立体几何垂直证明题常见模型及方法

1、文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面） 是解题的常用方法之一。明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直 ；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（ 1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）1等腰（等边）三角形中的中线菱形（正方形）的对角线互相垂直勾股定理中

2、的三角形2341:1:2 的直角梯形中5利用相似或全等证明直角。例：在正方体ABCDA1B1C1D1 中， O 为底面 ABCD 的中心， E 为 CC1 ,求证： A1OOE（ 2 ） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）例 1 在正四面体 ABCD 中，求证 AC BD变式1如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD是矩形，已知AB3, AD2,PA2,PD22,PAB60 证明： ADPB ；变式 2如图，在边长为2 的正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 F 是BC 的中点，将 AED, DCF 分别沿 DE , DF 折起，使 A,C 两点重合于A.求证:

3、ADEF ；变式3 如图，在三棱锥PABC 中， PAB 是等边三角形，PAC= PBC=90 o证明： AB PC类型二：线面垂直证明1文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.方法 1 利用线面垂直的判断定理例 2：在正方体ABCDA1B1C1D1 中， O 为底面 ABCD 的中心， E 为 CC1 ,求证：A1O平面 BDE变式 1：在正方体ABCD A1B1C1D1中， ,求证： 1平面BDC1AC变式2：如图：直三棱柱ABC A1B1C1 中，AC=BC=AA1=2， ACB=90 .E 为 BB 1的

4、中点， D 点在 AB 上且 DE= 3 .求证： CD 平面 A1ABB 1；变式3：如图，在四面体ABCD 中， O、 E 分别是 BD 、BC 的中点， CA CBCDBD 2, ABAD2.A求证： AO平面 BCD ；变式 4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD 中，DAD BC，ABC 90， PA 平面 ABCD PA 3， ADO2 ，BCAB2 3，BC 6E1 求证： BD平面 PAC2 利用面面垂直的性质定理例 3：在三棱锥P-ABC 中，PA底面 ABC , 面 PAC面PBC ，求证： BC面PAC 。方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式 1, 在四棱锥

5、 P ABCD ，底面 ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且面 PAB底面 ABCD ,求证： BC面 PAB变式 2：类型 3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直 )例 1如图，已知 AB平面 ACD ， DE平面 ACD， ACD 为等边三角形，BEAD DE2AB， F 为 CD 的中点 .(1)求证： AF / 平面 BCE ；A(2)求证：平面 BCE 平面 CDE ；2文档来源为 :从网络收集整理 .word版本可编辑 .DCF文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.例 2如 图， 在四 棱锥 P ABCD中，PA底 面 ABCD，ABA

6、D，ACCD，ABC60， PA ABBC， E是 PC的中点（ 1）证明 CDAE ；（ 2）证明 PD 平面 ABE ；变式 1已知直四棱柱ABCD A B C D 的底面是菱形，ABC 60 ， E 、F 分别是棱CC与 BB 上的点，且EC=BC =2FB=2 （ 1）求证：平面AEF平面 AACC；举一反三1.设 M 表示平面， a、 b 表示直线，给出下列四个命题： a / bb M a Ma / b aMb Ma Mb Mab a / Mb M.a b其中正确的命题是()A. B.C.D.2.下列命题中正确的是()A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平

7、面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中， E、 F 分别是 AB、 BC 的中点 .现在沿 DE 、 DF 及 EF把 ADE 、 CDF 和 BEF 折起，使 A、 B、C 三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体 P DEF 中，必有()A. DP平面 PEFB.DM 平面 PEF第 3题图D. PF平面 DEFC.PM 平面 DEF4.设 a、 b 是异面直线，下列命题正确的是(

8、)A. 过不在 a、 b 上的一点 P 一定可以作一条直线和a、 b 都相交B.过不在 a、 b 上的一点 P 一定可以作一个平面和a、 b 都垂直C.过 a 一定可以作一个平面与b 垂直D.过 a 一定可以作一个平面与b 平行5.如果直线 l,m 与平面 , ,满足 :l= ,l ,m 和 m ,那么必有()A. 且 l mB. 且 mC.m且 l m D.且6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点， PC 垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到 AB的距离为()A.1B.2C. 25D. 35557.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l 有且仅有一

