第6章IIR数字滤波器设计

1、1第第6章章 IIR数字数字滤波器的设计滤波器的设计6.1 引言引言6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法6.4 双线性变换法双线性变换法6.5 数字低通滤波器的设计数字低通滤波器的设计6.6*频率变换与数字高通、带通和带阻滤波器的设计频率变换与数字高通、带通和带阻滤波器的设计26.1 引言引言 滤波器滤波器，是，是指能够使输入信号中某些频率分量充分地衰指能够使输入信号中某些频率分量充分地衰减，同时保留那些需要的频率分量的一类系统。减，同时保留那些需要的频率分量的一类系统。 根据对不同信号的处理，滤波器可分为：根据对不同信号的处理，滤波器可分为：p模拟滤波

2、器模拟滤波器由硬件电路来实现；由硬件电路来实现；RCRR1RFC+-+p数字滤波器数字滤波器把输入序列通过一定的运算变换成所要求把输入序列通过一定的运算变换成所要求的输出序列，实质上就是一个离散时间系统。的输出序列，实质上就是一个离散时间系统。 3(1)IIR和和FIR滤波器滤波器 线性时不变系统的系统函数线性时不变系统的系统函数若上式中，除若上式中，除a0外，其余外，其余ak均为零，则均为零，则其其z反变换反变换 N0kkkM0rrr)(zazbzH M0rrr01)(zbazH M0rr0)(1)(rnbanh 长度为长度为M+1的有限长序列的有限长序列 6.1.1 滤波器的分类滤波器的分

3、类4 此时的系统称为有限长单位脉冲响应（此时的系统称为有限长单位脉冲响应（FIR，Finite Impulse Response）系统。）系统。 反之，反之，h(n)是无限长序列，系统称为无限长单位脉冲响是无限长序列，系统称为无限长单位脉冲响应（应（IIR，Infinite Impulse Response）系统。）系统。(2) 低通、高通、带通、带阻滤波器低通、高通、带通、带阻滤波器 从功能上，数字滤波器可分为低通从功能上，数字滤波器可分为低通（LP，Low Pass）、高通（）、高通（HP，High Pass）、带通（）、带通（BP，Band Pass）和带阻（和带阻（BS，Band St

4、op）四种类型。）四种类型。56pAFpDF注意：数字滤波器与模拟滤波器的区别注意：数字滤波器与模拟滤波器的区别 数字滤波器的频率响应都是以数字滤波器的频率响应都是以2为周期的，低通滤波器为周期的，低通滤波器的通频带中心处于的通频带中心处于2的整数倍处，而高通滤波器的通频带的整数倍处，而高通滤波器的通频带中心在中心在的奇数倍。一般在数字频率的主值区的奇数倍。一般在数字频率的主值区-， 描描述数字滤波器的频率响应特性。述数字滤波器的频率响应特性。7 76.1.2 性能指标描述性能指标描述 滤波器的指标通常在频域给出。数字滤波器的频响一般滤波器的指标通常在频域给出。数字滤波器的频响一般为复函数，表

5、示为：为复函数，表示为：其中，其中， 称为称为幅频响应幅频响应，表示信号通过该滤波器后各，表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。频率成分衰减情况。 称为称为相频响应，反映各频率成分通过滤波器后在时间相频响应，反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。上的延时情况。)(| )(|)( jjjeeHeH | )(| jeH)( 通带通带（允许的）（允许的）最大衰减最大衰减(1)低通滤波器的性能指标低通滤波器的性能指标 通带截止频率通带截止频率 阻带截止频率阻带截止频率 通带通带 阻带阻带p s 1| )(|1j1eH2j| )(| eH| )(|1lg2011lg20p1pjeH| )(|

6、1lg201lg20s2sjeH阻带阻带（应达到的）（应达到的）最小衰减最小衰减均匀过渡 通带下限、上限截止频率通带下限、上限截止频率 、 ；阻带截止频率（阻带截止频率（ 、 ）；）；通带频率处的衰减通带频率处的衰减 和阻带频率处的衰减和阻带频率处的衰减 。13(2)带通滤波器的性能指标带通滤波器的性能指标p1均匀过渡p2s1s2psj20|(e) |H jj20lg(e),20lg(e),ppssHH 称为称为 3dB 3dB 截止频率，截止频率，该频率处的幅度衰减：该频率处的幅度衰减：cj20lg|(e)| 3 dBcH pc当通带的最大衰减当通带的最大衰减 时，时，3dBppcs、 、

