微分学应用课件VIP

1、微分学应用高等院校非数学类本科数学课程微分学应用第六章 一元微积分的应用本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、

2、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。微分学应用第六章 一元微积分的应用第一、二节 运用导数研究函数一、导数的简单应用二、函数的单调性三、函数极值四、函数的最大值、最小值五、函数的凹凸性微分学应用 . 1用导数在几何中的简单应 . 2应用导数在物理学中的简单 . )( ) 1 (法线方程在某点处的切线方程和求曲线xfy . )2(点处的交角求两条相交的曲线在交 . ) 1 (速度或变量的变化率求物体运动的速度、加 . )2(求变量间的相关变化率微分学应用 . 1用导数在几何中的简单应 . )( ) 1 (法线方程在某点处的切线方程和求曲线xfy : ) ,( )( , )( 00处在点

3、则曲线可微设函数yxMxfyxf , )( 0 xfk切线的斜率为 . ) 0)( ( , )(1 1 001xfxfkk法线的斜率为 ; )( 000 xxxfyy切线方程为 . )()(1 000 xxxfyy法线方程为 . ,部分请参看导数的几何意义这部分不再举新例微分学应用 . )2(点处的交角求两条相交的曲线在交 . 间的交角是它们在交点处的切线两条相交曲线的夹角就 一个求点处的交角实质上仍是求两条相交的曲线在交Oxy121L2LM . ) ,( )( : , )( : 002211处相交于点设曲线yxMxfyLxfyL : 相应的切线方程分别为 .)( , )(1022210111

4、bxxfbxkybxxfbxky . 导数的问题微分学应用Oxy121L2LM )tan(tan12 1 2112kkkk , )()(1 )()(02010102xfxfxfxf . ) : ( )()(1 )()( arctan 02010201取锐角一般故xfxfxfxf微分学应用例1解解 . 1 的交角抛物线与求双曲线xyxyOxyxy 1xy M :联立方程组求交点 1xy xy . ) 1 , 1 ( ,M得交点为解此方程组 , 1 111211xxxxk , 2 1 21 )(112xxxxk . arctan3 21) 1(1 21) 1( arctan 故微分学应用例2解解

5、013 2yxxy上哪一点的切线与直线抛物线 ? 45 o的交角为 ) ,( 2处的切线的斜率为上任意一点抛物线yxxy , 2)(21xxk 013 的斜率为直线 yx . 3) 13(2xk , 得式由题意及曲线间交角公 , 1 231 23 xx )()(1 )()( tan02010102xfxfxfxf取锐角 . 161 ,41 ) 1 , 1( , )61 (23 和解之得所求点为即xx微分学应用例3解解 , 用立方抛物线和适当选取参数cA )()(cxbxaxAy 将两条射线 , )( )(1axaxky)( )(2xbbxky . , 上光滑地连接起来在区间ba两曲线有是指在连

6、接点处两条曲线“光滑连接” , . . 切线的斜率相同即在连接点处两曲线的共同的切线 . 同数在连接点处的导数相也就是曲线所对应的函微分学应用 , ,有处和在点对立方抛物线而言bxax , )( cabaAyax . )( cbabAybx , 有接到含义由直线方程以及光滑连 , )(1kcabaA , )(2kcbabA(1) (2) )2() 1 (得 , )()( 2122kkacbcbabbcacabaA)3( . )( 221bakkA故微分学应用 : ) 1 ( (3) 值式中求代入将c ,)( )( 1221kcababakk 从而 . 2121kkkbkac . , , )(

7、2121221即可满足要求故取kkkbkacbakkA微分学应用 . 2应用导数在物理学中的简单 . ) 1 (速度或变量的变化率求物体运动的速度、加例4 , , 0其运动方程为发射炮弹发射角以初速度v , )cos(0tvx . 21 )sin(20tgtvy ; )1( 的运动方向炮弹在时刻求t . )2(的速度大小炮弹在时刻 t微分学应用解解Oxy0vvxvyv )1(时的方向炮弹在时刻 t 时的刻就是炮弹的轨迹线在时t ,而切线方向对应点上的切线方向 :反映可以通过切线的斜率来) )cos( ) 21 )sin( dd020tvtgtvxy . cos sin 00vtgv , , 则

