2018-2019学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷-解析版

1、2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷1.2.、选择题（本大题共8小题，共16.0分）抛物线？?= （?- 1）2+ 3的顶点坐标是（）A. （1,3）B. （-1,3）C. （1, -3）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点？?（4,3）, OP与 轴的夹角为？则？?的值为（3.4.34A. 5B. 5方程？- ?+ 3= 0的根的情况是A.有两个不相等的实数根C.无实数根 如图，一块含30。角的直角三角板3C. 4x轴正半D. 3B.有两个相等的实数根D.只有一个实数根 ? ?当？C,?在ABC绕点C顺时针旋转到第11页，共22页一条直线上时，三角板 ABC的旋转角度为

2、（）120 C. 60 5.A. 150 B.如图，在平面直角坐标系xOy中,B是反比例函数?=/?的图象上的一点，则矩形A. 1B. 2C. 3D. 4OABC的面积为（）6.如图，在厶?, ?/?且 DE 分别交 AB, AC于点 D , E,若 AD :?= 2: 3，则 ? ?面积之比等于()A. 2 : 3B. 4: 9C. 4: 5D. v2 : v37. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm,双翼的边缘？?= ?学54?且与闸机侧立面夹角/ ?/ ?30。当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）7匸PQ0 jS I

3、團2A. (54 v3 + 10)? B. (54 迈 + 10)? C. 64 cmD. 54cm8. 在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小 于1的是()A. ?、填空题(本大题共厂=1= r =苜厂B. ?8小题，共16.0分)C. ?D. ?9. 方程？- 3?= 0的根为10.半径为2且圆心角为90 勺扇形面积为 11.已知抛物线的对称轴是直线？?= ?若该抛物线与 x轴交于(1,0) , (3,0)两点，贝U n的值为.?12.在同一平面直角坐标系 xOy中，若函数？?= ?与?= ?(?工0)的图象有两个交点,13.则k的取值范围是.如图，在平

4、面直角坐标系 xOy中，有两点？?(2,4), ?(4,0), 以原点O为位似中心，把厶？?缩小得到 ?若?？【 的坐标为(2,0)，则点？?的坐标为 .13 ：114.已知(-1, ?) , (2, ?)是反比例函数图象上两个点的坐标，且? ?，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式 .15.如图，在平面直角坐标系 xOy中，点?(3,0),判断在M ,V J-r*pN, P, Q四点中，满足到点 O和点A的距离都小于24-T -T -rT -11111i11L1Jl .J1I-1II11iII1I1111r 11111*r * I11T11111I1111r1II1111i11 11!电i

5、k125457y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.小东根据学习函数的经验，对函数 下面是小东探究的过程，请补充完整:通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格:?/?00.250.47123456?/? 1.430.6601.312.592.761.660在平面直角坐标系 xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该 函数的图象；结合画出的函数图象，解决问题：当？?= ?时，AM的长度约为 cm.25.如图，AB是O ?勺弦，半径？?L? P为AB的延长线上一点，PC与O ?相切于 点C, CE与AB交于点F .(1) 求证：?= ?连接OB, BC,若?/?

6、 ?= 3v2 , ?，求 FB 的长.P26.在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 G: ?= 4? - 8?+4?- 4, ?(-1,0), ?(?0).(1) 当？?= 1 时， 求抛物线G与x轴的交点坐标； 若抛物线G与线段AN只有一个交点，求 n的取值范围；(2) 若存在实数a,使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围.27.已知在 ?, ?= ?,? / ?直线I经过点?不经过点B或点？?)，点C 关于直线I的对称点为点 D，连接BD , CD (1) 如图1, 求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上. 直接写出/ ?的度数(用含？的式子表示)

7、为.(2) 如图2,当？?= 60。时，过点D作BD的垂线与直线I交于点E,求证：？?= ?(3) 如图3,当?= 90。时，记直线I与CD的交点为F，连接?将直线I绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan / ?的值.28.在平面直角坐标系 xOy中，已知点?(0,?和点?(?0),给出如下定义：以AB为边， 按照逆时针方向排列 A, B, C, D四个顶点，作正方形 ABCD，则称正方形 ABCD 为点A, B的逆序正方形.例如，当 ？?= -4 , ?= 3时，点A, B的逆序正方形如图 1所示.(1) 图1中点C的坐标为；(2) 改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点

