(数学含答案)河北省张家口市邢台市衡水市2021届高三上学期摸底联考(新高考)数学试题

1、2021届新高三摸底联考数学试卷（新高考）第I卷一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合A = 0,1,2,3, 3 = +=J2-X卜则406=（）.A. 3B. 2,3c. 0,1D. 0,1,2）2 .命题“Vxe（O,y）, /+221”的否定是（）.A. Rr0 g（0,+go） , x： + 2 1C. Vxg（O,-kx） , x2 + 2 1D. x2 + 2v cb B. abc C. bac D. cba5 .已知向量？，满足M+H = |?一2，且|训=2网，则加与的夹角的余弦值为（）.eA （cosx-x2）6 .函数的大致图象

2、为（）.ev +17 .我国古代著作庄子天下篇引用过一句话：“一尺之梃，口取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为明,数列%2020的前项和为S”，则使得不等式S” 成立的正整数的最小值为（）.”“2021A. 9B. 10C. 11D. 128 .已知斜率存在的直线/交椭圆C：5十? = 1于A，B两点,点尸是弦A5的中点，点M（l,0）,且而（筱祝5） = 0, MP = 1,则直线MP的斜率为（）.A. 2B. 42C. D. i 34二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知双曲线E：工上

3、=1 （m0）的一条渐近线方程为x + 3y = 0,则下列说法正确的是（）.m 44A. E的焦点在x轴上B. m = 9C. E的实轴长为6D. E的离心率为一310. 2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G手机的实际销量，如下表所示：月份2020年2月2020年3月2020年4月2020年5月2020年6月月份编号X12345销量y/部37104a196216若y与x线性相关，且求得线性回归方程为y = 45x+5,则下列说法正确的是（）A. a-147B. y与x正相关C. y与x的相关系数为负数D. 8月份该手

4、机商城的5G手机销量约为36.5万部2 111.已知a0, b0,且一+ = 1,则（ ） a bA. blB. abS a b 212.己知函数/（x） = cos（2x + ；）与g（x） = sin（2x+）（一兀vOl = l- （00B-）,这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以 （2 8）102解答.己知A5C的内角A, B,。的对边分别为，b, c,若a + c = 7, A6C的面积为4, ,求 s in B 及 b .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18 .记S,为等差数列凡的前项和，S8-S3 = 90, a2 = 6.（1）求数列4的通项公

5、式及S“；（2）记数列的前项和为7；,若二，求的值. S3319 .如图，在多面体ABC。石尸中，四边形A5CD为直角梯形，AD/BC, ABAD,四边形49七尸为正方形，平面石厂JL平面A8CD. BC = 3AB = 3AD, M为线段5。的中点.BJ（1）求证：6OJ_平面AFM；（2）求平面AFN与平面4CE所成的锐二面角的余弦值.20 .在平面直角坐标系xQy中，已知尸（2,0）, M（2,3）,动点P满足，丽标卜仔耳.（1）求动点尸的轨迹C的方程;（2）过点0（1,0）作直线A6交C于A, 6两点，若AFD的面积是6尸。的面积的2倍，求悭回.21 . 2020年初，新型冠状病毒肺炎

6、爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高 度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度.某市2020年初新增加了甲、 乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了 100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数 分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）0.0300.0250.0200.0150.0100.005 10 20 30 40 50质量指标值质量指标值0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)频数201

7、0301525(1)规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好.已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中2位数为26,乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5,分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标 3值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情 况写出两条统计结论；(2)甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(,b9,其中近似为样本平均数7,并 己求得b = 11.95.该厂决定将消毒液分为A, B，。级三个等级，其中质量指标值Z不高于2.6的为C级， 高于38.45的为A级，其余为5级，请利用该正态分布模型解决下列问题：(

8、i )甲厂近期生产了 10万瓶消毒液，试估计其中6级消毒液的总瓶数；(ii)已知每瓶消毒液的等级与出厂价X (单位：元/瓶)的关系如下表所示：等级ABC出厂价X302516假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去.若每瓶消毒液的成本为20元，工 厂的总投资为4千万元(含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内)，问：甲厂能否在半年之内收回投资？ 试说明理由.附：若 Z N.,吟，则 P(bZ+b) = 0.6827，2bZK+2b) = 0.9545 ，P(3b Z +3b) = 0.9973.22.已知函数 f(x) = xsinx+cosx-1, g(x) = x2 -

9、f (x).(1)求/(x)在区间(0,2兀)上的极值点；(2)证明：g(x)恰有3个零点.2021届新高三摸底联考数学参考答案及评分细则一、单项选择题1. D 【解析】V 5 = x x o), x； + 2% vl.故选A.3. D【解析】z = m= = 2 + i, .z = 2-i,它在复平面内对应的点(2,1)位于第四象限.故选D.14. B 【解析】V a = 2 2 = 1 , b = log3 2 0, c = log2 0.1 bc.故选B.5. B 【解析】V m+n = m-2n,nr + n2 + 2m- n = nr + 4n2 -4/w- ?, A m n = n

