立体几何备考关键问题指导

1、福建省 2018 届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列十一不等式选讲福建省高三毕业班复习教学指导组，施晓剑执笔整理不等式选讲为高考选考内容之一。一道解答题，满分10 分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目，主要考查解绝对值不等式，根据给定条件求参数的取值范围，用基本不等式研究代数式的最值及不等式证明的比较法、综合法、分析法等，交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、 二次不等式、 基本不等式等.下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策。一、存在的问题及原因分析（一）绝对值不等式求解技能掌握不到位【例题1】 (2017高考全国 卷 23）已知函

2、数f( )x2ax4，g ( x)x（ ）当 a1时，求不等式f ( x) g( x) 的解集；【解析】（ ）当 a1 时， f (x)g ( x) 等价于2x4 x1 x 1x当 x1时， 等价于 x 23x4 0 ，此时不等式无解；当 1x 1时， 等价于 x2x20 ，从而1x1 ；当 x1 时， 等价于 x2x40，从而 1x117 .2所以 fxg x 解集 x1x1712.x1x1 .【评析】本题主要的易错点在于分类后的“”.“”整合其一是整合 错误，误以为得到解集为所分类各不等式解集的交集 .另一是没有进行 “整合 ”，认为解集为三种情况：当 x1时，原不等式的解集为x 1 x

3、4 ；当1 x 1时，原不等式的解集为x 1 x 2； 当 x1时，原不等式的解集为x117x117，错因在于与因参数对解集的影响而分类讨论的问题混淆，对解绝对值不等式22的基本原理认识不到位所致.（二）不能对条件进行正确的等价转化【例题2(2017高考全国卷23）已知函数 fxx2ax4 ， g x x1 x 1 】（ ）若不等式f ( x) g ( x) 的解集包含 1,1，求 a 的取值范围【解析】（ ）不等式f ( x)g (x) 的解集包含 1,1 等价于 f ( x)g( x) 在 1,1上恒成立，即x2ax42 在 1,1恒成立，即 x2ax2 0在 1,1 恒成立，所以12a

4、12 0，解得1 a 1 ，故 a 取值范围是 1,1 2a12 01【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、函数图像与性质等基础知识. 解答中的主要问题在于题意的理解与问题的等价转化. 不能将条件 “不等式 f (x)g ( x) 的解集包 含 1,1 ”等价转化为“不等式 f ( x)g (x) 在 1,1 上恒成立”“的问题来处理， 反映出学生对于解集的概念理解还不透彻，导致对 解集包含 1,1”的含义不理解 .1【例题 3】（ 2017 高考全国卷23）已知函数f ( x) x1 x 2 .（）若不等式f xx2xm 的解集非空，求m 的取值范围 .【解析】（ ）原式等价于

5、存在xR ，使 f ( x)x2x m 成立，即 f ( x) x2x max m设 g( x)f (x) x2xx2x3,x1由已知得g( x)x23x1 ,1x2x2x3,x 2当 x1时， g(x)x2x3( x1211g( 1)5 ，)42当 1 x2 时， g( x)x23x1(x3) 25 5 ，244当 x2 时， g (x)x2x 3( x1 )213g ( 2) 1，24综上述得 g ( x) max5，故 m 的取值范围为(,5 .44【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点

6、一，将 “不等式 fxx2 x m 的解集非空 ”等价转化为 f (x)maxx2xm解集非空，忽略了右边的代数式也是随着x 的变化而变化，左右两边的x 表示的f x是同一个数；错点二，将“不等式fxx2xm的解集非空 ”等价转化为 “m g( x) min ”，错在对 “解集非空 ”的理解上 . 所谓 “解集非空 ”即存在 x 使得不等式f xx2xm 成立，等价于存在x 使得不等式x 1 x 2x2xm 成立，等价于 ( x 1x 2x2x) maxm 即可 .（三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法.【例题 3】（ 2017 高考全国卷23）已知 a0, b0, a3b3