8、轴正向间的夹角炮弹运动方向与时为时刻记xt , )cos(0tvx . 21 )sin(20tgtvy微分学应用 , cos sin ddtan00vtgvxy , 轴正向间的夹角为炮弹的运动方向与时故在时刻xt . ) ( cos sin arctan00取锐角vtgv : )2(分速度的速度可以分解为两个炮弹在时刻 t , ; 且轴的铅直速度平行于轴的水平速度平行于yxvyvx . sindd , cosdd00tgvtyvvtxvyx ,时的速度大小为炮弹在时刻由速度的合成可知t . sin22202022tgtgvvvvvyxt微分学应用 . )2(求变量间的相关变化率 在实际问题中，

9、往往是同时出现几个变量. 变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数( 例如，都是时间 t 的函数. ) 从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题. 微分学应用例5解解 . cm/ 0.01 ,秒的速度均匀增加其半径以加热一金属圆板 ? , cm 200 少圆板面积的增加率为多时问当半径为 , , 则面积为设圆板的半径为yx(1) .2xy . cm/ 0.01dd , , ,秒且的函数都是显然txtyx ?dd , cm 200 tyx时现要求 , (1) 得求导式两边关于将t , dd 2dd

10、txxty , 200 圆板面积的增加率为时故在x . )(cm/ 401. 0200 2dd秒ty微分学应用例6解解 8 , 8 米的圆锥形容器内匀速深为米向一个上顶的直径为 5 ,/m 4 .3米时水表面上求当水深分若注水的速度为注水 ?升的速度 . , 米水深为分钟后设注水ht , ,米水面的直径也是此时h . 12231 32hhhV容器内水的体积为 , . 412 , 4 ,3得求导对此式两边关于故有此外tthtV .16dd2hth , 5 其表面上升的速度为米时故当水深h . )(m/ 204. 02516516dd2分th微分学应用例7解解 ,设一贴靠在铅直的墙上 5 米的梯子

11、的下端以长度为 . m/ 3的速度离开墙脚滑动秒动的问何时梯子上下两端滑 速度大小相同？yxO m 5txddtydd . 引入坐标系如图所示 . (m) (m), , yxt上端离墙脚梯子下端离墙脚时设在时刻 , , ,且有的函数均为显然tyx (1) . 5 , )(m/ 3dd222yxtx秒xy微分学应用 , 我们的问题是注意到速度的方向性 (2) . )(m/ 3dd秒ty , 5 222得求导两边关于对tyx , 0dd2dd2tyytxx . dd dd txyxty即有 . , 3 3 , )(m/ 3dd )2( yxyxtx即得秒式及由. 25 ,5 222yxyx故而 .

12、 , 25 小相同梯子上下端滑动速度大时即当 yx , , 使的值求yxyxO m 5txddtyddxy微分学应用 下面我们运用函数的导数(微分)来研究函数的有关性质：单调性、凹凸性、极值等，并研究如何作出函数的图形. :理和公式回忆一下几个重要的定 . )()()( abfaFbF式拉格朗日中值定理的公200000)(! 2)()()()( xxxfxxxfxfxf 泰勒公式 . )(o( )()(! 3)()(! 2)(303300200 xxxRxxxfxxxf 微分学应用由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道: , )( 则内可导在区间若函数Ixf 0)( xf )(Ixf 0)( x

13、f )(Ixf . )( 0)(单调性的分界点的点可以作为函数xfxf微分学应用观察下面的图形, 你能得出什么结论？OxyOxy )( 不存在的点也可作为使得函数的导数xf . 函数单调性的分界点微分学应用综上所述, 可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 ,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 ,在每个小区间内函数只有一种单调性 , 利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少. 提供了判断函数单调性的方法 )( 0)( )( 不存在的点或的导数使得函数xfxfxf . 分界点可以作为函数单调性的微分学应用 . 82 的单调性讨论xxy) , 0()0 ,