9、个平面与垂直；3文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.异面直线a、b 不垂直，那么过其中正确命题的个数为()a 的任一个平面与b 都不垂直A.0B.1C.2D.38.d 是异面直线a、 b 的公垂线，平面、满足a， b，则下面正确的结论是()A. 与必相交且交线B.与必相交且交线C.与必相交且交线m d 或 m 与 d 重合m d 但 m 与 d 不重合m 与 d 一定不平行D.与不一定相交9.设 l、 m 为直线，为平面，且l ，给出下列命题若 m，则m l；若 m l，则 m；若m，则 m l；若 ml，则m，其

10、中真命题 的序号是()A. B.C.D. 10.已知直线l平面，直线m平面，给出下列四个命题：若，则 l m；若，则 l m；若 l m，则；若 l m，则 .其中正确的命题是()A. 与B.与C.与D. 与二、思维激活11.如图所示， ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面的同侧，它们在内的射影分别为A， B， C，如果 A B C是正三角形，且AA 3cm， BB5cm， CC 4cm，则 A B C的面积是.第12题图第 11题图1111第13题图时 ,12.如图所示 ,在直四棱柱A B C D ABCD 中 ,当底面四边形 ABCD 满足条件有 A1CB1D 1(注 :填上

11、你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形 )13.如图所示，在三棱锥 VABC 中，当三条侧棱 VA、VB、VC 之间满足条件时，有 VC AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示 ,三棱锥 V-ABC 中 ,AH侧面 VBC,且 H 是 VBC 的垂心， BE 是 VC 边上的高 .(1)求证 :VC AB;第 14题图(2)若二面角 E AB C 的大小为 30 ,求 VC 与平面 ABC 所成角的大小 .15.如图所示， PA矩形 ABCD 所在平面， M、N 分别是 AB、 PC 的中点 .(1)求证： MN 平面 PAD .(2)求证： MN CD

12、 .第15题图(3)若 PDA 45，求证： MN 平面 PCD.16.如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BAD 60， AB 4， AD 2，侧棱PB15 ，PD3.(1)求证：(2)若 PDBD 平面 PAD .与底面 ABCD 成60的角，试求二面角P BC A 的大小.第16题图4文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1 中，ACB =90 ,BAC=30 ,BC=1，AA1=6 ，M 是 CC1的中点，求证：AB1 A1M18.如图所

13、示，正方体 ABCD AB C D的棱长为上一点，且 D NNB 1 2， MC 与 BD 交于 P.(1)求证： NP平面 ABCD .(2)求平面 PNC 与平面 CC D D 所成的角 .(3)求点 C 到平面 D MB 的距离 .第 4 课线面垂直习题解答a，M 是 AD 的中点， N 是 BD 第 18题图1.A两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行 .2.C由线面垂直的性质定理可知 .3.A折后 DP PE,DP PF， PE PF.4.D过 a 上任一点作直线 b b,则 a， b确定的平面与直线b 平行 .5.A依题意 ,m且 m ,则必有

14、 ,又因为 l=则有 l ,而 m则 l m,故选 A.6.D过 P作 PDAB于 D，连 CD，则 CDAB，AB=AC 2BC 25 ，ACBC2CD，AB5PD= PC2CD 24351.557.D由定理及性质知三个命题均正确.8.A显然与不平行.9.D垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直 .10.B， l ， l m11.3 cm2设正三角AB C的边长为a.2 AC2=a2 +1,BC 2=a2+1,AB =a2+4，又 AC2 +BC 2=AB2， a2=2SAB C=3 a 23 cm24212.在直四棱柱 A1 B1C1D 1 ABCD

15、 中当底面四边形ABCD 满足条件 AC BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等 )时 ,有 A1C B1D1(注 :填上你认为正确的一种条件即可 ,不必考虑所有可能的情形 ).点评：本题为探索性题目， 由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13. VC VA， VC AB. 由 VCVA， VC AB 知 VC平面 VAB.14.(1) 证明 : H 为 VBC 的垂心 ,5文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持. VC BE

16、,又 AH 平面 VBC , BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影 ,ABVC .(2) 解 :由 (1) 知 VC AB,VC BE, VC平面 ABE,在平面 ABE 上 ,作 ED AB,又 ABVC , AB面 DEC . AB CD , EDC 为二面角 EAB C 的平面角， EDC=30 ,AB 平面 VCD , VC 在底面 ABC 上的射影为 CD . VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角 ,又 VC AB,VC BE, VC面 ABE ,VC DE, CED=90 ,故 ECD=60 , VC 与面 ABC 所成角为 60.15.证明： (1) 如图所示，取PD

