pnrq的调和性知nq/oa。同理，pt/oa。于是所以 。 12在abc的边ab、ac上分别取点d、e，使de/bc，在ab上取点f，使。求证：ad2=abbf。 证明：因为 sade=sbfc，2sade=addesinade，2sbfc=bfbcsinb，所以 addesinade=bfbcsinb。由因为 de/bc，所以ade=b，所以，即 ad2=abbf。13ad是rtabc的斜

5、边bc上的高，e是cb的延长线上一点，且eab=bad。求证：。证明：abac，ab平分dae，所以 。另一方面，aebcea。所以。所以 。14过平行四边形abcd的顶点a引直线交bd于p，交dc于q，交bc的延长线于r。求证：。证明：因为ad/bc, ab/cd，所以pqdpab。从而。15已知：at与abc的外接圆相切于a，与cb的延长线交于t。求证：。 证明：因为ta是切线，所以tabtca，所以。练习2（代数法）1. 在锐角abc中，ad、ce是两条高，交点为h，且ad=bc，m是bc边的中点。求证：mh+dh是bc的一半。证明：设ad=bc=2x，md=y。易知cdhadb，从而有

6、 ，即有 （1） 。又由勾股定理得 ，即 （2）。（1）+（2）得 。所以 。2. abc为等边三角形，点d、e、f分别在bc、ac、ab上。求证：def的周长abc的周长之半。证明：如图，设abc的边长为a，af=x,，bd=y,，ce=z，ef在bc边上的投影为mn，那么同理，。所以 。所以def的周长abc的周长之半。3. 已知a、b、c和a, b, c分别为abc和abc的三边，且对于任意实数x都为定值。求证：abcabc。证明：设定值为m（0），那么，即 。因为此式对任意实数都成立，所以。所以 ，从而 abcabc。4ab是o的直径，过a、b引圆的切线ad、bc，又过弧ab上任一点e

7、的切线与ad、bc相交于d、c。求证：2oecd。证明：过o作om/bc交cd于m，则m是cd的中点。因为oecd，所以oeom。由梯形的性质得，所以 2oecd。5abcd是圆内接四边形，对角线acbd。求证：2sabcd = bcad+adbc。证明：根据托勒密定理知adbc+abdc=acbd。因为 acbd，所以 2sabcd= acbd。所以 adbc+abdc=2sabcd。6一个给定的凸五边形abcde有下列性质：abc、bcd、cde、dea、eab的面积都等于1。证明：每一个具有上述性质的不全同的五边形都有相等的面积。证明：因为sabe = sade，所以bd/ae，从而sa

8、bf = sdef。同理，ac/de，ad/bc。设ad与be交于点f，则四边形bcdf是平行四边形，故sbdf =1。设sabf = x，那么由知 。由此解得 。所以 。7已知：pa、pb分别切o于a、b两点，e、f分别为pa、pb的中点，连结ef交po于q点，qh切o于h点。求证：pq=qh。证明：因为e、f分别为pa、pb的中点，故 2pq=pr。所以 qh2=oq2 r2=oq2 orop =(qr+or)2 orop=qr2+2qr or+or2 orop = qr2+or(2qr+or op)=qr2所以 qh=qr=pq。8ab是o的直径，p是o上任意一点，且pcab于c。以p为

9、圆心，pc为半径的圆与o相交于d、e，de与pc交于m。求证：m是pc的中点。证明：因为 dmme=dm(2pc pm)=cm(2pc cm),所以 2pcpm pm2=2pccm cm2，即2pc(pm cm)=( pm cm)(pm+cm)。 因为 pm+cm=pc，所以pm cm=0，即 pm=cm，故m为pc的中点。9设abc的内切圆与边ac相切于f，且abbc=2cffa。求证：abc是直角三角形。证明：因为abbc=2cffa，所以。于是有 rp=(p-c)(p-a)sinb，rp2=p(p b )(p a )(p c )sinb=r2p2sinb，故 p b = rsinb。因为

