广州市普通高中毕业班综合测试二数学理科

1、 广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）注意事项： 1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相对应位置填涂。2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。（1）已知集合，z，则(a) (b)

2、(c) (d) 答案：c解析：解一元二次不等式：2，得：，又，所以，n，所以，。（2）已知复数，其中为虚数单位， 则(a) (b) (c) (d) 答案：b解析：因为z，所以，1（3）已知， 则的值是(a) (b) (c) (d) 答案：a解析：（4）已知随机变量服从正态分布, 且, 则 (a) (b) (c) (d) 答案：b解析：因为随机变量服从正态分布，又，所以，10.320.68（5）不等式组的解集记为, 若, 则的最小值是(a) (b) (c) (d) 答案：a解析：画出不等式组表示的平面区域，如图三角形abc为所示，当过a（2,0）时取得最上值为4（6）使n展开式中含有常数项的的最

3、小值是(a) (b) (c) (d) 答案：c解析：，令0，得，所以的最小值是5（7）已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数的单调递减区间是(a) z (b) z (c) z (d) z 答案：d解析：=0，得：，所以，由，得的单调递减区间是z（8）已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，, 则球的表面积为(a) (b) (c) (d) 答案：d解析：由余弦定理，得：bc，设三角abc外接圆半径为r，由正弦定理：，得r2，又，所以，表面积为：（9）已知命题：n, ，命题：n, ， 则下列命题中为真命题的是 (a) (b) (c) (d) 答案：c解析：因为（n为正整数）是增函数

4、，又所以，n, 成立，p准确；，当且仅当，即，所以，q假命题，所以为真命题。（10）如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是(a) (b) (c) (d) 答案：b解析：该几何体是一个放倒的半圆柱上面加一个四棱锥的组合体，（11）已知点为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作 双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为(a) (b) (c) (d) 无法确定答案：b解析：特殊点法。因为是定值，m为双曲线上任一点，取特殊点，当m为右顶点时，由渐近线知三角形omn为等腰直角三形，此时（12）设函数的定义域为r , , 当时, 则函数在区间上

5、的所有零点的和为(a) (b) (c) (d) 答案：a解析：考虑两图象的交点的横坐标之和，因为两图象都关于1成轴对称图形，在共有7个交点，故零点之和为7。第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）曲线在点处的切线方程为 . 答案：解析：（14）已知平面向量与的夹角为，则 .答案：2解析：（15）已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程为 .答案：解析：由于两个焦点为（1,0），（1,0）所以，（16）在中，分别为内角的对边，

6、则的面积的最大值为 . 答案：解析：三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分分） 设是数列的前项和, 已知, n. () 求数列的通项公式； () 令，求数列的前项和.解析：() 解: 当时, 由, 得,1分 两式相减, 得, 2分 . . 3分 当时,，, 则.4分 数列是以为首项, 公比为的等比数列. 5分 . 6分 () 解法1: 由()得. , 7分 , 8分 -得9分 10分 . 11分 .12分解法2: 由()得. , 8分 10分 . 12分（18）（本小题满分分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班名女同学，名男同学中随机抽取一个

7、容量为的样本进行分析. ()如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必 计算出结果） ()如果随机抽取的名同学的数学，物理成绩(单位：分)对应如下表：学生序号1234567数学成绩60657075858790物理成绩70778085908693 ()若规定分以上（包括分）为优秀，从这名同学中抽取名同学，记名同 学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；()根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程 (系数精确到); 若班上某位同学的数学成绩为分,预测该同学的物理成绩为多少分? 附：线性回归方程，其中，.解析：()解：依据分层抽样的方法，名女

8、同学中应抽取的人数为名， 1分 名男同学中应抽取的人数为名， 2分 故不同的样本的个数为. 3分() ()解: 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为名, 的取值为. , , , . 7分 的分布列为 8分 . 9分()解: ,. 10分线性回归方程为.11分当时, .可预测该同学的物理成绩为分. 12分（19）（本小题满分分） 如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形， ，平面平面，平面. ()求证：； ()若，求直线与平面所成角的正弦值.解析：()证明：取的中点,连接,. 是等边三角形， . 1分 是等腰直角三角形， . 2分 平面平面，平面平面，平面， 平面. 3分 平面, .