10、2.212一1设向量用与的夹角为e，则cose=* = 2=上.故选b.m n 2n4ev(cosx-jf2) er (cosx-x2)6. C【解析】因为t) = 一=L =i = /(x),所以为偶函数，排除D：e r + 1er +1因为/(0)= !.所以排除B：因为2)=e(c：s2 4) = 4 co;2 ,2e +1e2+4-e-4 cos 25而0vrr2048 202111023 2020而10 -一迹记西0,可知双曲线E的焦点一定在X轴上，故A正确；根据题意得2 =二=！，所以帆二 36,故B错误； a y/m 3双曲线E的实轴长为2而=12,故C错误；双曲线E的离心率e

11、= =三=典，故D正确. a3故选AD.10. AB【解析】由表中数据，计算得x=：x（l + 2 + 3 + 4+5）= 3,所以 = 45x3+5 = 140,于是得37 + 104+a + 196 + 216 = 140x5,解得。= 147,故 A 正确；由回归方程中的x的系数为正可知，y与x正相关，且其相关系数0,故B正确，C错误；8月份时，x = 7, y = 32 （万部），故D错误.故选AB.11. ACD【解析】二1 7=: 0 ,故A正确：卜7 = 12,；ab之8 ,故B错a b ba b Nab误;/ A（湾）-2十旨土+寸湾）弓故c正确:(24 4b aa + 2/?

12、= + (a + 2b) = 4+ ya b)a b之4 + 2悟=8,故D正确.故选ACD.12. ABC 【解析】由题得，g(x) = cos(-2x+：) = cos(2x-：) = sin 2x-： + 1) = sin 2x+；：*6 = 一,故A正确： 4，直线x = 2是函数g（x）的图象的一条对称轴，故B正确;8当女二0时,715兀x 故g（x）在（I号）上单调递减，故c正确:/(x) = cos 兀 2x + 4.(兀C 兀1=sin + 2x+ 124)= ss2x +电I 8 J而 g(x) = sin2= sm2fx+.ZEI 8 4由2也 + 42工+乙2E+(keZ

13、),得E + Nx,线段50的中点，所以6O_LA.又AMCIA尸=4，所以BO_L平面AFM.（2）由（1）知A尸_L平面A5CD,所以AF_L45, AFLAD,又A5_LA）,所以A6, AD, A尸两两垂直.分别以A6, AD, 4尸为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标 系A-孙z （如图）.设AB=1,则 4(0,0,0), 5(1,0,0), C(l,3,0),。(0,1,0)，石(0,1,1)，所以5。= (一1,1,0), AE = (0,1,1), AC = (l,3,0),设平面 ACE的一个法向量为 = (x,y,z)，,fAC n = 0, f y + z = 0

14、, A，/、则，即4令y = l,则x = -3, z = -l，则 =(一3,1,1).AEn = Q, x+3y = 0,由(D知，应 =(一1,1,0)为平面4/770的一个法向量.设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为6,I 、 BD - n(3)x(1) +1x1 + (l)x 025/22则cos0 = costBD-n)= / _ v /=BD J(_3 + f+(l)y(l)2+f+ 0?11所以平面AE0与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为2叵.1120 .解：(1)设尸(x,y),则A/P = a+2,y-3), O尸=(2,0), PF =(2-x,-y).由;。尸 M

15、P 二尸尸，得 x+2 = J(2 xJ + y2 .化简得 y2=8x, 即动点P的轨迹C的方程为y2 = 8x.(2)设4(石，乂)，5(毛，为)，由题意知5乙力=；/0弘，SBFD=FD y2,因为So = 2S班力，所以%= 2%，易知凡为0, x = my +1,乂 + % = 8/w ,了%=-8,由解得工=；，所以48 = ,1 +团2。一y2 =yjl + m224m = J1 +2 x6 =21 .解：(1)甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为Ait. =5x0.1+15x0.2+25x0.3 + 35x0.25 + 45x0.15 = 26.5.设乙厂生产的消毒液的质量

16、指标值的中位数为，2则 0.2 + 0.1 + ( - 20)x 0.03 = 0.5,解得 =26 .统计结论：(答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分)两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当; 由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生 产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定.两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒 液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好.两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25.2两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为26.3甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大 的较多.(2) ( i ) P(2.6 Z 38.45)= P(/-2tZ /7+ t)=P(/-2cr Z / + 2t) + P(/-ct Z 0时，g(x)的零点个数即可.当x00 时g(x)=(l-2cosx).11 x-xcosx = x22令g，(x) = 0,即cosx= + 2尿或x=吧+ 2E (AeN).xw喏J时