7、统称为数字滤波器的边界频率；统称为数字滤波器的边界频率；需要注意需要注意c166.1.3 设计方法设计方法 设计一个数字滤波器一般包括三个基本步骤：设计一个数字滤波器一般包括三个基本步骤： (1) 确定所设计滤波器的技术指标。确定所设计滤波器的技术指标。 (2).设计一个设计一个H(z)，使，使 (3).用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。 sspsp,f LP/HPssps2s1p2p1,f BP/BS| )(|jeH满足给定的满足给定的技术要求技术要求没有考虑相位没有考虑相位 零极点位置累试零极点位置累试 利用模拟滤波器的理论利用模拟滤波器的理论

8、 最优化设计最优化设计直接法和直接法和间接法间接法6.1.4 IIR数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法数字数字IIR滤波器设计的具体步骤：滤波器设计的具体步骤：给定数字滤波器的技术指标给定数字滤波器的技术指标 （更多）（更多）spsp, 转换成模拟滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标 （更多）（更多）spsp, 转换成模拟转换成模拟低通低通滤波器的技术指标滤波器的技术指标 得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器spsp, 设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器 )(pG)(sH)z(

9、H归一化归一化（原型原型）滤波器滤波器21第第6章章 IIR数字数字滤波器的设计滤波器的设计6.1 引言引言6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法6.4 双线性变换法双线性变换法6.5 数字低通滤波器的设计数字低通滤波器的设计6.6*频率变换与数字高通、带通和带阻滤波器的设计频率变换与数字高通、带通和带阻滤波器的设计226.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 6.2.1 为何要设计模拟低通滤波器？为何要设计模拟低通滤波器？ 由模拟滤波器设计数字滤波器，必须先将数字滤波器的由模拟滤波器设计数字滤波器，必须先将数字滤波器的设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设

10、计指标，设计出模设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指标，设计出模拟低通滤波器的原型，然后进行映射（原型变换）。拟低通滤波器的原型，然后进行映射（原型变换）。 23 （1）巴特沃斯（）巴特沃斯（Butterworth）滤波器）滤波器 通带具有最大平坦度，但从通带到阻带衰减较慢。通带具有最大平坦度，但从通带到阻带衰减较慢。01234-40-20001234-5056.2.2 常用的模拟滤波器常用的模拟滤波器主要特点主要特点：在通带和阻带都有平坦的幅频响应；在通带和阻带都有平坦的幅频响应；且从通带中心向两边的幅频响应单且从通带中心向两边的幅频响应单调下降调下降 当滤波器的阶次当滤波器的阶次 N

11、较小时，阻较小时，阻带幅频响应的下降速度较慢，带幅频响应的下降速度较慢，与理想特性相差较远；与理想特性相差较远；巴特沃斯（巴特沃斯（Butterworth）滤波器）滤波器25 （2）切比雪夫（）切比雪夫（Chebyshev）滤波器）滤波器 能迅速衰减，但通带或阻带有波纹。能迅速衰减，但通带或阻带有波纹。 （3）椭圆（）椭圆（Ellipse）滤波器）滤波器 通带和阻带等波纹。通带和阻带等波纹。01234-40-20001234-50501234-80-60-40-20001234-505主要特点：主要特点：阻带衰减特性较快阻带衰减特性较快 ；在通带或阻带具有等波纹形状的幅频响应；在通带或阻带具有

12、等波纹形状的幅频响应；型型滤波器的滤波器的幅频响应在通幅频响应在通带有波纹，而带有波纹，而阻带单调下降阻带单调下降 型型则在通带单调下降，在阻带有波纹；则在通带单调下降，在阻带有波纹； 27 （4）贝塞尔（）贝塞尔（Bessel）滤波器）滤波器 着重相频响应，着重相频响应，通带内有较好的线性相位（滤波器对所通带内有较好的线性相位（滤波器对所有频率分量具有相同的时延，即：相同的群迟延）有频率分量具有相同的时延，即：相同的群迟延）。01234-40-30-20-10001234-505*群迟延群迟延频率特性就是相位频率特性就是相位频率特性对频率的导数。频率特性对频率的导数。29 模拟滤波器幅度响应

