二阶偏微分方程与分离变量法PPT课件

1、第四章 二阶偏微分方程与分离变量法1、二阶方程的分类2、分离变量法3、特征值理论4、特殊函数的应用5、典型问题分析第1页/共66页第四章 二阶偏微分方程概述化学工程中常见的PDE对流扩散反应方程常微分方程：求通解，初值定积分常数；一阶偏微分方程：求通解，初值定任意函数；二阶偏微分方程：从问题出发确定求解方法。22(, )( )uuuau txvDrutxx抖+=+抖第2页/共66页第四章 二阶偏微分方程概述二阶导数项占优时，一般采用以下两种方法求解分离变量法：适用于有限空间区域；积分变换法：适用于无限空间区域；均化为常微分方程求解。第3页/共66页第四章二阶偏微分方程第四章二阶偏微分方程方程的

2、分方程的分类类1 二阶偏微分方程的分类二阶偏微分方程的分类令令得得0fgueuducu2buauyxyyxyxx)exp(),(YyXxyxu0222geYdXcYbXYaXxAxYXcbbaYXcYbXYaX),(222第4页/共66页第四章二阶偏微分方程方程的分类由线性代数，可通过线性变换将特征二次型化为对角型xAxxAQQxxAxT2200),(YcXaYXcaYX2baccaTTAQAQAQQA第5页/共66页第四章二阶偏微分方程方程的分类二阶方程分类：当b2ac 0时，曲线为椭圆，方程称为椭圆型方程当b2ac = 0时，曲线为抛物线, 方程称为抛物型方程当b2 ac0时，曲线为双曲线

3、，方程称为双曲型方程 第6页/共66页第四章二阶偏微分方程方程的分类 标准形式： 椭圆型方程抛物型方程 双曲型方程02222yuxu22xutu22222xuctu第7页/共66页第四章二阶偏微分方程方程的分类物理意义：椭圆型方程位势方程，描述与时间无关的定常分布；抛物型方程热传导方程，描述不可逆的发展演变；双曲型方程波动方程，描述可逆的双向波动。第8页/共66页第四章二阶偏微分方程方程的分类 定解问题的提法方程与初、边值的组合初值问题(Cauchy问题)边值问题混合问题第9页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法2 分离变量法试探问题的变量分离形式的解例1设)0(22lxxutu0),()

4、, 0(tlutu)()0 ,(xxu)()(),(tTxXtxu第10页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法变量分离，得求X(x)的非零解，通过调整参数的值TXTXla= -0TT0 XX0)()0(lXX第11页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法 ) 当0时，方程的通解c1 = c2 = 0，也即(x)0 ) 当=0时，方程的通解 c1 = c2 = 0，也即(x)0 xxececxX21)(xccxX21)(第12页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法 ) 当0时，方程通解具有如下形式 由边界条件X(0) = 0知c1 = 0, 再由 为了有非零解c20，必须sin= 0，

5、由此确定出参数 xcxcxXsincos)(210sin)(2lclX), 2 , 1(222nln第13页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法由此得变量分离解), 2 , 1(sin)(nxlnCxXnnexp)(2tlnBtTnnxlntlnAtxunnsinexp),(2第14页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法为满足初值，将解叠加由初值得解。xlntlnAtxunnsinexp),(21xlnAxnnsin)(1xdxlnxlAln0sin)(2第15页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法例2 矩形区域的Laplace方程例3 圆形区域的Laplace方程令2222211

6、0(01,02 )(1, )( )uuurrr rruf )()(),(rRru第16页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法特征值问题解得n RRrRr202 RRrRr0 )2()(nBnAnnsincos)(第17页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法由边值nnntntnrcrcececR2121( , )cossin12nnnnu rr AnBnn, ,)sincos(2),(10nbnararunnnn01(1, )(cossin)( )2nnnauanbnf第18页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法得得解。),2, 1 ,0(cos)(120ndnfan),2, 1(s