10、 ，所以 ，解得b=900。故abc是直角三角形。10abc中，a=900，以bc为一边向外作正方形bcde，连结ad、ae与bc交于f、g。求证：bf2+cg2+fg2=bc2。证明：因为a=900，四边形bcde是正方形，故即 。 ，即 。 ， 即 。 由、解得从而因为 ，所以 bf2+cg2+fg2=bc2。11圆中三弦两两相交于p、q、r。若pa=qe=rd，pc=qb=rf。求证：pqr为等边三角形。证明：由pq+ap+qb=pr+pc+rd=qr+qe+rf， pa=qe=rd，pc=qb=rf，解得 pq=rp=qr。所以pqr为等边三角形。12在abc中，d、e分别是bc、ab

11、上的点，连结de，且b=cad=ade。abc、ebd、adc的周长依次为m、m1、m2。求：的范围。证明：因为b=cad=ade，所以de/ac。设bd=bc，则m1=m。由acdbca，知，故。所以 。13 p 为o外一点，pn是o的切线，切点为n，m为pn的中点。过p、m作o1，与o相交于a、b两点，ba的延长线交pn于q。求证：mq：qn：pm：pq=1：2：3：4。 证明：如图，qmqp=qaqb=qn2，所以。由此得 ，即 ，qp=2qn。于是 。设pn=6t, 则 qm=t, qn=2t, pm=3t, pq=4t，所以mq：qn：pm：pq=1：2：3：4。14两等圆o、o 相

12、交于p、q两点，并且一圆经过另一圆的圆心，pq交oo于a点，o与o内切，与o外切，并在oo的p点的一侧与oo相切于c点，bc是o的直径。求证：bcap是正方形。证明：如图，设等圆的半径为r，另一圆的半径为r，co=x，那么(r + r )2 = r 2 + (x + r)2，(r r )2 = r 2 + x2,即 2rr = x2 +2xr，r2 2rr = x2。解得 。所以 于是由apac，bcac知四边形acbp是正方形。 练习3（三角函数法）1 在abc中，ab=ac，p为bc上任一点，pdab，垂足为d，peac，垂足为e，cgab，垂足为g。求证：pd+pe=cg。证明：因为ab

13、=ac，故b=c，由知pd+pe=sinb(bp+pc)=bcsinb=cg。2 在abc中，acb=900，cdab于d。求证：。证明：因为acb=900，cdab，所以 。所以 。 3. 在abc中，acb=900，p为bc中点，pdab，垂足为d。求证：ad2 bd2 = ac2。证明：因为acb=900，p为bc中点，pdab，所以所以 4已知在abc中，ab=ac，a=900，d在ab上，e在ac上，。求证：ade=ebc。证明：如图，故 。由此解得 。所以ade=ebc。5abc的两条高ad、be相交于h，延长ad交外接圆于k。求证：hd=dk。证明：如图，所以 hd=dk。6以o

14、上一点为圆心作o，记o与o的一个交点为a，o的直径ab交o于c。求证：abac=2oc2。证明：如图，作od垂直ac于d，则由oa=oc可知ad=dc。于是由射影定理得，即 abac=2oa2=2oc2。 另证：由知 abac=2oa2=2oc2。7过正方形abcd的顶点a，任作一直线交bc于e，交dc的延长线于f。求证：。 证明：如图，aecosbae=ab, afsinbae=ad=ab，所以 ，即 。8在rtabc中，a=900，adbc，垂足为d，bc上有一点e，且be=cd，过a、d、e三点作圆，并过b作圆的切线，切点为f。求证：。证明：如图，因为a=900，adbc，故bdcd=a

15、d2，dab=c。那么 所以 。9在矩形abcd中，过a作对角线bd的垂线ap，垂足为p，过作bc、cd的垂线pe、pf与bc、cd分别交于e、f。求证：ap3=bdpepf。证明：如图，记adb=，那么bap=pbe=dpf，故所以 ap3=bdpepf。10设abcd是已知o的内接矩形，过a作该圆的切线，与cd、cb的延长线交于e、f。求证：。证明：如图，记adb=，那么fab=aed，故。所以 。11已知：半圆的直径ab，半圆外的直线l与ba的延长线垂直，垂足为t（atbc，b=450，o和i分别是三角形abc的外心和内心，且，求sina 。 （198年，中国数学奥林匹克）证明：如图，设