14、( :定义域282xy)4(222xx得令 , 0 y, 2 , 221xxxyy)2 , (20) , 2(02) , 0(2) , 2(00例1解微分学应用xxy82 ,函数综上所述 ) (2, , )2 ,( ；内单调增加在 . )2 , 0( , )0 , 2( 内单调减少在 列表可使问题明朗化微分学应用 . ) ,( sin 内有且仅有一个实根在证明：方程 xx, ) ,( sin)( xxxxf令 , 01cos)( , ) ,()( xxfCxf则, 0)( , )( 2 xfZkkx时且仅当. )( 仅在孤立点处为零即xf ) ,(sin)( xxxf从而. )( , 轴最多有

15、一个交点与曲线就是说xxfy 例2证微分学应用 , )(sinlim)(lim xxxfxx而 , )(sinlim)(limxxxfxx. )( ,轴至少有一个交点与曲线由连续性xxfy , )( ,轴有且仅有一个交点与曲线综上所述xxfy . ) ,( sin 内有且仅有一个实根在即方程 xx微分学应用满足条件：设 )( xf; 0)0( , ) ) , 0 ()( )1(fCxf, )( , ) , 0( )( )2(), 0(xfxf且内可导在. )()( :) , 0(xxfxg证明 , )()()( 2xxfxxfxg由于. ) , 0( 0)()(xxfxfx下一步你打算 怎么办

16、?这个式子有点像？例3证 故关键在于证明 . 式形式拉格朗日中值定理的公微分学应用 , 0 )( , ), 0(上满足在由已知条件可知xtfx)0)()0()(xffxf得由 , 0)0( f, )(0 , )()(xxfxf ,)( ) , 0( xf又, )()( ,xxfxf从而 , 0)()()( 2xxfxxfxg于是. )( , ) , 0(xgx得的任意性故由 故有，拉格朗日中值定理条件微分学应用. )3( 是单调减少的数列证明：nnxnn, ) , 3 ,)( 1xxxfx令21ln1)(xxxxfx, 3 时当 x, 0)( xf, )( ) , 3xf故 . )3( , :

17、nxn由此可得利用函数处理数列例4证微分学应用函数的极值是个局部性的概念. . )( )( )U( 00的大小与内比较在xfxfx我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:费马定理 可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法泰勒公式 可利用高阶导数微分学应用定理 . 0)( )( 00 xfxxf处取极值的必要条件是在点可微函数 . 实质上就是费马定理微分学应用 费 马Pierre de Fermat (16011665) 费马，法国数学家. 出身于一个商人家庭. 他的祖父、父亲、叔父都从商. 他的父亲是当地的第二执政官, 经办着一个生意兴隆的皮革商店. 费马毕业于法国奥尔良大学，以律

18、师为职. 曾任图卢兹议会会员, 享有长袍贵族特权. 精通 6 种语言. 业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作. ,1637写下了著名的算术时年费马研究丢番图的 : 费马大定理 . , , )2( zyxnzyxnnn的正整数不存在满足费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” .微分学应用 . )( 0)( 0的驻点的点称为函数使xfxf . ,疑点驻点只是函数的极值可由费马定理可知 .极值函数在驻点处不一定取 , 0 , 0 yx处在点 ,3xy 例如 . 0不是极值此时但xyyxO3xy 0 x微分学应用 . 点也是极值可疑点使得函数导数不存在的 ) ,( | ,x

19、xy例如, 0 处不可导在点x . 0 恰好是它的极小点但xyxO | xy 0 x ?否确为极值点如何判断极值可疑点是极值可疑点 . 0)( :的点驻点 xf . 0)( 不存在点使 xf微分学应用Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x极大点极小点极大点极小点不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x不是极值点Oxy0 x0 x0 x微分学应用极小点不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x极大点通过观察以上的图形你得到什么结论？微分学应用判别函数的极值点, 主要是判别极值可疑点左、右对于可微函数将归结

