高考数学考点回归总复习课件41

1、2.2.双曲线的标准方程及简单几何性质双曲线的标准方程及简单几何性质(1).ceea 2222222222222222222211.2.0(64:)11yx,5:(r0).,.xyyxaaaaexyabxyabxyyxabba 等轴双曲线方程或其渐近线方程为离心率共渐近线的双曲线系方程为且与互为共轭双曲线 有相同的渐近线、相同的焦距2.abc,abc120 ,a121bc3.22.12.13()abcd设是等腰三角形则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为:2c,2a.abcb2| 2 3 .2|c.a bc,b| 2( 31) ,131.23.1accacacbccea解析 设双曲线的焦距为实

2、轴长为则由余弦定理得又双曲线以 为焦点且过点则由双曲线的定义得故选答案答案:b:b121212223.p,f,f,pfpf3 2112.6 3.12.12,pff( )3.24yxabcd设 为双曲线上的一点是该双曲线的两个焦点 若：则的面积为1 2121212222121 2122211| 22 13,:pfpf2,pfpf3 2,pf6, pf4,pfpfff,pff1| 12.b2.pf fffcspfpf解析 由双曲线的定义得又：所以又所以即为直角三角形故选答案答案:b:b121 212222214.f f,ffm1(0,0).42 3. 3131. 31ff ,mf,()2xyaba

3、babcd已知 是双曲线的两焦点以线段为边作正三角形若边的中点在双曲线上则双曲线的离心率是21 2111212211:mffmf,mfp,fpf90 ,pff60 ,:|3 ,|.2| ( 31) ,231,31d.pfc pfcapfpfccea解析 因为是正三角形且边的中点在双曲线上则设边的中点为有从而所以根据双曲线的定义可知解得故选答案答案:d:d 222222225.2,4,0 ,.1.1412124,0 ,(4.1.1106)610 xyxyabxyxycd已知双曲线的离心率为 两焦点是则双曲线方程为 2222222:4,0 ,4,0 ,c4.a2.bca4212.x,a.42,1.

4、412ceaaxy解析 由已知双曲线的焦点是可知因为离心率所以所以又因为由已知的焦点坐标可知焦点在 轴上 所以双曲线方程为故选答案答案:a:a2222:ac,ca,bcab.cea评析 由于不能直接由离心率的值来得出 与 的值 所以应根据焦点坐标得到 值后再利用的比值关系求出从而再利用的关系式求出 即可11212121222221222|2,|2,| 2 2.2 2|.mr,c4,0 ,c4,0 , |c c | 8,2,4,1(,mc4,0c4,0.2).2bca,14m41mcrmcrmcmcc cacxyx解 设动圆的半径为 则由已知又根据双曲线定义知 点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支

5、点的轨是迹方程2.x类型二类型二 求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程 222222222222221(0);,(0);1(023);:1xyabxyt tabbyxaxyt tabxymnmn 解题准备 待定系数法求双曲线方程最常用的设法与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为若双曲线的渐近线方程为则双曲线方程可设为过两个已知点的双曲线方程可设为 2,.14x3y0;2 p 0,6,135,3 ,4;3,03.3,xy【典例 】根据下列条件 求双曲线的标准方程经过点且一条渐近线方程为与两个焦点的连线互相垂直 与两个顶点连线的夹角为焦点在坐标轴上的双曲线 它的两条渐近线方程为焦点到渐近线的距离为

6、分析分析利用待定系数法利用待定系数法 双曲线定义或双曲线系等知识求双双曲线定义或双曲线系等知识求双曲线标准方程曲线标准方程. 2222222222222215415, 5 ,41,1534 14x3y039,1,16.42,31.9516,x,xxyabaabbbaxy 解因直线与渐近线的交点坐标为而故双曲线的焦点在 轴上 设其方程为由解得故所求的双曲线方程为 12121 2222222ff,x,pfpf ,op6,2c |ff2 op| 12,c6.paopbca2,32 3,61.244.12tanxy 设 、 为双曲线的两个焦点 依题意 它的焦点在 轴上且又 与两顶点连线夹角为故所求的双

7、曲线方程为 222222233xy0 ,030.,3,ab,4,3( 2,0cab).3xy 因双曲线的渐近线方程为故设双曲线方程为当时焦点坐标为22222222293 233,21.391,34,330,0,a,bab,2.c3xyyx 根据点到直线的距离公式有得此时双曲线方程为当时 双曲线方程可化为即故焦点坐标为2222223,31.27911.3927927,yxxyyx 根据点到直线的距离公式有得此时双曲线的标准方程为故所求双曲线的方程为或22221(1,0)32c,la,0450,b1,0l1,0l,e.xyababsc【典例 】双曲线的焦距为直线 过点和且点到直线 的距离与点到直线

8、的距离之和求双曲线的离心率 的取值范围sac,45,.ccea分析 用“距离之和 ”这个条件列出只含有 和 的不等式 变形为“”的不等式 然后再解之1222221222222224221,(1)lbxayab0,a1,1,0l1,0l4e25e250.e5,.(1),22424,52.55512,5542e1,eexyabb adabb adabababsddcababsccacaccee 解 直线 的方程为解由得点到直线 的距离同理可得点到直线 的距离又得即于是得即解之得 又的范围是, 5 .222,a,b,c,cab .cea反思感悟 双曲线中有关求离心率或离心率范围的问题应找好题中的等量