16、o、i分别为abc的外心和内心，d、e分别为o、i在bc上的投影，那么。（1）当oiab时，由i在ab的中垂线上可知abi是等腰三角形，于是 abi=bai。所以a=2bai=2bai=b=450，即。（2）当oi/ab时，有 所以 。化简，得 因为b=450，故a+c=1350。所以。所以 。于是 。综上所述，或 。14. 如图，在abc中，acb450，d为ac上一点且adb600，ab切bcd的外接圆于b，求证：ad ：dc2 ：1。 证明：因为acb450，adb600，ab切bcd的外接圆于b，所以cbd150，abd450，a750。 根据正弦定理知。于是有 。所以ad ：dc2

17、：1。第二章证题术练习1（线段相等）1. 证明：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的中线也相等。证明：如图，设ab=ac，be、cf分别是abc与acb的平分线，那么由abc=acb，ebc=fcb，bc=bc知bcecbf，所以be=cf，即等腰三角形两底角的平分线相等。再设be、cf分别是ac、ab边上的中线，那么由abc=acb，bf=ce，bc=bc知bcecbf。所以be=cf，即等腰三角形两腰上的中线相等。2. 正方形abcd中，e、f分别是边cd、da的中点。连be与cf交于点p，求证：apab。证明：因为e、f分别是边cd、da的中点，故bcecdf，从而becf。过a作be

18、的垂线分别交be、bc于h、g，那么abgbce，故bg=cg。根据gh/cp知bh=hp。所以abp是等腰三角形，且ap=ab。3. 正方形a1b1c1d1在正方形abcd内，又a2b2c2d2分别是aa1、bb1、cc1、dd1的中点，求证：a2b2c2d2也是正方形。证明：设o是正方形a1b1c1d1和正方形abcd的相似中心，那么oa1aob1b，故。因为a2、b2分别是aa1与bb1的中点，从而，所以 oa1a2ob1b2。于是由oa1与ob1垂直且相等知oa2与ob2垂直且相等。 同理，oc2与ob2垂直且相等，oc2与od2垂直且相等。所以a2b2c2d2是正方形。4. 在等边a

19、bc中，延长bc至d，延长ba至e，且使aebd，求证：cede。证明：过e作efbd于f，那么由知cf=fd，即f是cd的中点。所以cde是等腰三角形，且ce=de。5. 锐角abc的高交于点o，在线段ob和oc上各取点b1和c1，使得ab1c=ac1b=900。求证：ab1=ac1。证明：因为beac，cfab，所以b、c、e、f共圆，故aeac=afab。又因为ab1cb1，ac1bc1，所以，故ab1=ac1。6. 已知一个三角形三个角的比为1：2：4,求证：角平分线与对边的交点是一个等腰三角形的顶点。证明：如图，设ad、be、cf分别是a、b、c的平分线，则。 （1）因为dac=dc

20、a，fcb=fbc，afi=fai，aie=aei，所以 ad=dc，bf=cf，fi=ai=ae。 （2）由adbcab知 ，故 。 （3）由（1）、（3）可得 （4）由aiccab知 ，故 ，即 ab+bc=ac。 （5）由afcacb知 ，故 ，即 b(a+b)=c2。 （6）又由等腰三角形的性质知， （7）（8）由（7）和（8），即得 de=df，即def是等腰三角形。7. 已知等腰abc底边上的高为ah，从一条边上的点p向另两条边作垂线pd、pe，若ahpd+pe，求证：abc为正三角形。证明：如图，因为ab=ac，故pd+pe=bf=ah，所以 ac=bc，从而ab=bc=ca，即

21、abc为正三角形。8. 以任意三角形的边为底向形外作底角为300的等腰三角形abc、bca、cab。求证：abc是正三角形。证明：设ab=x, ca= y, bc=z，因为abc、bca、cab都是底角为300的等腰三角形，所以。同理，所以ab= bc= ac，即abc是正三角形。9. 已知abc的高ad、be交于h，abc、abh的外接圆分别为o和o1，求证：o和o1的半径相等。证明：因为ad、be分别是abc的高，故bhc+a=1800。所以o和o1的半径分别为。所以o和o1的半径相等。10. 若一个圆外切四边形有一对对边相等，求证：圆心到另一对对边中点的距离相等。 证明：如图，设ab=c