7、in)(120ndnfbn第19页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法u小结：分离变量法1、假设变量分离形式的解2、导出并求解特征值问题3、叠加成级数，满足初值或边值关键问题特征值问题能否通过调整不定参数获得齐次方程的非零解。第20页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法3 分离变量法非齐次方程与边界条件：化齐与展开1 、非齐边值的处理：迭加边值问题特解 ，化齐例1)0(22lxxutu12(0, );(, )utuu ltu=)()0 ,(xxu第21页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法令特解v(x)要求满足边值，有无穷多种选择，规范为)(),(),(xvtxwtxu220(0)

8、vxlx=12(0);()vuv lu=xluuuxv010)(第22页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法于是，问题化为w(x,t)的齐次边值问题方程化齐的要点，是要求叠加的特解v(x)既要满足边值，又要满足原微分方程，使得化齐后的问题最简单。)()()0 ,(0),(), 0(22xvxxwtlwtwxwtw第23页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法例2令022)0 ,(),(), 0()0(cxcctlctclxkcxcDtcs)(),(),(xvtxwtxusclvvkvdxvdD)()0(022第24页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法解出问题化齐为例3 环形区域上的

9、热传导方程(p207)()0 ,(0),(), 0(022xvcxwtlwtwkwxwDtwxlDkxDkecxvsexpexp1)(第25页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法方程与边值同时化齐)()0 ,(),(,), 0()(1022xxuutluutuxfxutu1022)(,)0(0)(ulvuvxfdxvd)()()0 ,(0),(), 0(22xvxxwtlwtwxwtw第26页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法2 、非齐方程的处理：级数展开难以直接分离变量，但可将所有函数按特征函数展开22( , )(0)(0, )( , )0( ,0)( )uuf x txltxut

10、u l tu xxxlnxXnsin)(第27页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法代入方程，得xlntTtxunnsin)(),(1xlntftxfnnsin)(),(1xlnxnnsin)(10sin)()()( 2221xlntftTlntTnnnn第28页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法0)()()( 222tftTlntTnnnxlnxlnTnnnnsinsin)0(11nnT)0(dftlntlntTtnnn)()(exp)exp()(0222222第29页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法u小结：分离变量法的关键特征函数级数展开问题特征函数的存在性？特征函数的正

11、交性？特征函数的完整性？在一般条件下需要从理论上予以回答。第30页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法u分离变量法的历史发展1700s弦振动方程的三角函数试探解(Tayler)2222(0)uuxltxa抖=抖0),(), 0(tlutu)()0 ,(xxu122( , )si nsi nu x taxaxllpp=+ L第31页/共66页第四章二阶偏微分方程分离变量法18001900sFourier方法无穷级数解特征值问题Fourier级数理论Fourier变换1800sStrumLiouville特征值理论分离变量法的理论基础特殊函数的应用第32页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理

12、论4 特征值问题1、正交性的定义Fourier展开nmnmdxxxyxynmban0)()()()()(1xyfxfnnnbannndxxxyxff)()()(1第33页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理论2、特征值理论定理一 存在着无穷多个实特征值定理二 当q(x)0时, 所有特征值非负 定理三 不同的所对应的特征函数带权(x)正交 定理四 任意函数f (x) 可展开为特征函数yn(x)的级数 0)()(,0)()() 0)(0)(0)()(2121bybbybayaayaxxkbxayxyxqdxdyxkdxd，第34页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理论说明1、S-L特征值方程具

13、有一般性；2、四个定理只回答了特征函数的存在性、正交性、完整性问题，可据此判断分离变量法的可行性，给出解的结构。但没有给出特征值方程的求解方法。第35页/共66页第四章二阶偏微分方程特殊函数5 特殊函数的应用 1、极坐标系与Bessel函数令)()0 ,(0),()0()(1rrutauarrurrrtu)()(),(tTrRtru第36页/共66页第四章二阶偏微分方程特殊函数得到判断：特征值存在，特征函数Rn(r)正交，完整0TT)0(0)(0)(RaRrRdrdRrdrd第37页/共66页第四章二阶偏微分方程特征函数解的构造由正交性1)()(),(nnnrRtTtru1)()(nnnrRr

