二阶线性微分方程解的结构PPT课件

1、0形形如如yayby称为二阶常系数齐次线性微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程, .,为已知常数为已知常数其中其中ba称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程22dd2dd( )( )( )( )形形如如yyP xQ x yf xxx时，时，当当0)( xf称为二阶齐次线性微分方程即称为二阶齐次线性微分方程即时，时，当当0)( xf称为二阶非齐次线性微分方程称为二阶非齐次线性微分方程)1(0)()( yxQyxPy第1页/共37页1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构定理定理 1 1 如果函数如果函数)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个的两个解解, ,那末那末22

2、11yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是任是任意常数）意常数） 问题问题: :一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy第2页/共37页注： 若在区间注： 若在区间 I 上有上有 常常数数， )()()(21xuxyxy 则函数则函数)(1xy与与)(2xy在区间在区间 I 上上线性无关线性无关. 定理定理 2 2： 如果： 如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线性的两个线性无关的特解无关的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的的通解通解. . （21, CC是任意常数）是任意

3、常数） 例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 通通解解观察有第3页/共37页2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构定理定理 3 3 设设*y是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程 )2()()()(xfyxQyxPy 的一个特解的一个特解, , Y是与是与(2)(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)(1)的的 通解通解, , 那么那么*yYy 是二阶非齐次线性微分是二阶非齐次线性微分 方程方程(2)(2)的通解的通解. . 推论推论 设设 21yy ，是非齐次方程是非齐次方程(2)(2)的解的解

4、, ,那么那么21yy 就是非齐次方程就是非齐次方程(2)(2)所对应的齐次方程所对应的齐次方程( (1 1) )的解的解. . 第4页/共37页定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函 数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . 解的叠加原理第5页/共37页定理定理 5 5 如果如果12yiy 分别分别是是方程方程 12(

5、)( )( )( )yP x yQ x yf xifx 的的解解， 其中其中12( ),( ),( ),( )P x Q xf xfx为为实实值值函数函数， i 为为虚虚单位单位。则则12,yy分别分别为为方程方程 1( )( )( )yP x yQ x yf x 与与 )()()(2xfyxQyxPy 的的解解。 第6页/共37页321,yyy都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx 又又 常数所求通解为.221xCeCx 122231yyCyyCy 例例1 1 .1622223332223221次微分方程的通解次微分方程的通解的解，求其所

6、对应的齐的解，求其所对应的齐都是微分方程都是微分方程，已知已知 xyxyxyxxexyxyyx第7页/共37页三、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上述方程, 得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根0 qyypy第8页/共37页一、定义0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式第9页/共37页1)1)有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qp

7、pr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为第10页/共37页2) 2) 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为第11页/共37页3)3)有一对共轭复根有一对共轭复根， ir 1， ir 2，xiey)(1 ，xiey)(2 )

8、0( 重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为.)sincos:(xixeix 利用欧拉公式利用欧拉公式注注第12页/共37页定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为,0442 rr解得,221 rr故所求通解为.)(221xexCCy 例例2 2第13页/共37页.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为,0522

9、 rr解得,2121ir，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3第14页/共37页例例 4 4 求求微微分分方方程程 的的通通解解 082 yyy0)2)(4(822 rrrrxxececy2241 第15页/共37页)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yYy常见类型常见类型，)(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 难点难点：如何求特解？方法方法：待定系数法.四、二阶常系数非齐次线性微分方程第16页/共37页设非齐次方程特解为xexQy

10、 )( 代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根不是特征方程的根若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可设设;)(xmexQy 整理得)()(xPexfmx 1. 型第17页/共37页是是特特征征方方程程的的重重根根若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可设设综上讨论综上讨论, )(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k.)(2xmexQxy 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可设可设;)(xmexxQy 第1

11、8页/共37页.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解特征方程, 0232 rr特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程, 得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程的通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例5 5第19页/共37页.322的通解的通解求方程求方程 xyy解解对应齐次方程通解特征方程，012 r特征根ir 21，xCxCYsincos21 不不是是特特征征方方程程的的根根，0 ，设设CBxAxy 2代入方程, 得702 CBA，722 xy于是于是原

12、方程的通解为.72sincos221 xxCxCy例例6 6第20页/共37页型型、sin)(cos)()(2xxPxxPexfnlx sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),(:)2()1( ，nlm,max .10 是单根是单根不是根不是根 iik时时或或当当xBexAexfxx sincos)( sincos21xDxDexyxk 设设特别地第21页/共37页.sin22的的通通解解求求方方程程xyyy 解解对应齐次方程通解,221xxeCeCY 不不是是特特征征根根，ii ，故故设设xBxAysincos*

13、代入原方程求得5351 BA，xxysin53cos51* 原方程通解为 .sin3cos51221xxeCeCyxx 例例7 7第22页/共37页.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐次方程通解,sincos21xCxCY ,2 不是特征方程的根不是特征方程的根ii 代入原方程求得例例8 8 ，设设xDCxxBAxy2sin2cos ，xxxy2sin942cos31 原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 第23页/共37页五、小结1.线性方程解的结构；2.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（

14、3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 第24页/共37页02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式 实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1 xrxreCeCy2121 xrexCCy1)(21 )sincos(21xCxCeyx 第25页/共37页可以是复数）可以是复数） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk ( 待定系数法求特解 )第26页/共37页思考题思考题1.求微分方程 的通解. y

15、yyyyln22 2.写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式. 3.写出微分方程 xyy2cos242 的待定特解的形式. 第27页/共37页思考题解答思考题解答, 0. 1 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令yzln 则, 0 zz特征根1 通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 第28页/共37页思考题解答思考题解答2.设 的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设 的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为0442 rr特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）*2y *1*yy

16、 CBxAx 2.22xeDx 第29页/共37页思考题解答思考题解答*2y *1*yy 则所求特解为042 rr特征根4021， rrAxy *1xCxBy4sin4cos*2 设 的特解为*1y14 yy3.原方程可化为xyy4cos14 设 的特解为*2yxyy4cos4 *2y *1*yy AxxCxB4sin4cos 第30页/共37页一、一、 验证验证21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并写出该方程的通并写出该方程的通解解 . .二、二、 证明下列函数是相应的微分方程的通解证明下列函数是相应的微分方程的通解: :1 1、),(ln2

17、12221是任意常数是任意常数ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常数是任意常数cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .练练 习习 题题 第31页/共37页三三、已已知知xexy )(1是是齐齐次次线线性性方方程程02)12()12( yyxyx的的一一个个解解, ,求求此此方方程程的的通通解解 . .四四、已已知知齐齐次次线线性性方方程程02 yyxyx的的通通解解为为xxcxcxYln)(21 , ,求求非非齐齐次次线线性性方方程程xyyxyx 2的的通通解解 . .第32页/共37页六、下列微分方程满足所给初始条件的特解六、下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. . 七、求作一个二阶常系数齐次线性微分方程七、求作一个二阶常系数齐次线性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . . 八八、设、设)(x 函数函数连续连续, ,且满足且满足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. . 第33页/共37页 第34页/共37页练习题答案练习题答案一、一、2)(21xexCCy . .三、三、)12