22、d，h、f分别为ad与bc的中点，e、g为切点，那么。因为abcd是o的外切四边形，故ad+bc=ab+cd=2ab，ae+dg=ad，be+cg=bc，所以所以oh=of，即圆心到另一对对边中点的距离相等。练习2（角相等）1. 在abc中，acbc，acb900, d是ac上一点，且ae垂直bd的延长线于e，又2aebd，求证：bd是abc的平分线。证明：因为acbc，acb900，2aebd，所以。于是 。由积化和差公式可得。所以sin(abd abd)=0，即abd =abd。所以bd是abc的平分线。2. 从abc的顶点b、c分别作a的平分线的垂线，垂足为d、e，直线be与cd相交于p

23、。求证：ap平分a的外角。证明：如图，连ap，因为ad是a的平分线，cead，bdad，所以ce/bd，且aecadb。于是。所以ap/ce，故apad。所以ap平分a的外角。3. 在abc中，c900, d是ab上一点，作debc于e，使beac，且2bd1，又de + bc1,求证：abc300。证明：因为de/ac，故bdebac。所以。因为be=ac，故 。由 de+bc=1知，由此即得 ac2+bc2=bc。 （1）又由 bd2 = be2 + de2 = ac2 + (1 bc)2 = ac2 +bc2 +1 2bc = ab2 +1 2bc得。 （2）由（1）、（2）解得 。所以

24、 ，故b=300 。4. 在凸四边形abcd的边bc上取两点e、f（e比f离b较近），若baecdf，且eaffde，求证：facedb。证明：因为 a(bf, ce)=(bf, ce)=d(bf, ce)，故。因为baecdf，eaffde，所以，即。解得 facedb。5. 在四边形abcd中，对角线ac平分bda，在cd上任取一点e，连be交ac与f，延长df交bc与g。求证：gaceac。证明1 如图，过a作ac的垂线ah，连bd分别交ac、ah于i、h。根据角平分线的性质知（bd，ih）=1。连ge交ah于h，交ac于j。根据完全四角形cefg的调和性知（bd，ih）=1，由 （bd

25、，ih）=（bd，ih）知h与h 重合。由ac与ah垂直，且（ge，jh）=（bd，ih）=1知ac与ah是gae的内外平分线。所以 gac=eac。证明2：如图，过c作ab的平行线交ag的延长线于k，过c作ad的平行线交ae的延长线于l，那么 (i)又aj平分bad，故 (ii)因为cj、be、dg共点，故根据塞瓦定理知 (iii)由(i), (ii), (iii)得，即ck=cl。另一方面，因为ac平分bad，故，同理 ，即有ack=acl。由ck=cl，ac=ac，ack=acl，知 ackacl，所以gac=eac。6. 在平行四边形abcd中，e为ad上一点，f为ab上一点，且bed

26、f，be与df交于g，求证：bgcdgc。证明：如图，连ce、cf，作cldf于l，cmbe于m，作fjcd于j，ekbc于k，那么sbec=sabcd/2= sdfc。因为2 sbec=becm，2 sdfc=dfcl，be=df，故cl=cm。从而rtclgrtcmg。所以bgcdgc。7. 设o是平行四边形abcd内一点，且aob+cod1800。求证：obcodc。证明：过c作co/bo，过d作do/ao，两线交于o，那么abodco。故aobdoc，且aood、booc都是平行四边形。因为aob+cod1800，所以doc +cod1800，所以o、c、o、d共圆。所以odcooc=

