构造法逆向思维逆向构造法数学论证

1、摘 要合理运用构造法与逆向思维解决数学问题往往会起到事半功倍的效果。文章将构造法和逆向思维两者结合在一起，提出逆向构造法的概念，讨论其特点与作用，并通过实例说明逆向构造法在代数、几何与概率等数学命题论证中的应用。关键词：构造法；逆向思维；逆向构造法；数学论证AbstractRational application of structural method and reverse thinking to solve mathematical problems often results in twice the result with half the effort. Combining the

2、 construction method and reverse thinking, this paper puts forward the concept of reverse construction method, discusses its features and functions, and illustrates the application of reverse construction method in propositional argumentation of algebra, geometry and probability through examples.Key

3、 words: Construction method; Reverse thinking; Reverse construction; Mathematical reasoning目 录1 引言P52 逆向构造法的内涵P52.1 逆向思维P52.2 构造法P62.3 逆向构造法的含义P62.4 逆向构造法的特点P72.5 逆向构造法的作用P73 运用逆向构造法论证的若干实例P73.1 逆向构造法在代数类的解题应用P73.2 逆向构造法在几何类的解题应用P113.3 逆向构造法在概率类问题解决中的应用P134 总结P13参考文献P15致谢P16数学论证的一种方法逆向构造法1 引 言数学是一门严

4、谨并且抽象的学科，并不单纯只是依照公式、定理、法则等来解题，而是要有自己的思考和解题的技巧与方法。而论证是数学活动中的一种主要方式，数学构造法则是数学论证的基本方法，也是数学发现及应用的重要工具，在数学论证中，常常与构造法相结合的便是逆向思维。由于在数学应用中经常将逆向思维和构造法结合，并且国内现在还没有人明确的将这两者结合研究，所以本人想要探究一下这种数学论证的方法逆向构造法。在目前还没有人确切的提出逆向构造法这个概念，但是早在二十世纪初，波利亚就在他的著作怎样解题中同时提到了逆向思维和构造法，而在国内就比较少提到这两者的结合了，大部分的书籍都是在研究、讲述逆向思维。虽然对逆向思维的研究众多

5、，但大多都是一线教师通过实际的教学经验摸索出来的，而真正将逆向思维当作专门的教育实践研究的还是比较少。虽然这几年的教育体制经过改革之后，国家和学校、教师对学生的思维能力和创新精神的培养开始逐渐的重视起来，但是在当今的中小学课堂中，逆向构造这个方法在解题中还没有完全渗透到学生的思维中。本课题的研究虽然只是教育改革中的冰山一角，但是通过这次课题的研究能够对学生在数学思考和解题思路中有很好的帮助。2 逆向构造法的内涵2.1 逆向思维逆向思维也称求异思维，是发散思维中的一种，即当正面思考难以得出结论的时候可以试着从反面思考问题。逆向思维具有以下三个特点：批判性、普遍性和新颖性。从心理学的角度来讲，逆向

6、思维属于创造性的思维。在数学的学习中，逆向思维可以分为以下两大类：反转型逆向思维和缺点逆用思维。其中反转型逆向思维法就是从相反的角度去思考，例如证明不等式时所使用的分析法，而缺点逆用思维法就是化弊为利的来解决问题。那么引申出来的解题策略就有很多种，比如正难则反解题策略、补集法、反例法、逆推分析法解题策略等等。2.2构造法构造法在目前还没有一个确定的、统一的定义，通过国内外的研究可以概括为构造法是通过分析了题目给的条件和结论，根据题目中的式子的形式或者数量关系等等，构造出一个新的等价的数学模型，从而间接解决了原来的问题。从不同的角度出发，我们可以把构造法分成许许多多的类别：等价构造与非等价构造；

7、构造几何模型，构造代数模型，构造情景模型，构造实际模型；还可分为直接构造与间接构造。我们在做题的时候除了懂得有构造法这种数学方法以外，我们还要知道什么时候用哪种构造法，这就需要我们了解构造法的解题原则。首先有相似性原则：找寻题目中跟我们已经学过的已知定理公式法则，建构一个相似的数学模型来解题。其次有直观性原则：使题目的条件与结论清晰的被表达出来。最后有等价性原则：构造的B与所求的A是等价的，但是B更好求，解决B的问题间接的就解决了所要求的A。除了这几种原则外，还有相异性原则、和谐性原则。2.3逆向构造法的含义数学内部的矛盾常表现为形式的对立、结构的对立、关系的对立，一切矛盾着的东西都相互联系着