20、于判别函数的导数的符号.两侧函数的单调性.微分学应用, )(U , )(U()( 00内可微在设xxCxf, )( 0的极值可疑点为点xfx; 0)( , )1(0 xfxx时若, 0)( , 0 xfxx时. )( , )( 00为极大值的极大点为则xfxfx; 0)( , )2(0 xfxx时若, 0)( , 0 xfxx时. )( , )( 00为极小值的极小点为则xfxfx(单调增加)(单调减少)(单调减少)(单调增加)定理微分学应用证 : , )(U0由已知条件可知xx , , , ; , , 0000上在时上在时xxxxxxxx . )( 条件满足拉格朗日中值定理函数xf, ,0时

21、于是xx 使 , ) ,(01xx)()()(010 xxfxfxf使 , ) ,(02xx)()()(020 xxfxfxf, 0时xx 微分学应用由定理中 (1) 的条件, 得, 0时xx , )()(0 xfxf, 0时xx , )()(0 xfxfOxy0 x. )( , )( 00为极大值的极大点为故xfxfx由定理中(2) 的条件, 得, 0时xx , )()(0 xfxf, 0时xx , )()(0 xfxfOxy0 x. )( , )( 00为极小值的极小点为故xfxfx微分学应用 )U( , 00内就是在是否为函数的极值点判别点xx . )( )( 0的大小与比较函数值xfx

22、f泰勒公式泰勒公式 也体现了想想还有哪一个公式中 ?比较关系的与 )( )(0 xfxf微分学应用 , ) 1( )U( )( 0则阶导数内有直到在设nxxf . )()(! )()(000)(xRxxkxfxfnnkkk)( )(! 2)()()()( 200000 xRxxxfxxxfxfxfn 即. , 0会是驻点如果 x :回忆泰勒公式看这一部分)(o)(! 2)()()(202000 xxxxxfxfxf 微分学应用)(o)(! 2)()()(202000 xxxxxfxfxf , , 则在如果函数的二阶导数存对于驻点 0别点处的二阶导数符号来判可利用函数在点x . 0是否为极值点x

23、微分学应用, , )(U()( 00有二阶导数在设xxCxf则即的驻点为且 , ) 0)( ( )( 00 xfxfx; )( , 0)( )1(00的极大点为时xfxxf ; )( , 0)( )2(00的极小点为时xfxxf . )( , 0)( )3(00的极值点是否为不能判定时xfxxf 此时应另找其他方法此时应另找其他方法.什么方法？ 高阶的泰勒展开式？定理微分学应用. ) 1()( 322的极值求 xxf, ) ,( )(xxf的定义域：3312) 1)(1( 342) 1(32)(xxxxxxf, 0 , 0)( xxf得驻点令, )( , 1 , 1 不存在时又xfxx . 1

24、 , 0 , 1 xxx极值可疑点为故列表讨论单调性, 判别极值:例5解微分学应用xyy) 1 ,(1)0 , 1(0) 1 , 0(1) , 1 (极小极小极大0)2( f0)5 . 0( f0)5 . 0( f0)2( f的极小点为： )(xf; 1 , 1xx极小值为：. 0) 1 ( , 0) 1(ff的极大点为： )(xf; 0 x极大值为：. 1)0(f自己总结求极值的步骤0微分学应用. 12)( 3的极值求xxxf, ) ,( )(xxf的定义域：123)(2xxf)2)(2(3xx0)( xf令, 2 , 2 xx驻点, 6)( xxf 又, 012)2( f, 16)2( ,

25、 2 fx极大值为极大点故, 012)2( f, 16)2( , 2fx极小值为极小点例6解微分学应用. 1) 1()( 32的极值求 xxf, ) ,( )(xxf的定义域：22) 1( 6)(xxxf得驻点令 , 0)( xf, 1 , 0 ,1xxx1)(5) 1( 6)( 22 xxxf又, 06)0( f, )( 0 的极小点是xfx . 0)0( f极小值, 0) 1( , 0) 1 ( ff而怎么办？例7解微分学应用首先看看函数的图形.Oxy11由图形可知:1x不是函数的极值点.问题在于如何进行解析描述.我们再看一下泰勒公式：200000)(! 2)()()()(xxxfxxxf

