空间直线及其方程PPT课件

1、第六节 空间直线及其方程 本节内容提要本节内容提要一、一、空间直线的几种形式空间直线的几种形式 二、直线与直线、直线与平面间的关系二、直线与直线、直线与平面间的关系 三、三、利用直线与平面其间的关系，求解综合题利用直线与平面其间的关系，求解综合题教学目的： 使学生了解空间直线的几种形式，并会其间的 转换，会根据所给条件求直线方程，了解直线 与直线、直线与平面间的关系，会利用直线与 平面间的关系求解综合性题目。 重点、难点：求空间直线方程教学方法： 启发式教学法教学手段： 多媒体课件和面授讲解相结合教学时数： 2课时一、空间直线的几种形式 过一点做一条且仅做一条与一条已知直线平行的直线，我们利用

2、这一点建立直线方程.1、直线的标准式方程定义：若一非零向量与一条直线l平行，则称该向量为直线l的方向向量，一般用 表示。由定义可知直线的方向向量不唯一。 s 已知直线l上一点 和直线l的方向向量 ，建立该直线l的方程. 0m0，0.0（x y z ）. .sm n p 因为 ，所以 在直线l上任取一点m （x.y.z）000m mx xy y ，0z-z/sl0/sm m -直线的标准式方程（或点向式方程） 000y yx xz zmnp(1)注注：因为 ，所以 中可以有一个或两个数为零，规定（1）式中若分母为零，则其相应的分子也为零。 0s mnp、 、 如： ，则直线l的方程为： 0m 0

3、000yyzznpxx2、直线的参数式方程 令 , 则直线的方程变成： 000y yx xz ztmnp （t为参数） -空间直线l的参 数式方程 000 xxm tyyn tzzp t 例1、过点（-1，2，0.8）且以 为方向向量 的直线的标准式方程和参数式方程。30.210sijk 解： 直线的标准式方程： 210.830.210yxz 直线的参数式方程： （t为参数） 1 32 0.20.8 10 xtytzt 例2、求过点（1.1.-2）且垂直于平面 的直线方程。 230 xz 解：因为所求直线垂直于平面，所以这个平面的法向量可以做为所求直线的方向向量，即 2.0. 3s 11220

4、3yxz3、直线的两点式方程 直线过两点 , 则直线的两点式方程为： 111.122.2.2(.)()mx y zmx y z111212121y yx xz zxxyyzz4、直线的一般方程 一条直线可以看成是过此直线的两个平面的交线，故直线方程可以用两个平面方程联立起来表示。 设两个相交的平面方程为： 11110a xb yc zd22220a xb yc zd则它们的交线l的方程为： 1111222200a x b y c z da x b y c z d-空间直线的一般方程 例 将直线l的一般方程 化成标准式方程. 235 0322 0 xy zx yz 解 令 代入原方程组， 得 0

5、z 23532xyx y 解此方程组得 11xy 故（1.-1.0）为直线上一点 . 122315711312ijksnnijk 直线的标准式方程： 115711yxz练习 将直线l的一般方程 化成标准式方程. 25 067 0 xzyz 二、直线与直线、直线与平面间的关系 建立了直线与平面的方程，就可以通过方程来讨论直线与直线、直线与平面的位置关系. 1、直线与直线的位置关系 设直线 和直线 的方程分别为： 1l2l1111 :111y yx xz zlmnp2222 :222y yx xz zlmnp则： 1111212222/pmnllssmnp 12121212120llssm mn

6、np p 当两条直线 相交时，设两条直线的夹角为 ，而方向向量 的夹角为 ，则 或 12ll、12ss 、2、直线与平面的位置关系 设直线l的方程为： 000y yx xz zmnp 平面 的方程为： 0axbyczd则有： /0lsnmanbpc/pmnlsnabc当直线 和平面 相交时，直线 与它在平面上的投影线之间的夹角 称为直线 与平面 的夹角。 ll（0）2l如图 设直线的方向向量s与平面法向量 的夹角为 ，则： n（或 ） 22 因此 sincos222222s nma nbpcs nmnpabc 例 求直线 ： 与平面 的夹角 l324112yxz260 xyz： 解： 设直线

7、与平面 的夹角 为，则： l2 1 21sincos266 （s、 n）6三、利用直线与平面其间的关系，求解综合题 例1、求过点（-3.2.5）且与两平面 的交线平行的直线方程。 43251xyxyz和解：设所求直线的方向向量为 s因为所求直线与两平面的交线平行，所以 垂直于两平面的法向量。 s1210443215ijksnnijk 所求直线为： 即 235431yxz235431yxz 例2、求通过点m（1.2.-2）且通过直线 的平面方程。 22131xzly：解： 由直线 的方程可知： l直线上一点 ，平面的法向量垂直于 及直线l的方向向量 .0m（2.-1.2）0mms01341310311ijknmmsijk 所求的平面方程为 即 1x+13 y-2 +10 z+2 =0131050 xyz例3、求 平行于两