8、并且在一定的条件下它们能够相互的转化。在解题中寻求答案也就是寻找解法的根本实质在于：找出未知量与已知量之间的关系。若没有直接关系，这时候就需要建构一个间接关系。正如波利亚多次强调：构想一个辅助问题是一个重要的思维活动。但是当直接的构想这个辅助问题思考不出来时，那么这个思维活动就逆转成了他所提出的逆向思维，有着两方面的解题策略：倒着干与特殊化。那这里的倒着干也就是我们常用的“反证法”和“举反例”；特殊化就是将特殊化为一般，复杂变为简单，那么这时候的构造法和逆向思维的结合就是逆向构造法。简单来说所谓的逆向构造法就是按照逆向思维方式向原有数学形式的对立方向去探索，通过构造（即不管是形式上、关系上、结

9、构上或是程度上）对立的数学模型来解决数学问题。其实质就是间接的构造出一个数学模型来解决数学问题，例如用反证法、逆运算、分析法、否命题法、结论带入法等等的逆向思维方式来构造函数、方程、几何图形或是问题情景。2.4逆向构造法的特点首先逆向构造法具有广泛普遍性的特点，表现在逆向思维与构造法的结合方法多种多样，并且在数学中应用的范围非常的广泛，例如在几何类、概率类、代数类、问题情景类等等题目中都有逆向构造法的身影。其次逆向构造法具有新颖灵活性的特点：不同类型的题目，逆向构造法的选择也不同，怎样逆向构造，这与学生的数学基本功和解题经验都密切相关联。最后，逆向构造法具有直观可行性的特点，逆向构造法能直观的

10、判定某种数学对象的存在，步骤直观而且在有限的步骤里能具体的找到它。2.5逆向构造法的作用在证明一些定理或存在性命题时往往需要构造辅助函数，构造函数的方法有很多种，学生虽然明白，但自己动手构造出相对应的函数还是比较困难的，很难找到规律和要领。但是逆向构造法它是一种简单、适用、便于掌握的方法，它对有关存在性命题的证明可以作思维定势来处理，有套路可循。逆向构造法对学生在解决数学试题有非常好的帮助，能够很好的培养与提高学生的创新思维能力。逆向构造法还有助于将复杂问题简单化，有利于加强学生数学基础知识和基本技能的灵活运用，加强对这些知识的理解、对这些技能的熟悉，若能在多方面加以结合运用，可以提高学生分析

11、问题和解决问题的能力。因此，教师如果能在平常教学或是解题中，多启发学生从多角度、多维度、多渠道进行广泛的联想，就会得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，运用逆向构造法解题能培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力。若能多加以训练，在数学竞赛中也能灵活简便的运用。3 运用逆向构造法论证的若干实例3.1逆向构造法在代数类的解题应用逆向构造法在代数类的应用范围可谓是非常的广泛，例如在反证法中构造辅助元素来证明是真的或构造反例来证明是假的，从而揭示矛盾；又或者是构造一个函数模型间接的解答问题。例1 求证是无理数。分析：例1主要是运用了反证法构造出一个矛盾数列来揭示矛盾，从而证明这个命

12、题是真命题，在解题过程中并没有直接硬证明出是无理数，而是通过反证这一方法，恰恰反证正是逆向思维中的一种具体体现，并且构造出了一个矛盾的数列来说明假设是错误的。综上，本题运用了逆向思维的反证法间接的构造了一个数列模型来解答问题，所以这道题目是逆向构造法在代数类的解题应用，逆向构造法在这类题目中使用概率是非常高的，例如证明无理数的无理指数幂是无理数是否正确？这类题目在证明的时候运用逆向构造法是非常快速简便的就能得证。证明：设为有理数，那么就存在两个互质的正整数、,使得会等于，并且会在1到2的范围内，从而我们就会得到,通过上述等式同时平方，会得到，由等比的性质我们可以得到：，那这时候我们可以令,很明

