信号与系统课程设计应用MATLAB实现连续信号的抽样及重构仿真

1、 课程设计说明书 no.1应用matlab实现连续信号的抽样及重构仿真一、课程设计的目的1.熟悉抽样定理、信号的抽样与重构过程；2.通过实验观察欠采样时信号频谱的混叠现象；3.掌握抽样前后信号的频谱的变化，加深对抽样定理的理解；4.掌握抽样频率的确定方法。二、课程设计的原理1.抽样定理连续信号被抽样后，其部分信息已经丢失，抽样信号只是很小的一部分。现在的问题是能否从抽样信号中恢复出原连续信号。抽样定理从理论上回答了这个问题。抽样定理：一个频谱有限的信号，如果其频谱只占据的范围，则信号可以用等间隔的抽样值来唯一表示，而抽样间隔必须不大于（其中）或者说最低抽样频率为。该定理表明若要求信号抽样后不丢

2、失信息，必须满足两个条件：一是必须是带限信号，即的频谱在区间为有限值，其频谱函数在各处为零；二是抽样间隔不能过大，必须满足不大于，也就是抽样频率不能过低，即必须不小于。（抽样频率要足够大，抽样足够多才能恢复原信号。）可分为以下三种情况： 沈 阳 大 学 课程设计说明书 no.2(a)临界抽样频率，即时，抽样信号不发生混叠；(b)过抽样频率，即时，抽样信号不发生混叠；(c)欠抽样频率，即时，抽样信号发生混叠。 2.周期抽样 抽样过程也就是把一个连续时间函数的信号，变成具有一定时间间隔才有函数值的离散时间信号的过程。如果每次开闭的时间间隔都一样，则称为周期抽样或均匀抽样，抽样周期等于。其倒数表示在

3、单位时间内所抽取的样点数，称为抽样频率，用表示。如图1所示，给出了信号抽样原理图图1 信号抽样原理图由图1可见，其中，冲激抽样信号的表达式为： (1)其傅立叶变换为，其中。设，分别为，的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得 (2)若设是带限信号，带宽为，经过抽样后的频谱就是将在频率轴上搬移至处（幅度为原频谱的倍）。因此，当时，频谱不发生混叠；而当时，频谱发生混叠。 沈 阳 大 学 课程设计说明书 no.3一个理想抽样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列的幅值调制器，即理想抽样器的输出信号，是连续输入信号调制在载波上的结果，如图2所示。图2 信号的抽样用数学表达式描述上述调制过程，则有

4、 (3)理想单位脉冲序列可以表示为 (4)其中是出现在时刻，强度为1的单位脉冲。由于的数值仅在抽样瞬时才有意义，同时，假设 (5)所以又可表示为 (6)3.连续时间信号的重建重建即从抽样信号恢复原信号。在满足抽样定理的上述两个条件下，为了从频谱中无失真的选出，可用一截止频率的理想低通滤波器。其频率特性为。滤波器与相乘，得到的频谱即为原信号的频谱。显然，与之对应的时域表达式为 (7) 沈 阳 大 学课程设计说明书 no.4 (8) (9)将及代入式（7）得 (10)式(10)即为用求解的表达式，是利用matlab实现信号重构的基本关系式，抽样函数在此起着内插函数的作用。例：设，其为： (11)即

5、的带宽为，为了由的抽样信号不失真地重构，由时域抽样定理知抽样间隔，取（过抽样）。利用matlab的抽样函数来表示，有。据此可知： (12)通过以上分析，得到如下的时域抽样定理：一个带宽为的带限信号，可唯一地由它的均匀取样信号确定，其中，取样间隔, 该取样间隔又称为奈奎斯特间隔。 根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为: (13) 沈 阳 大 学课程设计说明书 no.5式中的抽样函数起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为抽样信号在相应时刻的定义值。利用matlab中的抽样函数来表示，有，于是，信号重构的内插公式也可表达式： (14)三、课

6、程设计内容及结果分析1.临界抽样及重构当抽样频率等于一个连续的同信号最大频率的2倍，即时，称为临界抽样. 修改门信号宽度、抽样周期等参数，重新运行程序，可以观察得到的抽样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。（1）实现程序代码 wm=1; wc=wm; ts=pi/wm;%决定抽样的频率。 ws=2*pi/ts; n=-100:100; nts=n*ts f=2*sinc(nts/pi);%决定重构图的幅值。 dt=0.0025;t=-15:dt:15;%重构图抽样间隔及横坐标的宽度。 fa=f*ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nts),1)*t

7、-nts*ones(1,length(t); t1=-15:0.25:15;%抽样图的抽样间隔及横坐标的宽度。 f1=2*sinc(t1/pi);%决定抽样图的幅值。 沈 阳 大 学课程设计说明书 no.6 subplot(121); stem(t1,f1);xlabel(kts);ylabel(f(kts);title(sa(t)=sinc(t/pi)的临界抽样信号);subplot(122);plot(t,fa)xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t)=sinc(t/pi)的临界抽样信号重构sa(t);grid;（2）运行结果及分析图3 的临界抽样及重构图 沈