7、2 ，证明：（） (a b)( a5b5 )4 ；（） ab2【解析】（）( ab )( a5b 5 )a6ab5a 5b b6a3b3223b3aba4b4a4a b( a2b 2 ) 24（）因为 (ab)3a33a2 b3ab2b323a+abb3+23+3b2+a+2a b4a b438 ，因此 a+b 2.所以 a+b【评析】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路.2（四）知识掌握不到位，无法优选算法化简求解过程【例题 4】（ 2014 高考全国卷24）设函数 fx= x1x

8、a (a0)a（）证明： fx2；2x1axa,a11【解析】法一：因为a0 ，所以 f (x)aa,axa2x1x1a.aa当 xa 时， f ( x)2x1a 为增函数，所以f (x)f (a)12 ，aaa当1a 时，f ( x)1a2，xaa当 x1时， f ( x)2x1a 为减函数，所以f ( x)f (1 )1a2aaaa综上述得f ( x)2成立.法二：因为x1xax1a x1a ，又 a0aaa所以 f ( x)1a2 .a【评析】 法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解.二、解决问题的思考

9、与对策（一）强化绝对值不等式的求解训练高考全国卷从2007 年起，除了2014 年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握零点分段法解绝对值不等式的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注.【例题 5】（ 2007 年高考全国课标卷24）设函数 f ( x) 2x 1 x 4 （ I）解不等式 f ( x)2 ；x，x 1，52【解析】（），1，f ( x)3x3x42x，x 54当 x1 时，原不等式可化为x52 ，解得 x7 ，此时原不等式的解是x7 ；2当1x 4 时，原不等式可化为3x3 2

10、 ，解得 x5 ，此时原不等式的解是5x 4 ；233当 x4 时，原不等式可化为 x52，解得 x3 ，此时原不等式的解是 x4；3综上可知，原不等式的解集为(,7)U(5, )3（二）加强对不等式 “恒成立 ”、 “能成立 ”、 “恰成立 ”几种模型的识别及求解能力 .不等式 “恒成立 ”、 “能成立 ”、“恰成立 ”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.【例题6】 (2017高考全国 卷23）已知函数 fxx2ax4， gxx 1x

11、 1 （ II ）若不等式f xgx 的解集包含1,1，求 a 的取值范围【解析】（ II）不等式 fxgx 的解集包含1,1等价于 fxg x在1,1上恒成立，242在1，1恒成立即 x220在1 ，1恒成立即 x axax2a 12 011 a 1故 a 取值范围是1，1 则只须21，解得1a2 0【变式一】已知函数fxx2ax4 ， g xx1x1 若存在x 1,1 使得不等式f x g x 成立，求 a 的取值范围【 解 析 】 存 在 x1,1 使得不等式f xgx成 立 ， 等 价 于 存 在 x1,1使得不等式x2ax4 2成立，即存在 x1,1 使得 x2ax2 0，等价于 x

12、 1,1时 ( x2ax2)min0 .1aaa111所以2或2或28a 201 a2 01a204解得2a 2 或 a2 或 a2所以满足条件的a 的取值范围是R .【变式二】已知函数fxx2ax4 ， gxx 1 x 1是否存在实数a 的值，使得不等式 fxg x的解集为1,1，若存在，求a 的取值范围；若不存在说明理由【解析】由x2ax4 2的解集为1,1 ，即 x2ax 2 0 的解集为1,1，得 x2ax2=0 的两根为 -1,1，即1a20x g x 的解集为1,1 .1a2方程无解， 所以不存在实数 a 的值，使得不等式 f0（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用均值不等式

13、、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注.【例题 7】（ 2014 高考全国课标卷24)若 a0, b 0, 且 11abab（）求 a3b3 的最小值；（）是否存在a,b ,使得 2a3b6 ？并说明理由 .【解析】（）由1122 ,且当 a b2 时等号成立 ,abb,得 abaab4故 a3b32a3 b3,且当 ab2 时等号成立 , a3b3 的最小值为 42 .（）由62a3