13、显0，0，并且,都为整数，所以我们通过等式（1）可以得到：，那么同理，我们就可以构造无穷多个正整数，满足，并且，但是又有小于或者的正整数只有有限个，所以矛盾，即假设不成立，也就是为无理数。同样的，我们也可以用另外一种更加简便的逆向构造法，我们都知道有理数可以转化为分数的形式，同样我们先假设是有理数，那么就可以写成(p,q互素），两边同时平方，就可以得到，转换形式变为,为偶数，那么也为偶数。所以存在一个自然数，使得，用替换，那么就有，进一步得到，化简得到，意味着也是偶数，那么与就不互素了，这时我们就得到了矛盾，所以我们假设的命题是错误的，那么就证明了是无理数。例2 设a,b,c都是实数，k为正常

14、数，且，试求的最小值。分析：在这道题中如果学生的数学基本功扎实的话，我们就能发现它的形式与一元二次方程的韦达定理的形式是一致的，那么这时候我们就可以构造出一个关于的一元二次方程出来，也就是题目中的 。例2这道题因为它构造了一个函数模型出来，并且没有直接求当中最大的那个数中的最小值，而是间接的先假设了最大的那个数，然后通过构造的那个函数模型的判别式和根的分布来确定最小值，所以它也是一道典型的运用逆向构造法解题的题目。解：因为要求的最小值，所以我们应该先确立中哪个数最大，根据联立的式子来看，我们可以确定为两个负数，一个正数，不妨设a0，b0，c0，那么这时候我们的条件就可以化成 ，就有 ,那么就是

15、这个方程的两个实根，那我们再利用方程的判别式和根的分布就可以得到a的取值范围。对于常见的数列和型恒等式或者是数列积型不等式，如果善于利用逆向构造法，间接由构造出，再用恒等式 或者是 ，就可以新颖独特、简洁巧妙的获得答案，以下特地选用了数列和型等式和数列积型不等式加以说明。例3 求证= 。分析：对于这道题目的解答，常规方法是用数学归纳法。而本文采用逆向构造法，运用逆向思维从等式的右边入手间接地由右式的目标式逆向构造出左式各项，用恒等式立即获得解决。也就是不按顺向思维从左到右证明而是从右边入手构造一个数列间接的使问题获得了解决。证明：记则有。=.根据恒等式有：=例4 求证。分析：例4与例3一样，都

16、是从右边的目标式Sn或Tn入手，由目标式构造求得 或 ，并非直接的顺向求解，然后通过适当的放缩，间接得到左式的通项an,再利用恒等式或获得证明。在这道例题中，同样有通过间接的求解、构造出一个数学模型也就是这里的数列模型，所以它也是运用了逆向构造法的一道数列题目。证明：记Tn=，则T1=1+1，即1+1T1.当n2时 例5 求和.分析：这道题当中我们构造出一个比数列更高阶并且结构相似的数列，这是一种与我们平常由繁到简的习惯方向完全相反的思考路径，通过与“简单化”完全相反的思路构造出比问题中数列更为复杂的数列，这不正恰恰体现了从逆向的角度间接的构造了数列模型来解决问题吗？这不正是逆向构造法的典型例

17、子吗？解：令，k=1,2,3,，n.有对上式代入k=1，2，n-1，得将以上等式累加就可以得到将代入上式，解出 例6 求（1987年全国高考题）分析：由于我们不知道sin10、sin50、sin70的值，所以直接求解肯定是不行的，那么间接的求如何求解呢？就得用到我们的逆向构造法了。构造出一个与sin有关的且结构相似的三角函数也就是cos，还得再间接的继续求三角函数值，通过二倍角公式以及两角和差公式想到，进而求出了A的值。有间接有构造，这又是一道典型的运用逆向构造法间接求解的题目。解：设A=，B=则有 = = 又因为B0，所以A= 。例7 罗尔定理证明拉格朗日定理分析：上文中有提到用逆向构造法证

18、明有关存在性命题可以当作是思维定势，通常需要构造出一个辅助函数。步骤就是先将待证的等式移项，转换成左边是函数右边是零的形式，也就是，然后将用x代替得到，接着凑微分求得使得，或者是用不定积分直接求出 （由于只需要一个辅助函数，所以不定积分后的任意常数C取0），这样得到的原函数F(x)就是我们要构造的辅助函数，最后利用中值定理给出证明即可。在这道题中罗尔定理证明拉格朗日定理也是通过构造了这样的一个辅助函数，间接的证明出了拉格朗日定理，并不是靠罗尔定理硬变形来证明的。运用逆向构造法在构造辅助函数的时候是按照简单固定的程序分析推理或者是求出符合的辅助函数，与其他方法对比起来，最大的优点便是不用记忆，构