13、常用幅度平方函数模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数 来表来表示，即示，即由于滤波器冲激响应由于滤波器冲激响应 是实函数，因而是实函数，因而 具有共轭具有共轭对称性对称性 ，所以，所以 由于由于Ha(s) 的零、极点共轭成对出现，的零、极点共轭成对出现，Ha(s)Ha(-s)的零、极点必成的零、极点必成象限对称象限对称。6.2.3 由幅度平方函数来确定传输函数由幅度平方函数来确定传输函数2| )(| jHa)()(| )(|*aa2a jHjHjH)()(a*a jHjH jssHsHjHjHjH| )()()()(| )(|aaaa2a)(a jH)(tha30 由由 确定确定Ha(s) 的方

14、法的方法 (1)由由 得到象限对称的得到象限对称的s平面函数；平面函数； (2)将将 Ha(s)Ha(-s) 因式分解，得到各个零点和极点；因式分解，得到各个零点和极点； 极点选择极点选择：为稳定，选择左半平面的极点作为：为稳定，选择左半平面的极点作为Ha(s)的的极点，右半平面作为极点，右半平面作为Ha(-s)的极点；的极点； 零点选择零点选择：没有特殊要求，可将对称零点的任意一半：没有特殊要求，可将对称零点的任意一半分配给分配给Ha(s)；如果要求最小相位延时特性，则；如果要求最小相位延时特性，则Ha(s)的零点的零点取左半平面。取左半平面。 (3)按照按照 与与Ha(s)的低频特性的对比

15、，或高频特性的低频特性的对比，或高频特性的对比，确定出增益常数的对比，确定出增益常数K0； 2| )(| jHa)()(| )(|aa2a22sHsHjHs )( jHa31 (4)由由zeros、poles、K0 得得 )()()()()(n10m100pspspszszszsKsHa 33 例例6-1 给定滤波器的幅度平方函数给定滤波器的幅度平方函数 求具有最小相位特性的传输函数求具有最小相位特性的传输函数 。 )9)(4()1(4| )(|22222 jHa)(sHa34 解：解：由于由于 是非负有理函数，它在是非负有理函数，它在j轴上的零轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，

16、将点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，将 代代入入 的表达式，可得的表达式，可得其极点为其极点为 ， ；零点为；零点为 （皆为二阶，位于虚（皆为二阶，位于虚轴上）轴上） 为了系统稳定，选择左半平面极点为了系统稳定，选择左半平面极点s=2，s=3及一对虚及一对虚轴轴共轭零点共轭零点s=j作为的零、极点，并设增益常数为作为的零、极点，并设增益常数为K0，则则2| )(| jHajs/ 2| )(| jHa)3)(3)(2)(2()1()9)(4()1()()(222222 sssssssssHsHaa2 s3 sjs 35 按照按照 和和 的低频特性或高频特性的对比可以的低频特性或高频特性的对

17、比可以确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由 的条件可得增益常数的条件可得增益常数 ，因此，因此)3)(2(1)(20 sssKsHa)(sHa)( jHa00| )(| )( jHsHasa20 K)3)(2(22)(2 ssssHa366.2.4 巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器表达式表达式 3dB处的截止频率处的截止频率 在在=0=0处有最平响应。处有最平响应。2a2c1|()|1(/)NHj c 巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器其幅度平方函数为：其幅度平方函数为：221(j )1()aNcH 当当 ， ，无衰减；，无衰减； 0|(j

18、 )| 1aH 无论无论N如何变化，滤波器的幅频如何变化，滤波器的幅频响应曲线在响应曲线在 处的衰减都是处的衰减都是3dB； c 在在 频率范围内，频率范围内，幅度幅度 随频率随频率的增的增大而单调衰减，而且阻带大而单调衰减，而且阻带的衰减速度要比通带快的衰减速度要比通带快 。0 |(j )|aH.幅度函数的特点幅度函数的特点其幅度平方函数为：其幅度平方函数为：221(j )( )()1()aaaNcHHs Hsjs21( )()1jaaNcHs Hss可知，可知， 没有零点，为全极点系统；没有零点，为全极点系统； ( )()aaHs Hs其极点为：其极点为：1211j222( 1)(j)e,

19、0,1,2,21kNNkccskN 在在 s 平面上有平面上有2N个极点，是象限对称个极点，是象限对称的，等间隔分布在半径为的，等间隔分布在半径为 的圆上（称为巴特的圆上（称为巴特沃斯圆沃斯圆)，间隔为，间隔为/N rad。c( )()aaHs Hs.极点分布极点分布.滤波器系统函数滤波器系统函数( )aHs.归一化系统函数归一化系统函数. 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤56 6.2.5 巴特沃思滤波器的巴特沃思滤波器的MATLAB实现实现 在在MATLAB信号处理工具箱中，与信号处理工具箱中，与Butterworth滤波器滤波器相关的有三个函数：相关的有三个函数： （1）n,wn=butt

