高中数学变量之间的相互关系课件新人教A版必修

1、2.3.1变量之间的相关关系.问题提出问题提出1.1.函数是研究两个变量之间的依存关系函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式的一种数量形式. .对于两个变量，如果对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系的关系就是一个函数关系. .2.2.在中学校园里，有这样一种说法在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题学习就不会有什么大问题.”.”按照这种说按照这种说法，似乎学生的物理成绩

2、与数学成绩之法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？变量之间的关系是函数关系吗？3.3.我们不能通过一个人的数学成绩是我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少就准确地断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、学习时间、教学水多少，学习兴趣、学习时间、教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素，平等，也是影响物理成绩的一些因素，但这两个变量是有一定关系的，它们但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系之间是一种

3、不确定性的关系. .类似于类似于这样的两个变量之间的关系，有必要这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义着非常重要的现实意义. .知识探究（一）：知识探究（一）：变量之间的相关关系变量之间的相关关系思考思考1 1：考察下列问题中两个变量之间的：考察下列问题中两个变量之间的关系：关系：（1 1）商品销售收入与广告支出经费；）商品销售收入与广告支出经费；（2 2）粮食产量与施肥量；）粮食产量与施肥量；（3 3）人体内的脂肪含量与年龄）人体内的脂肪含量与年龄.

4、. 这些问题中两个变量之间的关系是函这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？数关系吗？ 思考思考2 2：“名师出高徒名师出高徒”可以解释为教师可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？成语吗？思考思考3 3：上述两个变量之间的关系是一种：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含

5、义如何？相关关系的含义如何？ 相关关系的概念相关关系的概念 两个变量之间的关系可能是确定的关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。关关系。相关关系是一种非确定性关系。 （分析：两个变量（分析：两个变量自变量取值一定自变量取值一定因因变量带有随机性变量带有随机性相关关系）相关关系

6、）巩固练习巩固练习 P85 1，2题。题。2.3.2两变量的线性相关知识探究（二）：散点图知识探究（二）：散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：本数据： 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数人群脂肪含量的样本平均数. .思考思考1 1：对某一个人来说，他的体内脂：对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能但是如果把很多个体放在一起，就可能

7、表现出一定的规律性表现出一定的规律性. .观察上表中的数观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？脂肪含量怎样变化？思考思考2 2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象直观的印象. .以以x x轴表示年龄，轴表示年龄，y y轴表示脂肪含轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？的图形吗？ 思考

8、思考3 3：上图叫做散点图，你能描述一：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？下散点图的含义吗？ 在平面直角坐标系中，表示具有相关关系在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图的两个变量的一组数据图形，称为散点图. . 思考思考4 4：观察散点图的大致趋势，人的：观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？系？ 思考思考5 5：在上面的散点图中，这些点散布在：在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为这种相关关系，我

9、们将它称为正相关正相关. .一般一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？量的变化趋势如何？ 思考思考6 6：如果两个变量成负相关，从整：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？散点图有什么特点？ 一个变量随另一个变量的变大而变小，一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域的区域. .思考思考7 7：你能列举一些生活中的变量：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗成正相关或负相关的实例吗? ?

10、 从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：但有的两个变量的相关，如下图所示：如高原含氧量与海拔高度如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越少。少。 作出散点图发现，它们散作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角的区域内。又如汽车的载重和汽域内。又如汽车的载重和汽车每消耗车每消耗1升汽油所行使的升汽油所行

11、使的平均路程，称它们成平均路程，称它们成负相关负相关.O我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系关关系,这条直线叫做回归直线，该方程叫这条直线叫做回归直线，该方程叫回归方程回归方程。那么，我们该那么，我们该怎样来求出怎样来求出这个回归方这个回归方程？程？请同学们展开请同学们展开讨论，能得讨论，能得出哪些具体出哪些具体的方案？的方案？202530

12、35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540.方案方案1、先画出一条直线，测量出各点与它、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的的距离，再移动直线，到达一个使距离的 和最小时，测出它的斜率和截距，得回归和最小时，测出它的斜率和截距，得回归 方程。方程。202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540如图如图 ：. 方案方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧、在图中选两点作直线，使直线两侧 的点的个数基本相同。的点的个数基本相同。 202530 35 4045 50 55 60 65

13、年龄脂肪含量0510152025303540方案方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图如图 我们还可以找到我们还可以找到 更多的方法，但更多的方法，但 这些方法都可行这些方法都可行 吗吗?科学吗？科学吗？ 准确吗？怎样的准确吗？怎样的 方法是最好的？方法是最好的？202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540 实际上实际上,求回归直线的关键是求回归直线的关键

14、是如何用数学的方法来刻画如何用数学的方法来刻画“从整从整体体上看上看,各点到此直线的距离最小各点到此直线的距离最小”.1122211nni iiiiinniiiixxyyx yn x yb,xx xn xayb x () ()()即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最最小二乘法小二乘法。Q = (y1-bx1-a)2 + (y2-bx2-a)2 + (yn-bxn-a)2 问题归结为问题归结为:a,b取什么值时取什么值时Q最小最小,即总体偏差最小即总体偏差最小.经运算经运算a,b的值由下列公式给出：的值由下列公式给出：例例2：有一个同学家开了

15、一个小卖部，他为了研究气温对热：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：气温的对比表：摄氏温度摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图；画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一 般规律；般规律；(3)求回归方程；求回归方程；(4)如果某天的气温是如果某天的气温是 C,

16、预测这天卖出的热饮杯数。预测这天卖出的热饮杯数。解解: (1)散点图散点图(2)气温与热饮杯数成负相关气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，即气温越高， 卖出去的热饮杯数越少。卖出去的热饮杯数越少。温度温度热饮杯数热饮杯数(3)从散点图可以看出，这些点大致分布从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近。在一条直线附近。Y=-2.352x+147.767（4）当）当x=2时，时，y=143.063,因此，这天大因此，这天大约可以卖出约可以卖出143杯热饮。杯热饮。这是一种预测，不这是一种预测，不一定就卖出一定就卖出143杯杯。小结作业小结作业1.1.求样本数据的线性回归方程，可按求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：下列步骤进行：第一步，计算平均数第一步，计算平均数 , xy1niiix y21niix第二步，求和第二步，求和 , 1122211()(),()nniii iiinniiiixx yyxynx ybay bxxxxnx 第三步，计算第三步，计算 第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 abxy2.2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近大致分布在回归直线附近. .对同一个总体，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也