2020_2021学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.3第2课时充要条件学案含解析新人教B版必修第一册

1、- 1 -第第 2 2 课时课时充要条件充要条件学 习 目 标核 心 素 养1.理解充要条件的概念(难点)2能够判定条件的充分、必要、充要性(重点、易混点)3会进行简单的充要条件的证明(重点、难点)1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养2通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了”主人听了，随口说了句：“该来的没有来”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了”李四听了大怒，拂袖而去问题请你用逻辑学原理解释二人离去的原因1充要条件的概念一般地，如果既

2、有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件2充要条件的判断概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件(1)若pq，但qp，则称p是q的充分不必要条件(2)若qp，但pq，则称p是q的必要不充分条件(3)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示(1)正确若p是q的充要条件，则pq，即p等价于q.(2)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论p的充要条件是q说明q是条件，p是结论拓展充要条件的传递性若p是q的充要

3、条件，q是s的充要条件，即pq，qs，则有ps，即p是s的充要条件- 2 -1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若p是r的充要条件，r是s的充要条件，则s是p的充要条件()(2)设xr r，则x1 是x31 的充要条件()(3)不等式(2x1)(x3)0 成立的充要条件是x3.()答案(1)(2)(3)2. 设xr r，则x2 的一个必要不充分条件是()ax1bx3dx2x1，但x1x2，选 a.3 “a0 且b0”是“a2b20，a，b是实数”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件c ca0 且b0 可以推出a2b20，a2b20 可以推出a0 且b

4、0.4已知集合ax|a2xa2，bx|x2 或x4，则ab的充要条件是_0a2aba24，a220a2.充要条件的判断【例 1】(教材 p34 例 3 改编)下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：x0，y0，q：xy0；(2)p：ab，q：acbc；(3)p：x5，q：x10；(4)p：ab，q：a2b2.解命题(1)中，pq，但qp，故p不是q的充要条件；命题(2)中，pq，且qp，即pq，故p是q的充要条件；命题(3)中，pq，但qp，故p不是q的充要条件；命题(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件充要条件判断的两种方法(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必

5、要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真- 3 -(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向跟进训练1在下列四个结论中，正确的有()设xr r， “x1”是“x2”的必要不充分条件；在abc中， “ab2ac2bc2”是“abc为直角三角形”的充要条件；“a2b2”是“ab的充分不必要条件”；若a，br r，则“a2b20”是“a，b不全为 0”的充要条件abcdc c对于结论，x2x1，但x1x2，故正确；对于结论

6、，由a2b20a，b不全为 0，反之，由a，b不全为 0a2b20，故正确充分条件、必要条件、充要条件的应用探究问题1记集合ax|p(x)，bx|q(x)，若p是q的充分不必要条件，则集合a，b的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示若p是q的充分不必要条件，则a b；若p是q的必要不充分条件，则b a.2记集合mx|p(x)，nx|q(x)，若mn，则p是q的什么条件？若nm，mn呢？提示若mn，则p是q的充分条件；若nm，则p是q的必要条件；若mn，则p是q的充要条件【例 2】已知命题p：2x10，命题q：1mx1m(m0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_思路点拨p

7、是q的充分不必要条件p代表的集合是q代表的集合的真子集列不等式组求解9， )因为p是q的充分不必要条件， 所以pq且qp， 即x|2x10是x|1mx1m，m0的真子集，所以m0，1m0，1m10，解得m9.- 4 -所以实数m的取值范围为9，).利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围(1)化简p，q两命题；(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；(3)利用集合间的关系建立不等式；(4)求解参数范围跟进训练2已知px|a4xa4，qx|1x3， “xp”是“xq”的必要条件，求实数a的取值范围解因为“xp”是“xq”的必要条件，所以qp.所以a41，a43，解得1a

8、5，即a的取值范围是1，5.有关充要条件的证明或求解【例 3】已知ab0，证明a2b2ab2ab0 成立的充要条件是ab1.证明先证充分性：若ab1，则a2b2ab2ab(ab)2(ab)110，即充分性成立，必要性：若a2b2ab2ab0，则(ab)2(ab)(ab)(ab1)0，ab0，ab10，即ab1 成立，综上，a2b2ab2ab0 成立的充要条件是ab1.充要条件的证明要分充分性、必要性两个方面分别证明，注意证明方向不要反了(易错点).跟进训练3求证：关于x的方程ax2bxc0 有一个根是 1 的充要条件是abc0.证明假设p：方程ax2bxc0 有一个根是 1，q：abc0.证明

9、pq，即证明必要性x1 是方程ax2bxc0 的根，- 5 -a12b1c0，即abc0.证明qp，即证明充分性由abc0，得cab.ax2bxc0，ax2bxab0，即a(x21)b(x1)0.故(x1)(axab)0.x1 是方程的一个根故方程ax2bxc0 有一个根是 1 的充要条件是abc0.知识：充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性；p的充要条件是q，则pq证的是必要性，由qp证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过

10、程都可逆，也可以直接求出充要条件方法：充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法1 “x1”是“x22x10”成立的()a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件a a当x1 时，x22x10.由x22x10, 解得x1，所以“x1”是“x22x10 成立的充要条件”. 2设实数a，b满足|a|b|，则“ab0”是 “ab0”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件c c由ab0， 得ab.又|a|b|， 得ab0； 由ab0， 得ab.又|a|b|，- 6 -得ab0.故“ab0”是“ab0”的充要条件3如果a是b的必要不充分条件，b是c的充要条件，d是c的充分不必要条件，那么a是d的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件b b根据题意得，ab，ba，bc，d