17、 的中点 E，连结 AE， EN，则有 EN CD AB AM， EN 1 CD 1 AB AM ，故 AMNE 为平行四边形 .22 MN AE. AE 平面 PAD ， MN 平面 PAD ， MN 平面 PAD.第 15 题图解(2) PA平面 ABCD ， PA AB.又 AD AB， AB平面 PAD. AB AE，即 AB MN .又 CD AB， MN CD .(3) PA平面 ABCD ， PAAD .又 PDA 45， E 为 PD 的中点 . AE PD，即 MN PD.又 MN CD ， MN 平面 PCD .16.如图 (1)证：由已知AB 4，AD， BAD 60，故

18、 BD2 AD2+AB 2-2AD ABcos60 4+16-2 2 4 1 12.2第 16 题图解又 AB2 AD 2+BD 2， ABD 是直角三角形，ADB 90，即 AD BD .在 PDB 中， PD 3 ，PB15 ，BD12 ， PB2 PD 2+BD2，故得 PD BD .又 PD AD D， BD 平面 PAD .(2) 由 BD 平面 PAD， BD平面 ABCD .平面 PAD平面 ABCD .作 PE AD 于 E，又 PE 平面 PAD， PE平面 ABCD ， PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角 . PDE 60， PEPD sin60333.22作 E

19、F BC 于 F，连 PF，则 PF BF， PFE 是二面角 P BC A 的平面角 .又 EF BD 12 ，在 RtPEF 中，6文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .AB1 A1M.文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.PE332tanPFE 2 3.EF4故二面角 P BC A 的大小为 arctan3.417.连结 AC1，AC3CC1.MC 12C1 A162 Rt ACC1Rt MC 1A1， AC1C= MA1C1， A1MC1+ AC1C= A1MC1+MA 1C1=90 . A1M AC1,又 ABC-A1B1C1 为直三棱柱

20、， CC1 B1C1，又 B1C1 A1C1， B1C1平面 AC1M.由三垂线定理知点评： 要证 AB1 A 1M ，因 B1C1 平面 AC1 ，由三垂线定理可转化成证AC1 A1M ，而 AC1 A1M 一定会成立18.(1) 证明：在正方形ABCD 中， MPD CPB，且 MD 1 BC，2 DP PB MD BC 1 2.又已知 DN NB 1 2，由平行截割定理的逆定理得NPDD ，又 DD 平面ABCD ， NP平面 ABCD .(2) NPDD CC， NP、 CC在同一平面内，CC为平面NPC 与平面 CC D D 所成二面角的棱.又由 CC平面ABCD ，得 CC CD，

21、 CC CM ， MCD 为该二面角的平面角.在 Rt MCD 中可知 MCD arctan 1 ，即为所求二面角的大小.2(3) 由已知棱长为a 可得，等腰 MBC 面积1a 2，等腰 MBD 面积 S26 2，设所Sa24求距离为 h，即为三棱锥C DMB 的高 .三棱锥 D BCM 体积为 1 S DD1 S h ，1323S1 a6 ha.S23空间中的计算基础技能篇7文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.类型一：点到面的距离方法 1：直接法 把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算例 1：在正四

22、面体 ABCD 中，边长为 a，求点 A 到面 BCD 的距离。变式 1 在正四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 V 到底面 ABCD 的距离。变式 2 在正四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 A 到底面 VCD 的距离。方法 2：等体积法求距离 - 在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的。例 2 已知在三棱锥 V ABC 中， VA,VB,VC 两两垂直， VA=VB=3 ，VC=4，求点 V 到面 ABC 的距离。变式 1：如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC1F

23、所截而得到的，其中 AB4, BC2,CC13, BE1（ 1）求 BF 的长；（ 2）求点 C 到平面 AEC1F 的距离变式 2如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是四边长为1 的菱形， ABC,4OA面 ABCD , OA2 ,求点 B 到平面 OCD 的距离O变式 3 在正四面体 ABCD 中，边长为 a，求它的内切求的半径。类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点）例 3 如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是四边长为1 的菱形，ADABC, OA面 ABCD , OA2,M 为 OC 的中点，求 AM 和4BC点A到直线OC 的距离举一反三O1正三棱锥

24、P-ABC高为 2，侧棱与底面所成角为 45 ，则点 A 到侧面PBC的距离是A4 5B 6 5C6D46A2如图，已知正三棱柱ABCA1 B1C1 的底面边长为 1，高为8，D一质点自 A 点C出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为 BA 10B20C30D40二、填空题：3太阳光照射高为3m的竹竿时，它在水平地面上的射影8文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .VS ABC.文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.为 1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子的长度 AB等于 33 cm, 则该球的体积为_4若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为_三、解答题：2