20、ord(wp,ws,Rp,Rs,s)，求出给定通带，求出给定通带截止频率截止频率wp、阻带截止频率、阻带截止频率ws、通带最大衰减、通带最大衰减Rp、阻带最、阻带最小衰减小衰减Rs条件下，所需要的最小条件下，所需要的最小Butterworth模拟滤波器阶模拟滤波器阶数数n和和3dB截止频率截止频率wn。 （2）模拟低通原型滤波器设计函数）模拟低通原型滤波器设计函数buttap，调用格式，调用格式为为z,p,k=buttap(n)，其中参数，其中参数z、p、k分别为滤波器的零分别为滤波器的零点、极点和增益。点、极点和增益。57 （3）Butterworth滤波器完全设计函数，调用格式为滤波器完全

21、设计函数，调用格式为b,a=butter(n,wn,ftype,s)，其中，其中ftype为滤波器类型，为滤波器类型，缺省时表示低通或带通滤波器。缺省时表示低通或带通滤波器。b、a分别为滤波器传输函数分别为滤波器传输函数分子、分母多项式系数向量。分子、分母多项式系数向量。 例例6-3 利用利用MATLAB实现例实现例6-2所述巴特沃斯所述巴特沃斯滤波器。滤波器。 解解 MATLAB实现程序如下：实现程序如下：wp=1; ws=2; Rp=3; Rs=20;%计算满足性能指标的滤波器阶数计算满足性能指标的滤波器阶数n和和3dB截止频率截止频率wnn,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,

22、s)kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 58%设计模拟低通原型滤波器，传输函数为零点、极点和增益设计模拟低通原型滤波器，传输函数为零点、极点和增益形式形式z,p,k=buttap(n) %采用另一种方法设计模拟低通滤波器，传输函数为分子、采用另一种方法设计模拟低通滤波器，传输函数为分子、分母多项式形式分母多项式形式b,a=butter(n,wn,s)%求模拟滤波器的频率响应求模拟滤波器的频率响应db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,2*ws);%绘图绘图plot(w,db,k);axis(0,2*ws,-50,1);grid on;59仿真曲线仿真曲线kHz5p f

23、kHz10s fdB3p dB20s 626.3脉冲响应不变法脉冲响应不变法6.3.1 变换原理变换原理 数字滤波器的单位脉冲响应数字滤波器的单位脉冲响应h(n)模仿模拟滤波模仿模拟滤波器的冲激响应器的冲激响应ha(t)，使，使h(n)等于等于ha(t)的采样值的采样值，即，即h(n)ha(nT)。 设模拟滤波器的传输函数设模拟滤波器的传输函数Ha(s)只有单阶极点，只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数，则且分母的阶数高于分子阶数，则其拉普拉斯反变换其拉普拉斯反变换 NiiiassAsH1)( NitsiatueAthi1)()(63 对对ha(t)采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应采样，得

24、到数字滤波器的单位脉冲响应h(n)为为 对对h(n)取取z变换，即得到数字滤波器的系统函数变换，即得到数字滤波器的系统函数 可见，可见，s平面的极点平面的极点si映射到映射到z平面的极点平面的极点 ，而对应系数不变。而对应系数不变。 NinTsianTueAnThnhi1)()()( NiTsizeAzHi111)(Tsie64 例例6-5 利用脉冲响应不变法将模拟滤波器利用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器变换为数字滤波器 ，采样周期，采样周期 。 解：模拟滤波器的传输函数解：模拟滤波器的传输函数极点：极点： ， 。 因此，所求数字滤波器的系统函数为因此，所求数字滤波器的系统函数为2

25、332)(2 ssssHa)(zHs1 . 0 T21112332)(2 ssssssHa11 s22 s12 . 011 . 01111)( zezezH65 (1) h(n)的的z变换与变换与ha(t)的拉普拉斯变换之间的的拉普拉斯变换之间的关系关系 设模拟滤波器的单位冲激响应设模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)经理想采样经理想采样后的采样信号为后的采样信号为则则6.3.2 s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系)(tha dtenTtthdtethsHnstastaa)()()()( nnenThdtenTtthnsTasta)()()( naanTtthth)()()( )(nh