14、b26ab3，又由 ( )知 ab2 ，二者矛盾，得 ab2所以不存在 a, b ,使得 2a3b6成立 .【例题8】已知函数fx2x 1 ， xR .（）解不等式fxx1；（）若对于x ， yR ，有 xy112 y11x1 .，求证： f36【解析】（）fxx1等价于 | 2x1|x1，即2x1 0或2x102x1x12 xx11求得 0 x2 ，故不等式f (x)x1的解集为 (0, 2)（） Q| x y1|1， | 2 y1| 1，36 f (x) | 2x1| 2( xy1)(2 y1) | | 2( xy1) | 2 y1|2 11136三、典型问题剖析（一）含绝对值不等式的求解

15、【例题9】【 2013 课标全国，文24】 已知函数 f ( x)| 2x1| 2 xa |, g( x)x3.（）当 a2 时，求不等式f ( x)g( x) 的解集；（）设 a1 ，且当 xa , 1时， f ( x)g (x) ，求 a 的取值范围22【解析】（ ）法一：当 a2 时， f (x) g( x) 等价于 | 2x1| 2 x2 |x 3 .当 x1 时，等价于 2x 12x2x3，从而0x1 ；22当 1x 1 时， 等价于2x12x2x3，从而1x1；22当 x1时， 等价于2x12x2x3，从而 1x2 ；综上述知，原不等式的解集为 x | 0x2.法二：当 a2时，不

16、等式f ( x)g( x) 化为 | 2x1| 2x2 |x30.设函数 y | 2x1| 2x2 |x 3 ，5x, x1 ,2则 yx2, 1x 1,23x6, x1.其图像如图所示从图像可知，当且仅当x (0, 2) 时， y 0 .5所以原不等式的解集是 x |0x2.（ ）当 xa , 1 时， f (x) 1 a .22不等式 f ( x)g( x) 化为 1ax 3 .所以 xa2 对 xa , 1都成立22aa2 ，即 a44故，从而 a 的取值范围是1,.233【评析】对于含绝对值的不等式的求解方法一般采用零点分段法，其解题步骤大致为：求零点；分区间、去绝对值号；分别解各区间

17、上所得不等式；取所得结果的并集. 注意在分段时不要遗漏区间的端点值也可以采用图像法，通过作出函数图像，利用数形结合的思想求解.【例题 10】 2016 课标 1 卷已知函数f (x)x12x3 .（）在右图中画出yf ( x) 的图像；（）求不等式f ( x)1 的解集 .yx4,x1,【解析】（） f (x) 3x2,13x,2x43x2.yf ( x) 的图像如图所示.（）由f (x) 的表达式及图像，当f (x)1 时，可得x=1 或 x=3 ；1O 1x当 f ( x)1 时，可得 x1 或 x5 ，故 f (x) 1的解集为x 1 x3； f (x)1的解集为x x1 或 x 533

18、所以 f ( x)1 的解集为x 1 x或x1 或x5.33【评析】本题的关键在于能准确作出函数的图像才能通过图像判断不等式的解集.（二）给定条件，求参数的取值范围【例题 11】 (2012 高考全国课标卷24)已知函数 f ( x)x ax2（）当 a3 时 ,求不等式 f ( x)3 的解集；（）若f ( x)x 4的解集包含1,2 ,求 a 的取值范围。【解析】（）当 a3时 , f ( x)3x3 x 23x2或2x3x33 x 2 x 3或x 3 x 2 33 x x 2 3x 1或 x4所以原不等式的解集为(,1 U 4,)（）原命题f (x)x4 在 1,2上恒成立6xa2x4x

19、 在 1,2 上恒成立，2xa2x 在 1,2 上恒成立3a0所以所求 a 的取值范围是 3,0【评析】本题解题的关键在于能将“f (x)x4 的解集包含 1,2 ”等价转换为 “f (x)x 4 在 1,2 上恒成立 ”的问题求解 . 关于不等式恒成立问题均可转化为函数最值问题来处理：若不等式f ( x) A 在区间D 上恒成立 ,等价于在区间D 上 f ( x) minA ；若不等式f (x)B 在区间 D 上恒成立 ,则等价于在区间D上， f (x) maxB .【例题12】已知函数fxxa .（）若不等式f x2 的解集为 0,4，求实数 a 的值 ；（）若在（）的条件下，x0R 使得

