抛物线法课件

1、抛物线法 复习：复习： 3. 3. 解非线性方程的解非线性方程的思想方法思想方法、迭代公式迭代公式： 2.2. 二分法二分法解解非线性方程的非线性方程的条件条件、思想方法思想方法、执行次数、执行次数k：称称若若, 1 , 0,lim*)(*)( kXXXXkkk(1)(1)线性的线性的, ,若若收收敛敛于于 0kkX(2)(2)超线性的超线性的, ,若若;0lim*)(*)1( XXXXkkk);1 , 0(lim*)(*)1( CXXXXkkk. 1, 0lim*)(*)1( pCpkkXXXXk(3)p(3)p阶收敛的阶收敛的, ,若若1. 序列的序列的收敛阶收敛阶：. 12lnln ab

2、N0 给定的误差界给定的误差界)()()(111kkkkkkkxfxfxfxxxx 是是点点*X为为含含根根区区间间,ba抛物线法2.32.3 抛物线法抛物线法1 1 方法的推导（迭代公式）方法的推导（迭代公式）（二次插值）（二次插值） 设设f(x)=0f(x)=0的根为的根为,*x*x（即（即为方程为方程f(x)=0f(x)=0的精确解）的精确解）可由数据点可由数据点2 , 1 , 0),( ifxikik，构造抛物线，构造抛物线二阶差商二阶差商一阶差商一阶差商牛顿插值牛顿插值1( ), ()kkkkp xff x xxx211, ()()kkkkkf xxxxxxx)(a1 k次近似次近似

3、,1 kx已已知知，若若kkkkkkfxffxffxf )(,)(,)(1122，k时时当当2 的的是是设设*,12xxxxkkk kkk, 1, 2 次近似，次近似，构造构造用用p(x)p(x)近似近似f(x),f(x),根。根。1 kxkx取取P(x)=0P(x)=0较靠近较靠近的根的根为为f(x)=0的改进近似的改进近似考虑考虑kkxx 1的最小值，的最小值， 变形变形( (a)a)式式( (插项插项),于是于是,kkxx 得得由由,0)( xp抛物线法0)()(2 kkkkkxxcxxba则有则有21211 , (), ()()() 0kkkkkkkkkkkff x xx xf xxx

4、x xxxx xkakc)1 (kb11,()kkkkkf xxcxx得得由由,0)( xp1( ), ()kkkkp xff x xxx211, ()()kkkkkf xxxxxxx)(akkxx ,0时时当当 kkaf*xxk kkkkkkacabbxx2412 kkkkkkcabbaxx422 ,*xxk 且有且有)1 (0)1()1(2 kkkkkcxxbxxa,4sgn221kkkkkkkkcabbbaxx 取取由此可得（由此可得（2.10）;1kkxx ,0时时当当 kkafkkkkkkcabbaxx422 )()(12kkkkkkxxxxcxxc 抛物线法2 2 局部收敛定理局部

5、收敛定理只要只要,*210 xxxxx 抛物线法产生的迭代序列抛物线法产生的迭代序列kx收敛于收敛于,*x且有且有.)(6)(lim420. 0*840. 1*1*xfxfxxxxkkk 设设f(x)f(x)在在*x, 0)(* xf则存在则存在, 0 附近附近3 3次连续可导，次连续可导，)(,11 kkkkkkxxcfxxb)(kkxfa fxxxckkkk,21 ,4sgn221kkkkkkkkcabbbaxx )10. 2(继续以上过程，这种生成迭代序列的求根算法称为继续以上过程，这种生成迭代序列的求根算法称为抛物线法抛物线法。定理定理2 2, 3 , 2 k,210 xxx由由给给定

6、定的的可由可由(2.10) 式迭代求更接近式迭代求更接近的近似解的近似解 。*x3x)11. 2(抛物线法注：注： 1 1 抛物线法可产生实根，也可产生复根。抛物线法可产生实根，也可产生复根。2 2 更高次的插值多项式很少选用更高次的插值多项式很少选用, ,一是高次插值多项式求根困一是高次插值多项式求根困难难, ,二是其收敛速度不会太快，即收敛阶总低于二是其收敛速度不会太快，即收敛阶总低于2 2。2.42.4* * 反插值法反插值法设设f(x)=0f(x)=0的根为的根为.*x由数据点由数据点, 1 , 0),(lixyikik 得得)(y 的的l次插值函数。次插值函数。差商差商取取)0(1q

7、xk )()(yyq 令令则则,) 1(,1121111 lkkklkklkkkkkkkkkkyyyyyyyyyyyyyxx )13. 2(该方法称为该方法称为反插值法反插值法。)(xfy 有反函数有反函数)(yx 且且).0(* x若若f(x)f(x)在在邻近严格单调邻近严格单调*x)()(,)(,)(,)(111211 lkkklkkkkkkkkkkkyyyyyyyyyyyyyyyyyyyxyq :11* kxkx次次近近似似的的是是若若lkkkxxx ,1个已知近似值，个已知近似值，构造构造1 l抛物线法注：注： 1 1 当当1 l 时，反插值法完全重合于正割法。时，反插值法完全重合于正割法。2 2 反插值法是局部收敛的反插值法是局部收敛的, ,且收敛阶低于且收敛阶低于2 2。思考：思考：总结：总结：上上讨论抛物线法，但平时很少用抛物线法，因为该方法计算量大，讨论抛物线