26、 比较序列比较序列h(n)的的Z变换变换 ,可得可得 nnnhHz )()z()(| )z(azsTsHHe 66 由于由于 ，将，将 代代入，得入，得因此因此 ksaajkjHTjH)(1)( js ksaajksHTsH)(1)( kejksHTHsT)(1| )z(saz)z(| )(1zln1saHjksHTTsk )(asH周期延拓周期延拓s与与z的的关系关系或或67(2) 关于关于z=esT的讨论的讨论 令令 ， 代入上式，得代入上式，得因此因此讨论：讨论：=0，r=1，表明，表明s平面平面虚轴虚轴映射为映射为z平面的平面的单单位圆位圆。 jre z js TjTjeere Ter

27、 T 68讨论：讨论： 0，r0，r1。表明。表明s左半平面左半平面映射映射为为z平面的平面的单位圆内部单位圆内部，而，而s右半平面右半平面则映射为则映射为z平平面面单位圆外部单位圆外部。Ter T 69讨论：讨论：（3）由于）由于=T ：0 /T ：0 Ter T s平面上每一条宽为平面上每一条宽为2/T的横条，都将重叠的的横条，都将重叠的映射到整个映射到整个z平面上。平面上。脉冲响应不变法不是从脉冲响应不变法不是从s平面平面到到z平面的简单代数映射关系。平面的简单代数映射关系。 706.3.3 频率混叠效应频率混叠效应 根据时域采样理论，采样序列根据时域采样理论，采样序列h(n)的的z变换

28、与模变换与模拟信号拟信号ha(t)的拉普拉斯变换之间满足如下关系的拉普拉斯变换之间满足如下关系 将将 和和 代入，得数字滤波器的频率响应代入，得数字滤波器的频率响应 数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延拓。拓。 jsT kajkTjTjHTeH)2(1)( 12sTaaz ekH zHsHsjkTT71图图6-11 脉冲响应不变法中的频率混叠现象脉冲响应不变法中的频率混叠现象72 只有当模拟滤波器的频响是带限的，且带限于只有当模拟滤波器的频响是带限的，且带限于折叠频率以内，即折叠频率以内，即有有 此时，数字滤波器的频率响应重现模拟滤波器此时，数字滤波

29、器的频率响应重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。的频率响应而不产生混叠失真。TjHa | ,0)(TTjHTeHaj | ,)(1)( 73 但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，这就不可避免的会产生混叠不可能是真正带限的，这就不可避免的会产生混叠失真。失真。 答：答：当模拟滤波器的频响在折叠频率以上处衰当模拟滤波器的频响在折叠频率以上处衰减越大时，混叠失真就越小。减越大时，混叠失真就越小。 问题：问题：要求混叠要求混叠失真小，对模拟滤波失真小，对模拟滤波器的频响有何要求？器的频响有何要求？ 混叠混叠TTfs )(746.3.

30、4 优缺点优缺点优点：优点： (1) 数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，所以滤波器的冲激响应，所以时域逼近良好时域逼近良好。 (2) 频率变化是线性关系频率变化是线性关系=T，频率特性形，频率特性形状基本上与模拟滤波器相同（如果混叠不严重）。状基本上与模拟滤波器相同（如果混叠不严重）。缺点：缺点： 会产生会产生频率混叠现象频率混叠现象。只适合带限滤波器（如。只适合带限滤波器（如低通、带通滤波器）的设计，不适合高通、带阻滤低通、带通滤波器）的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。波器的设计。75 例例6-6 利用脉冲响应不变法设计一个数字巴特

31、利用脉冲响应不变法设计一个数字巴特沃思低通滤波器，通带截止频率沃思低通滤波器，通带截止频率fp=0.1kHz，通带最，通带最大衰减大衰减Rp=1dB，阻带截止频率，阻带截止频率fs=0.3kHz，阻带最小，阻带最小衰减衰减Rs=10dB。研究不同采样频率对所设计数字滤。研究不同采样频率对所设计数字滤波器频率响应的影响。设采样频率波器频率响应的影响。设采样频率fs分别取分别取1kHz，2kHz，4kHz。 解解 MATLAB部分程序如下：部分程序如下：wp=2*pi*100;ws=2*pi*300;Rp=1;Rs=10;n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)b,a=butter(

