分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1、1.1.1分类计数原理分类计数原理与分步计数原理分步计数原理思考思考？ 用一个大写的的英文字母用一个大写的的英文字母或或一个阿拉伯一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？少种不同的号码？26+10=36问题问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有车有4 班班, 汽车有汽车有2班，轮船有班，轮船有3班。那么一班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法多少种不同的走法?分析分析:

2、 从甲地到乙地有从甲地到乙地有3类方法类方法, 第一类方法第一类方法, 乘火车，有乘火车，有4种方法种方法; 第二类方法第二类方法, 乘汽车，有乘汽车，有2种方法种方法; 第三类方法第三类方法, 乘轮船乘轮船, 有有3种方法种方法; 所以所以 从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。种方法。 完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法. 在第在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方法中有类方法中有m2种不同的种不同的方法，方法，在第，在第n类方法中有类方法中有mn种不同的方法，种不同的方法，则完成这件事共有则完成这件事共有 2）首先

3、要根据具体的问题确定一个分类标准，在分）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数类标准下进行分类，然后对每类方法计数.1）各类办法之间相互独立）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要都能独立的完成这件事，要计算方法种数计算方法种数,只需将各类方法数相加只需将各类方法数相加,因此分类计数原因此分类计数原理又称理又称加法原理加法原理n= m1+m2+ + mn 种不同的方法种不同的方法例例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到a、b两两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：所大学各有一些自己感兴趣

4、的强项专业，具体情况如下：a大学大学b大学大学生物学生物学化学化学医学医学物理学物理学工程学工程学数学数学会计学会计学信息技术学信息技术学法学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解：这名同学在解：这名同学在a大学中有大学中有5种专业选择，在种专业选择，在b大学中有大学中有4种专业选择。种专业选择。根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+49种。种。用用a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f这这6 6个大写英文字母个大写英文字母和和1 19 9九个阿拉伯数字，以九个阿

5、拉伯数字，以a a1 1，a a2 2，b b1 1，b b2 2，的方式给教室里的座位编号，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？总共能编出多少个不同的号码？思考思考？字母字母数字数字 得到的号码得到的号码a a123456789a1a2a3a4a5a6a7a8a9树形图树形图分析分析:由于由于前前6 6个英文个英文字母中的任字母中的任意一个都能意一个都能与与9 9个数字个数字中的任何一中的任何一个组成一个个组成一个号码，而且号码，而且它们各个不它们各个不同，因此共同，因此共有有6 69 95454个不同的号个不同的号码。码。问题问题 2. 如图如图,由由a村去村去b村的道路

6、有村的道路有3条，条，由由b村去村去c村的道路有村的道路有2条。从条。从a村经村经b村去村去c村，共有多少种不同的走法村，共有多少种不同的走法?a村村b村村c村村北北南南中中北北南南 分析分析: 从从a村经村经 b村去村去c村有村有2步步, 第一步第一步, 由由a村去村去b村有村有3种方法种方法, 第二步第二步, 由由b村去村去c村有村有3种方法种方法, 所以所以 从从a村经村经 b村去村去c村共有村共有 3 2 = 6 种种不同的方法。不同的方法。 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤。做第个步骤。做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同的方法，

7、种不同的方法， ，做第做第n步有步有mn种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法，则完成这件事共有 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数的标准，然后对每步方法计数.1）各个步骤相互依存）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事才算完成这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数到完成这件事的方法总数,又称又称乘法原理乘法原理n= m1m2 mn种不同的方法种不同的方法例例2、设某班有男三好学生设某班有男三好学生5名，女三好学生名，女三好学生4名。现名。现要从

8、中选出（要从中选出（1）一人代表去参赛，有几种不同选法？）一人代表去参赛，有几种不同选法？（2）男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少）男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？种不同的选法？例例3、惠州市的部分电话号码是惠州市的部分电话号码是0752210,后面后面每个数字来自每个数字来自09这这10个数个数,问可以产生多少个不同的问可以产生多少个不同的电话号码电话号码?变式变式: 若要求最后若要求最后4个数字不重复个数字不重复,则又有多少种不同则又有多少种不同的电话号码的电话号码?075221010 10 10 10=104分析分析:=504010 987(2)5 420(1

9、)5+4=9例例4、 书架上第书架上第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第 2层放有层放有3本不同的文艺书本不同的文艺书,第第3层放有层放有2本不同的本不同的体育杂志体育杂志.(2)从书架的第从书架的第1、 2、 3层各取层各取1本书本书,有多少种有多少种 不同取法不同取法? n43+29 n4 3224(1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有多少种不同的取法有多少种不同的取法?例例5、要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2幅，幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？少种不同的挂法？ 分

10、析分析:从从3幅画中选出幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第上，可以分两个步骤完成：第1步，从步，从3幅画中选幅画中选 1幅挂在左边墙上，有幅挂在左边墙上，有3种选法；第种选法；第2步，从剩下的步，从剩下的2幅画中选幅画中选1幅挂在右边墙上，有幅挂在右边墙上，有2种选法根据分步种选法根据分步乘法计数原理，不同的挂法的种数是：乘法计数原理，不同的挂法的种数是：3 2 6n 1、在所有的两位数中，个位数字比十位数、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？字大的两位数有多少个？2、8本不同的书，任选本不同的书，任选3本分给本分给3个同学，

11、每个同学，每人人1本，有多少种不同的分法？本，有多少种不同的分法？3、将、将4封信投入封信投入3个不同的邮筒，有多少种不个不同的邮筒，有多少种不同的投法？同的投法？4、已知、已知则方程则方程 可表示不同的圆的可表示不同的圆的个数有多少？个数有多少？3,4,6,1,2,7,8,8,9abr222()()xaybr8+7+6+5+4+3+2+1=368 7 6336 3 3 3 381 3 4 224 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理联系联系区别一区别一完成一件事情共有完成一件事情共有n类类办法，关键词是办法，关键词是“分类分类”完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤，关键词是步骤，关键词

12、是“分步分步”区别二区别二每类办法都能每类办法都能独立完成独立完成这件事情。这件事情。每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果，任何一步都任何一步都不能能独立完成不能能独立完成这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这个步骤完成了，才能完成这件事情。件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三区别三各类办法是互斥的、各类办法是互斥的、并列的、独立的并列的、独立的各步之间是相关联的各步

13、之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：分类计数与分步计数原理的区别和联系：甲地甲地丙地丙地丁地丁地乙地乙地n1=23=6n2=42=8n= n1+n2 =14 2.如图如图,该电该电路路,从从a到到b共共有多少条不有多少条不同的线路可同的线路可通电？通电？ab解解: 从总体上看由从总体上看由a到到b的通电线路可分三类的通电线路可分三类, 第一类第一类, m1 = 3 条条 第二类第二类, m2 = 1 条条 第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条 所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从a到到b共有共有 n = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。 已知二次函数已知二次函数 若若 ,则可以得到多少个则可以得到多少个不同的二次函数？其中图象过原点的二次函不同的二次函数？其