26、xfxf )()(! 3)(3300 xRxxxf 微分学应用 , 0)( , 0)( , 000存在时且为驻点 xfxfx)()(0 xfxf)()(! 3)(3300 xRxxxf , )()( , 00此时左右两边反号在显然xxfxf . 0处不取极值函数在 x , , )(U()( 00有三阶导数在设xxCxf 0)( , 0)( , )( 000 xfxfxfx的驻点为且. 0不是函数的极值点则 x就是说：微分学应用)3(5 24)( 2xxxf, 48) 1( f, 48) 1 ( f . 1 , 1 不是函数的极值点故xx综上所述, , )( 0的极小点是xfx . 0)0( f

27、极小值 1 )( 处在该题也可通过讨论函数xxf . 左右两边的单调性来做微分学应用, , )(U()( 00阶导数处有在设nxxCxf, 0)()()( 0)1(00 xfxfxfn若 , 0)(0)(则xfn ; )( , ) 1 (0的极值点不是为奇数时当xfxn )( , )2(0：的极值点是为偶数时当xfxn ; , 0)(00)(为极小点时xxfn . , 0)(00)(为极大点时xxfn定理微分学应用在工程技术和生产实践中, 常常需要考虑在一定条件下, 怎样才能使用料最少、费用最省, 而效率和效益最高等问题. 这些问题反映到数学上就是最优化问题. 优化技术应用价值很大微分学应用

28、怎样求函数在一个区间上 的最大、最小值呢？微分学应用回忆以前学过的知识： , ) , ()( baCxf若上必在则 , )( baxf取到它的最大值和最小值 .内在如果 ) ,( )( baxf取得其最大值和最小值 , 则这些最值一定是函数的极值 . )(xf的最大值和最小值可能在区间的端点, , 处取得bxax也可能在区间内部取得.微分学应用求一个连续函数在 ,ba上的最大值和最小值 , 只要先求出函数内的在 ) ,( )(baxf一切极值可疑点 ( 驻点和一阶导数不存在的点), 然后比较极值可疑点的函数值及区间端点函数值 , 其中最大者就是函数在区间 )(xf. , 上的最小值区间ba最小

29、者就是函数, ,上的最大值ba在 )(xf微分学应用, )( ) 1 ( ,baxf若 , )( 为最大值则bf. )(为最小值af, )( )2( ,baxf若 , )( 为最大值则af. )(为最小值bf, ) , ()( )3(baCxf若 ) ,( 内只有唯一点一个在ba极大(小)值点 , 则该点就是函数的最大(小)值点 .微分学应用 , I 0 x可疑点上只有唯一的一个极值在区间 I )( 上在区间函数而由实际问题可以断定xf )( )(0的最必为函数值，则点小存在最大xfx . )(值点小大 ) I ()( ，且在处理实际问题时：若Cxf微分学应用 . 2 , 2 52)( 24上

30、的最大和最小值在求xxxfxxxf44)(3) 1)(1(4xxx , 0)( xf令:得极值可疑点)( , 1 , 0 , 1驻点xxx计算函数值:; 4) 1 ( , 5)0( , 4) 1(fff , 13)2( , 13)2(ff( 端点值 )例8解微分学应用 : 2 , 2 )( 上的最大值和最小值为在故xf13 13 ,13 , 4 , 5 , 4maxmaxy4 13 ,13 , 4 , 5 , 4minminy . 2 , 2 : xx最大值点为. 1 , 1 : xx最小值点为 没有什么新的东西微分学应用用薄铁片冲制圆柱形无盖容器, 要求它的容积一定, 问应如何选择它的半径和高度才能使用料最省 ?设容积(体积)为 V , 半径为 r , 高为 h . 用料最省即指容器的表面积 A 最小. 2 2hrrA故hrV22rVhrVr22得令 , 022dd 2rVrrA, 3Vr 应用题例8解微分学应用 , ,3的最小点为所以AVr , 3的唯一极值可疑点是因为AVr又 A 的最小值一定存在 ,故当要求的容器的容积为 A 时