32、n,wn,s)76%求模拟滤波器的频率响应求模拟滤波器的频率响应db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,500*2*pi);plot(w/(2*pi),db,LineWidth,2,Color,k);axis(0,500,-20,1);hold on%脉冲响应不变法脉冲响应不变法fs=1000;bz,az=impinvar(b,a,fs);%求数字滤波器的频率响应求数字滤波器的频率响应db,mag,pha,grd,w=freqz_m(bz,az);plot(0.5*fs*w/pi,db, r);axis(0,500,-20,1);hold off77运行结果运行结果 786.4双线性

33、变换法双线性变换法796.4.1 变换原理变换原理 先先将将s平面压缩成平面压缩成s1平面上一个宽度为平面上一个宽度为2/T的的水平带状区域水平带状区域，然后然后通过通过z=es1T将这个带状区域映将这个带状区域映射到整个射到整个z平面平面，实现，实现s平面到平面到z平面的单值映射。平面的单值映射。80引入正切变换引入正切变换 将将s平面的虚轴平面的虚轴变换到变换到s1平面虚轴平面虚轴/T之间之间 延拓到整个延拓到整个s平面和平面和s1平面，令平面，令 ， ，则得则得221TtgT 222211111122cos2sin2TjTjTjTjeeeeTTTjTj js11 js222211112T

34、sTsTsTseeeeT TsTseeT11112 s81 再将再将s1平面映射到平面映射到z平面，应用平面，应用 ，从而实，从而实现了现了s平面到平面到z平面的单值映射。平面的单值映射。 这种这种s平面单值映射为平面单值映射为z平面的映射关系称作平面的映射关系称作双双线性变换法线性变换法。Tsez1 11112 zzTsTsTseeTs11112 sTsTz /2/2简单的代数关系简单的代数关系 或或82 用双线性变换法设计数字滤波器时，在得到相应用双线性变换法设计数字滤波器时，在得到相应模拟滤波器的系统函数模拟滤波器的系统函数Ha(s)后，后，只要将相应的变换只要将相应的变换关系代入关系代

35、入Ha(s)，即可得到数字滤波器的系统函数：即可得到数字滤波器的系统函数：11z1z12a| )()z( TssHH836.4.2 模拟频率和数字频率之间的关系模拟频率和数字频率之间的关系 s平面上平面上与与z平面的平面的成成单值映射单值映射非线性正切非线性正切关系（关系（可以避免混叠可以避免混叠），在零频附近，），在零频附近，和和变换变换关系近似于线性，关系近似于线性，随着随着的增加，表现出严重非线的增加，表现出严重非线性性 （频率失真频率失真）。）。22221 tgTTtgT 846.4.3 优缺点优缺点优点：优点： 消除了频率混叠现象，可适用于低通、高通、消除了频率混叠现象，可适用于低通

36、、高通、带通或带阻等各种类型数字滤波器的设计。带通或带阻等各种类型数字滤波器的设计。缺点：缺点： 与与之间呈非线性关系，引入了非线性频率之间呈非线性关系，引入了非线性频率失真。失真。85图图6-15 理想微分器经双线性变换后幅频响应产生畸变理想微分器经双线性变换后幅频响应产生畸变 86 双线性变换法适合双线性变换法适合分段常数分段常数特性滤波器的设特性滤波器的设计。分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数计。分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生型数字滤波器，但临界频率点产生畸变畸变。 这种频率的畸变，可通过频率的这种频率的畸变，可通过频率的预畸变预畸变加以校正

37、加以校正。876.4.4 预畸变预畸变 预畸变就是预畸变就是将临界模将临界模拟频率事先加以畸变拟频率事先加以畸变，然，然后经变换后正好映射到所后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。需要的数字频率上。例例6-76-7 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法将试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法将的模拟滤波器转换成数字滤波器。解：极点s= -利用脉冲响应不变法，数字滤波器的系统函数H1(z)为saasHa)(111)(zeazHaT利用双线性变换法，数字滤波器的系统函数H2(z)为12111121)1 (112)(zazazzTaazH22221aTaTaaTaTa，设设a=1000，T0.001