19、造程序法容易转化成学生的程序性知识，方法不易忘记容易掌握。证明：我们由待证的等式，通过变形就有 由,凑微分得 自然就得到了辅助函数 ,函数F（x)在a,b上连续，在（a,b)内可导，且 故在(a,b)上至少存在一点使得，即。从而就可以证明拉格朗日定理了。3.2逆向构造法在几何类的解题应用对于一些立体几何的题目，如果直接根据原图形来解答可能会十分的困难甚至是无从下手，有的还需要自己来构造出图形，那么这时候的图形构造出来了也不一定就能解答得了，那么逆向构造法就派上用场了。我们可以根据题目运用逆向思维自己建构一定的图形，或在原有的图形上添加适当的辅助线，间接使之成为我们所熟悉的或者是特殊的图形来解答

20、。那么运用逆向构造法来解答几何类的题目，可以大大降低几何问题的抽象性，提高了解题的效率。这不正是体现出了逆向构造法的直观可行性的特点吗。例8 有a,b,cR，证明：分析：如果直接正面证明这个不等式的话，学生可能会毫无头绪，并且这个工程量是非常巨大的，这时解答过程运用了逆向构造法，不直接证明而是间接的从反面构造出一个正方形，从联想到直角三角形的勾股定理，通过构造出这么一个图形快速简单、直接明了的解决了这类的几何题目，这也是逆向构造法在几何类题目中的典型应用。证明：把看成是直角三角形的斜边，并且构造出一个正方形，边长为a+b+c，画图，将不等式的左边的三个根号分别对应到图形中，转化成三条斜边长，这

21、时，不等式的右边就是大正方形的对角线，那么根据三角形两边之和大于第三边，就能证明出了。例9 已知正四面体的棱长为，求其四个顶点所在球面的表面积。分析：实际上，正四面体是一种具有许多优秀性质的图形。尽管高中生已经对正四面体有了基础的认识，但当遇到这种类型的几何题时，往往会有点束手无策的感觉，通常我们可以将它补成所熟悉的立体图形。那么这道题同样也是一道运用了逆向构造法的典型例题，首先没有直接求正四面体的表面积，而是通过逆向思维间接的反向的将正四面体补全了补成了一个正方体，那么题目求所在球的表面积就转换成了求正方体外接球的表面积，这时就有公式可套了。既有间接思维又有构造方法，这不就是逆向构造法吗？解

22、：不妨将正四面体看成是正方体切割而得的，那这时候我们就可以将正四面体反过来补成一个正方体。 （图1）那么如图1设正四面体为ABCD，那么这时就转化成了求正方体的外接球的表面积，根据棱长为，就可以求得外接球的半径=，运用公式就能得到球的表面积.除了正四面体这种棱长相等的我们可以补为正方体，其他的相对两两棱长相等的四面体可以补成长方体，棱台可以补为棱锥，而圆台就可以补成圆锥来求解，而其他的不规则的则可以补成规则图形来运用公式求解。3.3逆向构造法在概率类问题解决中的应用我们都知道求概率类问题例如求某个事件发生的概率或者是计数问题时，如果所求的事件也就是正面难以直接解决的时候，我们往往先从它的反面入

23、手，也就是我们所说的对立事件正难则反法，也就是补集法。例10 一个通讯小组有两套通讯设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯。每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作。如果在某段时间内每个部件不出故障的概率都是P，计算在这段时间内能进行通讯的概率。分析：这个问题的解答过程中从反面出发，站在问题的对立面间接的构造出一个题目对立的概率模型出来，即两套设备都不能正常工作的概率，运用补集法间接的求出了能进行通讯的概率，所以这个问题的解答过程是运用了逆向构造法的。因为问题所求的在这段时间内能进行通讯的情况有许多种，如果直接正面计算的话，那计算的过程就会很复杂。这时候我们运用逆向构造法，从反面的角度构造出一个题目所要求的对立例子出来，那这时候问题就变得简单明了了。解：因为在这段时间内每个部件不出故障的概率都是，并且每个设备有三个部件，所以这套设备能正常工作的概率是，假设至少有一个部件出故障那么这套设备就不能正常工作的概率是 ，因此两套设备不能正常工作的概率是 ，又因为两套设备中只要有一套能正常工作就能进行通讯，从而能进行通讯的概率就为 。 4 总结逆向构造法除了在