20、 fx0fx05m24m ，求实数 m 的取值范围 .【解析】（）| xa | 2,a2xa2,不等式 fx2 的解集为0,4，a20,a2 .a24（ ）由已知得f ( x)f (x5)| x2| x3| x2( x3) |5,x0R, f ( x0 )f ( x05)m24m ，即 f ( x0 )f (x05)m24m 成立， f ( x)f ( x5) minm24m ，即 5m24m ，解得 m5,或 m1,求实数 m 的取值范围是 (, 5)(1,).【评析】本题属于“能成立”问题，解题的关键还是转化： 将 “ x0R 使得 f x0fx05 m24m ”“2等价转化为f ( x5

21、) minm4m ”，最终转化为求函数最值问题. 关于 “能成立 ”问题有：不等 f ( x)式 fxA 在区间 D 上能成立，即存在xD ,使得 f xA，等价于在区间D 上 f ( x) maxA ； 不等式f ( x)B 在区间 D 上能成立，即存在xD ,使得 fxB ，等价于在区间D 上 f ( x)minB .【例题13】（ 2011 高考全国课标卷24）设函数 f (x)xa3x ，其中 a0 .（）当 a1 时，求不等式 f ( x)3x2的解集；（）若不等式f (x)0的解集为x | x1，求 a 的值 .【解析】（）当 a1时， fx3x2 可化为 x12由此可得 x3 或

22、 x1 ，故不等式fx3x2 的解集为x x3 或 x1 .（）由 fx0 得 xa 3x0 ，此不等式化为如下不等式组：xaxaxaxa或即a 或a .xa3x0ax3xx04x27由于 a0 ，所以不等式组的解集为x xaa，故 a 2.，由题设可得122【评析】本题属于 “恰成立 ”问题，对于 “恰成立 ”问题，解决此类问题只需按照正常解不等式进行，再根据集合相等的条件即可求解 .（三）不等式的证明【例题14】 (2017课标 II ，理 23)已知 a0, b0, a3b32 .求证：（） (ab)(a5b5 )4；（） ab2.【证明】（）a0, b0, a3b32,a b a5b5

23、a6ab5a5b b6a3b3233ab a4b42a b4aba2b224（）证法一：a0, b0, a3b32.23ab3a33a2b3ab2b323ab ab23 abab23 ab,44ab38，因此 ab2 .证法二：假设 ab2, 则 a 2b, a3(2b) 3, 所以 a3(2b)3812b6b2b3 ,所以 a3b3812b6b2 ，因为 b0, a3b32，所以 2812b6b2 ,6b2 12b60, 6(b1)20,这是不可能的 .故假设错误，原不等式正确.【评析】不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.如果已知条件与待证结论直接联系不明显， 可考虑用分

24、析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少 ”“至多 ”等方式给出的，则考虑用反证法.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法。四、过关练习1. 已知函数 fxx 1xax2 .（）当 a 1时，求不等式fx0的解集；（）设 a1 ，且存在 xa,1 ，使得fx0，求 a 的取值范围 .00【解析】（）当a 1时，不等式即 x1x1x20 ，等价于x 1或1x1或x11 x x 1 x 2 0x 1x 1 x 2 01 x x 1 x 2 0解得 x1 或1x0 或 x2即不等式f x0的解集为,02,.8（）当 xa,1时， fxax1，不等式f x0可化为 ax 1，若存在 x0a,1，使得 fx00 ，所以 a(x1)max ，所以 a2 ，故 a 的取值范围为1,2 .2. 已知函数 fxx1 .（）求不等式fx2x11的解集 M ；（）设 a, bM，证明：fabfafb【解析】（）（）当 x1 时，原不等式可化为x 12x2，解得 x1，此时原不等式的解是x1；（）当1x1x12x 2，解得 x1，时，