38、和和0.002，H1(z)和和H2(z)的归一的归一化幅频率性分别如图化幅频率性分别如图6-23所示。所示。图6-23数字滤波器H1(z)和H2(z) 的幅频特性90 例：例：设计一个数字滤波器来处理模拟信号，使设计一个数字滤波器来处理模拟信号，使得频率处于得频率处于00.2kHz之间的信号可以通过，而处于之间的信号可以通过，而处于0.3kHz之外的信号不能通过，设采样间隔之外的信号不能通过，设采样间隔T=1mS（采用双线性变换法）。（采用双线性变换法）。 分析：分析：根据题目要求，应设计一个低通滤波根据题目要求，应设计一个低通滤波器，滤波器的边界频率器，滤波器的边界频率 400102 . 0

39、23p 600103 . 023s 91当采用数字滤波器来处理模拟信号时当采用数字滤波器来处理模拟信号时22 tgT T kHz3 . 0/kHz2 . 00kHz2 . 00kHz3 . 0/kHz2 . 0 6 . 0/4 . 00 6 . 0/4 . 0926.4.5 利用利用AF设计设计IIR数字低通滤波器的步骤数字低通滤波器的步骤 (1)确定数字低通滤波器（确定数字低通滤波器（LPDF）的性能指标）的性能指标;(2)将将LPDF指标转换为指标转换为LPAF的性能指标（主要指的性能指标（主要指边界频率边界频率）; 脉冲响应不变法：脉冲响应不变法： 双线性变换法：双线性变换法：(3)设计

40、设计LPAF;(4)将将)()(zHsHaT 22 tgT 6.5 数字低通滤波器的设计数字低通滤波器的设计p无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法是先设计一个合适的模拟滤波器，然后采用脉冲响应不变法或双线性变换法将其变成数字滤波器。依据6.26.4节的讨论，下面总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。 (1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。 (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。这里主要是将边界频率p和s转换成模拟的边界频率p和s。对p和s指标不作变化。 如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为

41、如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为 T)21tan(2T如果采用双线性变换法，边界频率要先预畸变，转换关系为如果采用双线性变换法，边界频率要先预畸变，转换关系为 (3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。设计方法及设计步骤参考本章6.2节。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。如果采用脉冲响应不变法如果采用脉冲响应不变法 11zeAssATsiiii如果采用双线性变换法如果采用双线性变换法11112)()(zzTsasHzH(5)画出频率响应H(ej)=H(z) ,校核是否满足设计指标。 jez采样间隔采样间隔T的选择的选

42、择p如采用脉冲响应不变法，为避免产生频率混叠现如采用脉冲响应不变法，为避免产生频率混叠现象，要求所设计的模拟低通带限于象，要求所设计的模拟低通带限于/T之间，由之间，由于实际滤波器都有一定宽度过滤带，可选择于实际滤波器都有一定宽度过滤带，可选择T满满足公式足公式|s|/T, ,即认为混叠现象较小，可达到要即认为混叠现象较小，可达到要求。可见此时求。可见此时T选择较小值有利。选择较小值有利。 例例6-8：设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于于0.2rad时，容许幅度误差在时，容许幅度误差在1dB以内；在频率以内；在频率0.3到到之间的阻带衰减大于之间的阻

43、带衰减大于15dB。指定模拟滤波。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应脉冲响应不变法不变法和和双线性变换法双线性变换法设计滤波器。设计滤波器。 解：(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。数字低通的技术指标为p=0.2rad, p=1dBs=0.3rad, s=15dB模拟低通的技术指标为(设T=1 s)p=0.2rad/s，p=1dB，s=0.3rad/s，s=15dB设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。spspggkN115 . 12 . 03 . 0pssp092. 01101101 . 01 . 0spspk88

44、4. 55 . 11092. 01ggNp取N=6。为求3dB截止频率c，将p和p代入教材(6.2.19)式，得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。) 1932. 1)(1414. 1)(15176. 0(1)(222pppppppHap去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s) )4945. 03585. 1)(4945. 09945. 0)(4945. 03640. 0(12093. 0)(222sssssssHap根据阶数N=6,查教材表6.2.1，得到归一化传输函数为 验证设计的数字滤波

45、器是否达到设计指标。将z=ej代入系统函数H(z)表示式，计算幅度响应|H(ej)|和相位响应arg|H(ej)|, 如图6-24所示。 2112112112570. 09972. 016304. 08558. 13699. 00691. 111454. 11428. 26949. 01297. 014466. 02871. 0)(zzzzzzzzzzH用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。 图6-24 脉冲响应不变法设计的6阶数字巴特沃斯滤波器的频率响应(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。数字低通技术指标仍不变数字低通技术指标仍不变模拟低通的技术指标为模拟低通的技术指标为( (设设T=1)T=1)p p