9、关系或不等关系 构造出率心率的关系式 这里应和椭圆中的关系区分好 即 2121212224cy1,cc,cc.1c;2cab,(o),k422.xlykxoa ob 【典例 】已知椭圆的方程为双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点 而的左、右顶点分别是的左、右焦点求双曲线的方程若直线与双曲线恒有两个不同的交点和且其中 为原点 求 的取值范围： 222222222222222222 1ca4 13,c4,abc ,b1.cy1.21,321,3(1 3)6 290.xyabxxykxykxkx 解设双曲线的方程为则再由得故的方程为将代入得222112212122222222221212121212

10、12lc,kk1a x ,y,b1 30,( 6 2 )36(1 3)36(1)0136 29,.1 31 32)(2)372.31x ,y,xxx xx xy yx x(kxk1 x xxx2kkkkkkkkxkkk 由直线 与双曲线交于不同的两点 得且设则12122222222,37392.0,313113313331,1x xy y2,k31,k3oa obkkkkk 又得即解得由得故 的取值范围为错源一错源一 理解性质不透彻理解性质不透彻22221(1,00)2.xyabab【典例 】若双曲线的两条渐近线的夹角为用 的三角函数值表示双曲线的离心率2222222,xpoq.tan02.2

11、1a.,1cbbacabetanaacos错解 如图所示轴的正半轴平分两条渐近线的夹角则且因为所以2222222,ab,poq,.211.xpoq.tan02cab ,bacabetanaacos正解当 时 两条渐近线的夹角为且 轴平分此时且因为所以22222221,.2111.1;1.ab,por,ypor.02cab ,ab,ab,btanacabeaatansincossin当时 两条渐近线的夹角为且 轴平分此时有且因为所以故当 时 双曲线的离心率为当时 双曲线的离心率为0,k1.lyxxy0535(2)2.5x3y40.3kyx 由解得或所求直线 的方程为或即或 剖析剖析错解中误以为判

12、别式错解中误以为判别式=0是直线与双曲线有一个是直线与双曲线有一个公共点的充要条件公共点的充要条件.事实上事实上,命题成立的充要条件是方程命题成立的充要条件是方程(*)有且仅有一个根有且仅有一个根.故应分类讨论故应分类讨论.22122112mr,mfr1, mfr43,5,mfmf3,m,2441.991f,f,acxy设动圆的半径为则有所以故点的轨迹是以为焦点的双曲线 且所以双曲线方程为剖析剖析实际上本题的轨迹应该是双曲线的一支实际上本题的轨迹应该是双曲线的一支,而非整条双而非整条双曲线曲线,上述解法忽视了双曲线定义中的关键词上述解法忽视了双曲线定义中的关键词“绝对值绝对值”.正正确的解答如

13、下确的解答如下.22441(0).991xyx1,223,ac221.124xy222,f 4,0 x3,c4,a,c,3.|.acaccbceca剖析 题设中没有明确曲线的中心位置 仅有焦点和准线不能得出和已知双曲线或椭圆的焦点及相应的准线时 应该考虑焦点到准线的距离的值由离心率联立方程组 得出的值后再进一步确定中心位置 中心不在原点时 不能套用标准方程的形式22222222(4).|:x,y ,x3x3 ,f 4,0,:3xy3|1216x200.3xy(16x2.40)0 xyxxy正解 解法一 设动点坐标为根据条件得动点到直线的距离动点到定点的距离为由整理 得故动点轨迹方程为22222

14、222,431,1,24,3384,0 ,33831.449:f 4,0 x3,c32aceaaccaccacbcaxy解法二 由题意又定点与直线是双曲线相应的右焦点和右准线所以所以且解得所以双曲线的中心为又所以双曲线方程为220022220022002200220000p x ,y,p x ,y,p x01;,;1.,0yxyabxyabxyab当在区域内时 有当在区域内时 有当在区域内时 有00112200002222121200200002,:p x ,y,.:aba x ,y,b x ,1,.2y,p x ,y,ababyyk xx,ykxkxy .2.xyabxxyyxyx bky

15、a利用上述结论 可以证明当在区域时 以它为中点的弦不存在 而在区域、时 这样的弦是存在证明过程如下设双曲线的弦两端点为中点为则运用点差法得出的斜率令直线的方程为即222222222000022222222200002222222222222200002222202020 ba kx2kaykxxaykxa b0.2kaykx4 ba kaykxa b4a bykx1,41 .ba k.,xyabxyxya byabab 把代入整理得把代入 整理得0000222200002222220022p x ,y,0,;p x ,y,0,1001.,xyxyababxyab 若在区域内 则或这时中点弦存在若在区域内 则这时中点弦不存在221q 1,1mn,qmn,mn( )a.2xy 10b.x2y 10c.2xy301d2.yx 【典例 】过点作双曲线的弦使 点为的中点 则的方程为不存在2222xy 10,03102220,;,q 1,1,d.yxxx 解析 将及联立 得此时若运用上述区域法 只要判断在区域就可得出中点弦不存在的结论 故可直接选 答案答案dd技法二技法