27、obc。8. 梯形abcd中，ab/cd，abcd，k、m分别是腰ad、bc上的点，若damcbk，求证：dmackb。证明：因为damcbk，所以、m共圆。故dkmcba，akbamb。因为ab/cd，所以dcm+cba1800，于是dcm+dkm1800，从而d、c、m、k共圆。所以dkcdmc。于是ckb=1800 akb dkb=1800 amb dmc=dma。9. 在四边形abcd中，adbc，e、f分别为ab、cd的中点，延长ad、bc分别交ef的延长线于h、g，求证：ahebge。证明：如图，连bd，取bd的中点m，连em、fm。因为e、f分别为ab、cd的中点，故em/ad,

28、 fm/bc，且2em=ad，2fm=bc。因为ad=bc，所以em=fm。于是mefmfe。所以 ahemefmfe=bge。10. 正方形abcd中，e为ad中点，f为ed中点。求证：fbc2abe。证明：不妨设ab=4，那么ae=2，ef=fd=1。所以。由 ，即得fbc2abe。练习3（平行于垂直）1. 在abc中，bac900, abac，m为ac中点，n在bc上，且bn2nc。求证：anbm。证明：过n作nd/ab交ac于d，则cd=dn。又2cn=bn，故2cd=ad。由abac，addn，知bamadn，所以anbm。2. 已知abc和ade都是等腰直角三角形，b、d都在aec

29、内部，m是ec的中点。求证：bmdm。证明：过c作cfbd于f，过e作egbd于g，过a作anbd于n，那么由ab=bc，anb=900=bfc，ban=cfb，知anbbfc。同理，anddge。于是m到bd的距离就是梯形cfge的中位线，它等于cf与eg的半和即bd的一般，所以bmd是等腰直角三角形。所以bmdm。3. 设d是等腰直角abc底边bc的中点，p是直线bc上的任意一点。引peab于e，pfac于f。求证：de与df垂直且相等。证明：因为cf=fp=ae，ad=dc，dae=1350=dcf，所以adecdf。那么由addc，即知dedf。所以de与df垂直且相等。4. 设o与o

30、外切于p，一条外公切线分别切o与o于m、n。过p任作直线分别交o与o于a、b。求证：ambn。证明：如图，延长mo交o于c，连oa、ac、oc、on、nb、ob，易知on/oc，ob/oa，故bon=aoc。所以 aocbon。所以ac/bn，所以acam。5. 作圆内接四边形对边所在的直线所成之角的平分线，求证：所得四线交成一个矩形。证明：如图，易知prps，qrqs。又所以四边形psqr是矩形。6. 已知bd、ce分别为abc的b、c的外角平分线，且adbd于d，aecd于e，求证：de/bc。证明：如图，延长ec、db交于ia，过ia作iafbc于f，那么。故 。同理，。所以 。所以de

31、/bc。7. 在abc的中线ad上任取一点p，直线cp和ab交于e点，直线bp和ac交于f点。求证：ef/bc。证明：如图，由塞瓦定理知。因为bd=dc，所以。所以ef/bc。8. 在abc中，设bc的中垂线交直线ab于d，自a、c作abc的外接圆的切线交于e。求证：de/bc。证明：如图，连cd，则dae =acb =bcd acd =bacd =aceacd=dce所以 a、c、e、d共圆。所以cde =cae =dbc=dcb，故de/bc。9. 在abc中，a角的平分线交bc于d。过a作一圆切bc于d而交ab、ac于e、f。求证：ef/bc。证明：如图，连de，则cda=dea。故b

32、+bad=aef+fed=aef+dac。因为da平分bac，所以bad=dac。于是 b=aef。 所以ef/bc。10. 以平行四边形abcd的对角线ac为一边在其两侧各作一个正三角形acp和acq。求证：bpdq为平行四边形。证明：如图，因为ab与cd平行且相等，ap与cq平行且相等，所以bapdcq，故bp=dq。又因为ab与cd平行且相等，cp与aq平行且相等，所以cdpabq，故bq=dp。所以四边形bpdq为平行四边形。练习4（和差倍分、线段之积）1如图，p是正方形abcd内一点，满足ap=1，bp=2，cp=3，求正方形abcd的面积。解：由 解出a2即可。2已知：以af为直径