8、 阳 大 学课程设计说明书 no.7结果分析：通过改变及分别改变了重构及抽样图的幅值使它们从-0.51变成了-12，又通过改变dt的值及中间的数的值改变了重构及抽样图的抽样间隔，使抽样点数增加一倍，又将subplot(211),(212)改为(121)(122)改变了图的分布，从而得到上述结果。2.的过抽样、重构及它们之间的误差当抽样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即时，称为过抽样。（1）实现程序代码wm=1;wc=1.1*wm;ts=0.7*pi/wm;ws=2*pi/ts;n=-100:100;nts=n*tsf=sinc(nts/pi);dt=0.010;t=-30:dt:30;

9、fa=f*ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nts),1)*t-nts*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-15:1:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(kts);ylabel(f(kts);title(sa(t)=sinc(t/pi)的过抽样信号);subplot(312);plot(t,fa) 沈 阳 大 学课程设计说明书 no.8xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t)=sinc(t/pi)的过抽样信号重构s

10、a(t);grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel(t);ylabel(error(t);title(过抽样信号与原信号的抽样误差error(t);（2）运行结果及分析图4 的过抽样信号、重构信号及两信号的绝对误差图结果分析：通过改变使重构信号图及误差图的横坐标由-1515变为-3030。同时改变了dt的值及中间的数的值使抽样点数减少一倍，从而得到上述结果。 沈 阳 大 学课程设计说明书 no.93.的欠抽样、重构及它们之间的误差当抽样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即时，称为欠抽样。（1）实现程序代码wm=1;wc=wm;ts=1.5*pi/wm;

11、ws=2*pi/ts;n=-100:100;nts=n*tsf=3*sinc(nts/pi);dt=0.005;t=-10:dt:10;fa=f*ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nts),1)*t-nts*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=3*sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(kts);ylabel(f(kts);title(sa(t)=sinc(t/pi)的欠抽样信号);subplot(312);plot(t,fa);xl

12、abel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t)=sinc(t/pi)的欠抽样信号重构sa(t);grid; 沈 阳 大 学课程设计说明书 no.10subplot(313);plot(t,error);xlabel(t);ylabel(error(t);title(欠抽样信号与原信号的抽样误差error(t);（2）运行结果及分析图5 欠抽样信号、重构信号及它们的误差图结果分析：通过改变，使各图的幅值发生变化，通过改变及使各图的横坐标又原来的-1515变为-1010，从而得到上述结果。4.设计过程中遇到的问题及解决方案（1）在设计过程中，如果遇到抽样信号抽样点过密的情况可通

13、过以下两种方法解决：调节横坐标的边界值（不改变抽样点个数），如：将=-15:0.5:15改为-10：0.5：10即可；调节抽样间隔（不改变横坐标边界值），如：将=-15：0.5：15改为-15：1：15即可。 沈 阳 大 学课程设计说明书 no.11（2）在设计过程中还可以通过改变subplot（）的参数值来改变图形的分布：如1中就改变了图的分布。（3）在设计过程中还可以通过改变和的值可以该变重构图、误差图和抽样图的纵坐标幅值。四、课程设计心得体会 在这次课程设计中，我们通过matlab软件编程对抽样定理进行仿真实验，抽样定理从理论上说明了通过抽样信号重构恢复原信号所要满足的条件，即()，其中

14、。当时为临界抽样，这时恰好可以恢复原信号；当为欠抽样，这时由于抽样点过少，导致原信号信息丢失过多，恢复后的信号与原信号误差较大；当为过抽样，这时由于抽样点过多，也会导致恢复后的信号与原信号产生误差。总的说来，在这次课程设计过程中我学会了很多东西, 同时对matlab软件有了进一步的了解，已经能够做到初步运用matlab软件进行编程，并解决实际问题，同时对抽样定理和信号的重构有了深一步的掌握,对老师提出的问题也基本上能独立的解决。并且这次的课程设计也使我的增加了责任感,培养了我遇到困难勇往直前的精神,也正是这些精神才使我完成了这次课程设计。总之，这次课程设计让我受益匪浅。感谢在这期间老师和同学对

15、我的帮助，感谢学校学院让我度过了一个愉快的实习期。五、参考文献1燕庆明 信号与系统教程 高等教育出版社2张明友 信号与线性系统分析 电子科技大学出版社3沈延越 信号与系统分析 科学出版社4吴大正 信号与系统分析（修订版） 高等教育出版社5邓翔宇 信号与系统（第二版） 清华大学出版社6楼顺天 李博菡 基于matlab的系统分析与设计信号处理m.西安：西安子科技大学出版社，1998.66-68 沈 阳 大 学课程设计说明书 no.127胡寿松 控制理论（经典控制理论70%；现代控制理论30%）自动控原理 国防工业版社8丁志中 叶中付 频谱无混叠采样和信号完全可重构采样j.数据采集与处理,2005,20(3)9刘波 matlab7.x的系统分析与设计信号处理m (第二版).西安电子科技出版社，2005.199-26610林茂六 尹宝智 高速采样信号数字内插理论与正弦内插算研究报,2000,28(12) 沈 阳 大 学课程设计说明书 no.131.沈延越，信号与系统分析，科学出版社2.吴大正，信号与系统分析（修订版），高等教育出版社3.董长虹. matlab信号处理与应用m.北京：国防工业出版社，2005.01。4.甘俊英. 基于matlab的信号与系统实验指导m.北京：清华大学出版社，2007.8。 5.吴大