8、C的坐标不变(填“横”或“纵”)，它的值为;(3) 已知正方形ABCD为点A, B的逆序正方形.判断：结论“点C落在x轴上，则点D落在第一象限内.” (填“正确”或“错误”)，若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；O ?勺圆心为？?(?0)，半径为1若？?= 4 , ? 0，且点C恰好落在O ?上，直接 写出t的取值范围.答案和解析1. 【答案】A【解析】解：抛物线？?= (?- I)2 + 3的顶点坐标是(1,3).故选：A.根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记.2. 【答案】C【解析】【解析】过 P 作

9、？?轴于 N, ?丄？?由于 M，贝V / ? / ?=?90 ,?轴丄？轴,./ ?=? / ?=? / ?90 四边形MONP是矩形，?= ? ? ?(4,3),/.?= ?= 4, ? 3,?3.?=?荡=， 故选：C.【分析】过P作？?丄？轴于N, ?丄？轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直 角三角形求出即可.本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键.3. 【答案】C【解析】 解：？?= 1 , ?= -1 , ?= 3,/=?- 4? (-1) 2 - 4 X 1 X 3 = -11 0时，方程有两个不相等的实数根；当 = 0时，方程有两个相等的实数

10、根； 当 0)的图象上，矩形 OABC 的面积？?= |?|= 2 ,故选：B.因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积 S是个定值，即？?= |?|.?本题主要考查了反比例函数 ？?= ?中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|?|6. 【答案】B【解析】 解：I?/?/ ?=?/ ?0 ?/ ? 42?,仏沁E =( 1牛2 =色 弘比=而=n故选：B.由？?/?利用“两直线平行， 同位角相等”可得出 / ?=?/?2 ?=?/?进而可得出孑?再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结 论.本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的

11、面积比等于相似比的平方是解题的关键.7. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多过A作？?爼？?于E,过B作？?L?于 F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm, 即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度.【解答】解：如图所示，过A作？? ?于 E,过B作？?L ? 于F，则. 1 1?, ?= -?=- X 54 = 27(?)同理可得，？= 27?又点A与B之间的距离为10cm,通过闸机的物体的最大宽度为27 + 10 + 27 =64(?,故选：C.

12、8. 【答案】A【解析】解：由图象可知：3抛物线？?的顶点为(-2, -2)，与y轴的交点为(0,1)，根据待定系数法求得 ?= 4(?+ 2)2-2 ；抛物线？?的顶点为(0,-1)，与x轴的一个交点为(1,0)，根据待定系数法求得? = ? - 1 ； 抛物线？?的顶点为(1,1)，与y轴的交点为(0,2)，根据待定系数法求得?= (?- 1)2 + 1 ； 抛物线？?的顶点为(1, -3)，与y轴的交点为(0, -1)，根据待定系数法求得?= 2(?- 1)2- 3；综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是?故选：A.由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定.本题考查了二次函数

13、的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键.9.【答案】?= 0, ? = 3【解析】解：因式分解得，？?(?？ 3) = 0,解得，?= 0, ?= 3.故答案为：?= 0, ? = 3.根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得 原方程的解.本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的 一种简便方法，要会灵活运用.10.【答案】?【解析】【分析】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关

14、键. 根据扇形面积公式求出即可.【解答】解：扇形的面积是90? X2360故答案为？?11.【答案】2【解析】解：抛物线与x轴交于(1,0) , (3,0)两点,抛物线的对称轴为直线?=1+3即n的值为2.故答案为2.利用抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，从而得到抛物线的对称轴方程. 本题考查了抛物线的对称性.12.【答案】？? 0?= ?【解析】解：联立两解析式得：?=?,= ?消去 y 得：？- ?= 0,.两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点，=?- 4? 4? 0，即? 0.故k的取值范围是？? 0.故答案为：？? 0.联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数在

15、同一直角坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围.此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键.13.【答案】(1,2)【解析】 解：点B的坐标为(4,0)，以原点O为位似中心，把 ?缩小得到 ?,? ?的坐标为(2,0),1以原点o为位似中心，把 ?缩小2，得到 ?,?点 A的坐标为(2,4),1 1点？?的坐标为(2 X 2,4 X 2)，即(1,2),故答案为：(1,2).根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算.本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，在平面直角坐

16、标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-?.214.【答案】？?= - ?答案不唯一【解析】 解：(I, ?), (2,?)是反比例函数图象上两个点的坐标，且? ?,函数图象的分支在二四象限，则？?/I 2 5 4 5 I/ -如图2,当P在第，三象限时,/?*= 2? ?(2,1), ?点的纵坐标时-2 ,2代入？?= 2求得？?= -1 ,?(-1, -2),?(2,1)则直线PA的解析式为？?=? 1, ?= 1 ,综上，b的值为3或1.?【解析】由直线解析式求得？?(2,1),然后代入双曲线？?= ?中，即可求得k的值;(2)根据系数k