14、anmnmrdrrRrR00)()(第38页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理论annanannrdrrRrrdrrRrdrrRr0020)()(1)()()(1( , )( )ntnnnu r teRrl aj-=第39页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理论求特征函数R(r)，令 ，将特征值问题化为上式是0阶Bessel方程，可用级数解法得到其解式中，J0 和Y0 分别为第一类和第二类Bessel函数rx)0(0)(02222RaRRxdxdRxdxRdx，)()()(00 xBYxAJxR第40页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理论20201( 1) ()2( )( ! )nn

15、nxJ xn=-=200211( 1)()112( )( )l n( 1)( ! )2nnnxY xJ xxnn-=-+L第41页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理论由边界条件确定特征值和特征函数得解0)(0aJ)()(0rJrRnn)(),(01rJetruntnnnannnrdrrJr00)()(1第42页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理论2、球坐标系与Legendre函数问题球形区域的稳态传热与传质分离变量，令u(r, ) = H()R(r)得到)0,0 (0sinsin12arururr), 0(),(),(uau第43页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理论特征值问题为H

16、，作变换x = cos, 化为Legendre 方程 ) 1(12ssdrdRrdrdR) 1(sinsin1ssddHddH0) 1()1(2HssdxdHxdrd第44页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理论自然边界条件由特征值理论，特征函数存在，分离变量法可行。Legendre方程的解为无穷级数，若边界上有限，必须相应的特征函数为 n阶的Legendre多顶式) 1(,) 1 (HH),2, 1 ,0(nns)()(xPxHn第45页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理论于是，问题的分离变量解为其中系数B0，A由边界条件确定nllnllnlxnlnlnnlxP22120)!2()!(

17、 !2)!22() 1()(或0(1)( , )( ) (cos )( )nnnnnnu rR r PR rA rB rqq=-+=+第46页/共66页第四章二阶偏微分方程特征值理论dPandxxPaAnnnnnnsin)(cos)(212)()(1011第47页/共66页第四章二阶偏微分方程典型问题1、球形催化剂颗粒的瞬态响应 化齐边值，令)()0 ,(0, 1), 1 ()(102xxcxctccxcxxxtcxss)(),(),(xvtxwtxc第48页/共66页第四章二阶偏微分方程典型问题S=2时，特解令得0)0( , 1) 1 (0)(1222vvvdxdvxdxdxxxyxv)()

18、(20(1)1,(0)0yyyy第49页/共66页第四章二阶偏微分方程典型问题再求齐次边值问题)sinh()sinh()()(xxxxyxv22201()(1, )0( ,0)( )( )xwwxwtxxxwwtxw xxv x第50页/共66页第四章二阶偏微分方程典型问题令 w(x, t) = X(x)T(t) , 得到特征值问题 作变换得0)0( ) 1 (022XXXxdxdXxdxdxxYxX)()( 0)0() 1 (0YYYY第51页/共66页第四章二阶偏微分方程典型问题于是), 2 , 1(,sin1,sin,22nxnxXxnYnnnxxntnAtxwnnsin)(exp),(

19、222110sin)()(2xdxnxxvxAn第52页/共66页第四章二阶偏微分方程典型问题2、管式反应器的动态行为 问题)()0 ,(01), 0() 10(1122xxcxctcxDacxcPexctcx，第53页/共66页第四章二阶偏微分方程典型问题为化齐边值，令v(x)为固定床反应器稳态解)(),(),(xvtxwtxc)exp()exp()exp()exp()(1122211122xxxvPeDaPe41122, 1第54页/共66页第四章二阶偏微分方程典型问题齐次边值问题分离变量w = X(x)T(t) ，得特征值问题)()()0 ,(0), 0(1122xvxxwxwtwDawxwPexwtwx第55页/共66页第四章二阶偏微分方程典型问题化为SturmLiouville型方程非零解Xn(x)存在，带权exp(-Pex)正交 0) 1 ( )0(01XXXXXPePePe1()0 xxddXeeXdx Pedx第56页/共66页第四章二阶偏微分方程典型问题特征函数欲得非零解，要求xxBeAexX21)(PePe41122, 1041Pe第57页/共66页第四章二阶偏微分方程典型问题令得由x