33、的o与以oa为直径的o1内切于a，adf内接于o，dbfa于b交o1于c，连结ac并延长交o于e。求证：（1）ac=ce；（2）ac2=db2 bc2 。证明：（1）两圆内切于a，故a是两圆的外位似中心，所以ac与ae之比为两圆的半径之比，即1：2，故ac=ce。（2）因为adf、aco都是直角三角形，且bdaf，那么根据射影定理可得 ac2=abao，bc2=abbo。所以 ac2+ bc2=abao+abbo=ab(ao+bo)=ab(bo+of)= abbf=bd2。即ac2 = bd2 bc2。3已知：o1与o2内切于点p，o2的弦ab切o1于点c，连结pa、pb，其延长线交o1于点d

34、、e。求证：pc2 = papb acbc 。证明：因为o1与o2内切于点p，故p是两圆的外位似中心，故，所以de/ab。 连de，则dpc=dec=ecb=cpe，即pc平分apb，那么根据第4题的结论可得 pc2 = papb acbc 。 4在abc中，abac，a的平分线ad交bc于d。求证：ad2=abac bdcd 。 证明：因为a的平分线ad交bc于d，根据斯特槐公式得5已知abc中，c=900。求证：bc2+ac2=ab2。证明：如图，作cn/be交de于n，交ab于m，连cd、bk，那么sadnm=2sadc，sachk=2sabk，adcabk，所以 sadnm = sac

35、hk。同理 smneb = scbfg。所以 sadnm + smneb = sachk + scbfg，即 a2 + b2 = c2。（此证法称为毕达哥拉斯证法，记载于欧几里德的几何原本）6abc内接于o，ab的延长线与过点c的切线cd相交于点d，e是o上的点，满足cb=ce ，be与ac相交于点f。求证：（1）be/cd； （2） bc2cf2=bffe 。证明：（1）因为cb=ce，cd是切线，所以ecd=ebc=bec故be/cd。（2）7已知：o1与o2外切于点p，过o2上一点b作o2的切线，交o1于点c、d，直线pb交o1于点a。求证：ad2+bcbd=ab2 。证明：因为db是o

36、2的切线，o1与o2外切于点p，所以abd=adp，所以adpabd，故ad2=apab。又bcbd=bpab=ab(ab ap)=ab2 abap,所以ad2+bcbd=ab2 。8已知p为等腰abc的底边bc的延长线上的点。求证：ap2 = ab2 + bppc。证明：如图，因为abc是等腰三角形，故2abcosb=bc。在abp中应用余弦定理，得ap2 =ab2 +bp2 2abbpcosb= ab2 +bp(bp 2abcosb)= ab2 +bp(bp bc)= ab2 + bppc。9已知：abc中，acb=2abc。求证：ab2=ac2+ bcac。证明：在bc上取一点d，使ad

37、=ac，那么2abc=acb=adc=abc+dab,故abc=bad，从而bd=ad。在abc中应用余弦定理，得ab2 = ac2 + bc2 2acbccosc= ac2 + bc(bc 2accosc)= ac2 + bcbd= ac2 + bcac。10在四边形abcd中，abc=dcb，da、cb的延长线相交于p。求证：papd=pbpc+abcd。证明：作abd的外接圆交bc于e，那么由abp=dce，pab=dec，知abpecd。所以 ，即 cebp = abcd。另一方面，papd = pepb = pbpc + pepb pbpc= pbpc + pb(pe pc)= pb

38、pc + pbec，所以papd = pbpc+abcd。11过平行四边形abcd的一顶点a的圆交ab、ad、ac于f、h、g。求证：abaf + adah = acag 。证明：如图，连fg、fh、hg，那么由托勒密定理知hgaf + fgah = fhag。 (i)另一方面，由 hfg =hag =acb，fhg =cab，知fhgcab。所以 (ii)由(i)、(ii)，即得 abaf + bcah = acag。由平行四边形知bc=ad，所以 abaf + adah = acag 。 12已知pab、pcd是o的割线，pq与o相切于q，且cap=dab。求证：pq2 = pa2 + acad。证明：如图，连bd，那么由 pac =dab，pca =abd，知pacdab。所以， 即 paab = acad。 另一方面，pq是切线，故 pq2=papb=pa(pa+ab)=