17、的几何意义即可求得 n的值，得到P的坐标，继而求得直线PA的解析 式，代入?(?)即可求得b的值；分两种情况讨论求得即可.本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键.24.【答案】解：(1)2.41 ;(2)图象如下图所示：【解析】 解： 描出后图象后，？?= 4时，测得？?= 2.41(答案不唯一)，故答案是2.41 ;见答案；当？?= ?时,?= 2 ,即图中点A、B的位置，从图中测量可得：？?= 1.38，?= 4.62， 故：答案为：1.38或4.62(本题答案不唯一).【分析】(1) 描出图象后，测量？?= 4时，y的值，即可求解；(2) 描点即可； 当

18、？?= ?时，即：?= 2，即图中点 A、B的位置，即可求解.本题考查的函数的作图，主要通过描点的方法作图，再根据题意测量出相应的长度.25.【答案】解：连接0C,?是 O ?勺切线,/ ?90 ? ?/ ?= / ?/ ?+ / ?/ ?/ ?90?/ ?/ ?= ?;(2)过点 B作?L ?于点 G, ?/?. / ?90 ? ?, ? 3 迈,?= 3,.?四边形OBGC是正方形,?=?,? 3?= 4.?= 4由勾股定理可知：？?= 5 ,.?= ?= 7,.?= ? ?= 7 - 5=2 .【解析】 连接0C,根据切线的性质以及 ？?可知/ ? / ?/ ?+?/ ?刀0 从而可知/

19、 ?/ ?由对顶角的性质可知 / ?/ ?所以?= ?; 过点 B作？?L?于点 G,由于?/?且?= ?,?= 3走，从而可知？?= 3,?3易证四边形 OBGC是正方形，所以？?= ?= ?= 3，所以-?= 4，所以？?= 4，由勾股定理可知：？= 5，所以？= ? ?= 7 - 5=2 .本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角 函数的定义等知识，需要学生灵活运用所学知识.26.【答案】解： 把？?= 1代入二次函数表达式得：？?= 4?- 8? 令？?= 0,即 4?- 8?= 0，解得：?= 0, ?= 2,即抛物线G与x轴的交点坐标为：（0,0

20、）、（2,0）;设?（0,0）, ?（2,0）,抛物线G与线段AN只有一个交点，则点N在C、D之间，所以：0 ? -1 时，则? ?+ 1 ,当？?+ 1 -1 时，贝U ? ?- 1 ,即：n的取值范围为：? 1 .【解析】（1）把？?= 1代入二次函数表达式得：？?= 4?- 8?令？?= 0,即可求解；抛物线G与线段AN只有一个交点，可知点N在C、D之间，即可求解； 由知，抛物线G与线段AN有两个交点，则 G与x轴的两交点在 AN之间，注意 分情况讨论.本题考查的是二次函数的综合运用，其核心是二次函数与线段的交点问题，注意分情况讨论，本题难度较大.27.【答案】（1）证明：如图1,连接D

21、A，并延长DA交BC于点M ,第19页，共22页点 C关于直线I的对称点为点 D,/.?*=?,且？= ?,/.?*=?= ?,点B, C, D在以点A为圆心,AB为半径的圆上-?2.?= 4?第18页,共22页oC?等边三角形.?= ? / ?60 1/ / ?_ ?2 / ?30 /?! ? / ?60 点C关于直线I的对称点为点 D,?= ?,?且 / ?60 ?是?等边三角形，/.?*= ?= ? / ?50 = / ?./ ?/ ?且？= ? ?= ? ?缪?(?).?= ?如图3,取AC的中点0,连接OB, OF , BF,D在 ?中？，? ? ?当点0,点B,点F三点共线时，BF

22、最长, 如图，过点 0作？?丄?-/ ?90 ?= ?.?= v2? / ?45 且？?丄?/ ?/ ?45 .?= ? ?*= v2?点0是AC中点, ?= 2 v2?:.? ? ?:tan / ?菸?=3?3?第25页，共22页【解析】(1)见答案;？= ?= ?./ ?/ ?/ ?/ ?/ / ?=? / ?/ ?/ ?=?/ ?/ ?：,/ ?=?2 / ?/ ?2 / ?./ ?/ ?+?/ ?=?2 / ? / ?2 / ?1./ ?_ ?2故答案为:1 ?2(2) 见答案;(3) 见答案;(1)由线段垂直平分线的性质可得 ？?= ?= ?即可证点B, C, D在以点A为圆 心，AB为半径的圆上；由等腰三角形的性质可得 / ?2/ ?可求/ ?的