9、,四点共面. 4分 ,平面,平面, 平面. 5分 平面, . 6分()解法1: 作,垂足为,则. 是等边三角形，, ,. 在rt中, .7分 是等腰直角三角形， . 8分如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴, 所在直线为轴,建立空间直角坐标系,则,. ,.设平面的法向量为,由,得 9分令,得,. 是平面的一个法向量. 10分设直线与平面所成角为,则. 11分直线与平面所成角的正弦值为. 12分解法2: 作,垂足为,则. 是等边三角形，, ,. 在rt中, . 7分 是等腰直角三角形， .8分 由()知， 平面,平面, 平面. 点到平面的距离等于点到平面的距离.作,垂足为,平面，平面

10、，.平面,平面,平面,且. 9分在rt中, 在rt中, 的面积为.设点到平面的距离为,由, 得,得. 10分设直线与平面所成的角为,则. 11分直线与平面所成角的正弦值为. 12分注:求的另法.由,得,得.（20）（本小题满分分）已知点，点是直线上的动点，过作直线，线段的垂直平分线与交于点.()求点的轨迹的方程；()若点是直线上两个不同的点, 且的内切圆方程为，直 线的斜率为，求的取值范围.解析： ()解:依题意,点到点的距离等于它到直线的距离, 1分 点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 2分 曲线的方程为. 3分()解法1：设点，点，点， 直线方程为：， 4分 化简得，. 的内切圆方

11、程为， 圆心到直线的距离为，即. 5分 故. 易知，上式化简得，.6分 同理，有. 7分 是关于的方程的两根. ， . 8分 .9分 ， . 直线的斜率，则. . 10分 函数在上单调递增， . . . 11分 . 的取值范围为. 12分解法2：设点，点，点， 直线的方程为，即，4分 直线与圆相切， . . 5分 直线的方程为. 点在直线上, . 易知，上式化简得，. 6分 同理，有. 7分 是关于的方程的两根. ， . 8分 . 9分 ， . 直线的斜率，则. . 10分 函数在上单调递增， . . . 11分 . 的取值范围为. 12分解法3：设点，直线的方程为，即， 令,得, . 4分

12、直线与圆相切， . 化简得,. 5分 同理,设直线的方程为， 则点,且. 6分 ,是关于的方程的两根. , . 7分 依题意,. 8分 . 9分 直线的斜率，则. . 10分 函数在上单调递增， . . . 11分 . 的取值范围为. 12分解法4：设点，如图，设直线，与圆相切的切点分别为， 依据平面几何性质，得， 4分 由， 5分 得， 得. 6分得.7分故. 8分 依题意,. . 9分 直线的斜率，则. . 10分 函数在上单调递增， . . . 11分 . 的取值范围为. 12分（21）（本小题满分分） 已知函数r. () 当时，求函数的最小值；() 若时,求实数的取值范围； （）求证：

13、.解析：()解:当时，,则. 1分 令，得. 当时, ; 当时, . 2分 函数在区间上单调递减,在区间上单调递增. 当时,函数取得最小值,其值为. 3分 ()解:若时,即.(*) 令,则. 若,由()知,即,故. . 4分 函数在区间上单调递增. . (*)式成立. 5分 若,令, 则. 函数在区间上单调递增. 由于,. 6分 故,使得. 7分 则当时,即. 函数在区间上单调递减. ,即(*)式不恒成立. 8分 综上所述,实数的取值范围是. 9分()证明:由()知,当时, 在上单调递增. 则,即.10分 . 11分 ,即. 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所

14、做的第一题计分。做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修41: 几何证明选讲如图,四边形是圆的内接四边形,是圆的直径，的延长线与的延长线交于点,过作，垂足为点. ()证明: 是圆的切线； ()若，求的长. 解析：()证明: 连接， ， . 1分 是圆的直径， . . 2分 . . 3分 ， . 4分 是圆的切线. 5分()解: 是圆的直径， ,即. ， 点为的中点. . 6分 由割线定理:,且. 7分得. 8分在中，则为的中点. . 9分在rt中，. 10分 的长为.（23）（本小题满分10分）选修44: 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数.以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.()将曲线和直线化为直角坐标方程；()设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.解析：()解：由得， 曲线的直角坐标方程为. 2分 由，得，3分 化简得， 4分 . 直线的直角坐标方程为. 5分()解法1：由于点是曲线上的点，则可设点的坐标为，6分 点到直线的距离为 7分 .8分 当时，. 9分 点到直线的距离的最大值为. 10分 解法2：设与直线平行的直线的方程为， 由消去得， 6分