2021高三数学北师大版理一轮课后限时集训：51 圆的方程 Word版含解析

1、圆的方程建议用时：45分钟一、选择题1已知方程x2y2kx2yk20所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为()a(1,1)b(1,0)c(1，1)d(0，1)d由x2y2kx2yk20知所表示圆的半径r，要使圆的面积最大，须使半径最大，所以当k0时，rmax1，此时圆的方程为x2y22y0，即x2(y1)21，所以圆心为(0，1)2以(a,1)为圆心，且与两条直线2xy40,2xy60同时相切的圆的标准方程为()a(x1)2(y1)25b(x1)2(y1)25c(x1)2y25dx2(y1)25a由题意得，点(a,1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r.，解得a1.r，所

2、求圆的标准方程为(x1)2(y1)25.3设p(x，y)是曲线x2(y4)24上任意一点，则的最大值为()a.2bc5d6a的几何意义为点p(x，y)与点a(1,1)之间的距离易知点a(1,1)在圆x2(y4)24的外部，由数形结合可知的最大值为22.故选a.4动点a在圆x2y21上移动时，它与定点b(3,0)连线的中点的轨迹方程是()a(x3)2y24b(x3)2y24c(2x3)24y21d2y2c设中点m(x，y)，则动点a(2x3,2y)点a在圆x2y21上，(2x3)2(2y)21，即(2x3)24y21.故选c.5过三点a(1,3)，b(4,2)，c(1，7)的圆交y轴于m，n两点

3、，则|mn|()a2b8c4d10c设圆的方程为x2y2dxeyf0，则解得圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，m(0，22)，n(0，22)或m(0，22)，n(0，22)，|mn|4，故选c.二、填空题6设p是圆(x3)2(y1)24上的动点，q是直线x3上的动点，则|pq|的最小值为_4如图所示，圆心m(3，1)与直线x3的最短距离为|mq|3(3)6，又圆的半径为2，故所求最短距离为624.7圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为_(x2)2(y1)21设对称圆的方程为(xa)2(yb)21，圆心(1,2)关于直线yx的对称点为(2,1)，故对称圆

4、的方程为(x2)2(y1)21.8圆c的圆心在x轴上，并且经过点a(1,1)，b(1,3)，若m(m，)在圆c内，则m的范围为_(0,4)设圆心为c(a,0)，由|ca|cb|得(a1)212(a1)232.所以a2.半径r|ca|.故圆c的方程为(x2)2y210.由题意知(m2)2()210，解得0m4.三、解答题9已知m(x，y)为圆c：x2y24x14y450上任意一点，且点q(2,3)(1)求|mq|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解(1)由圆c：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心c的坐标为(2,7)，半径r2.又|qc|4，|mq|max426，|

5、mq|min422.(2)可知表示直线mq的斜率k.设直线mq的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由直线mq与圆c有交点，所以2，可得2k2，的最大值为2，最小值为2.10.如图，等腰梯形abcd的底边ab和cd长分别为6和2，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆e的方程；(2)若线段mn的端点n的坐标为(5,2)，端点m在圆e上运动，求线段mn的中点p的轨迹方程解(1)由已知可知a(3,0)，b(3,0)，c(，3)，d(，3)，设圆心e(0，b)，由|eb|ec|可知(03)2(b0)2(0)2(b3)2，解得b1.所以r2(03)2(10)210.所以圆的方程为x2(y1)210.

6、(2)设p(x，y)，由点p是mn中点，得m(2x5,2y2)将m点代入圆的方程得(2x5)2(2y3)210，即22.1(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于a，b两点，点p在圆(x2)2y22上，则abp面积的取值范围是()a2,6b4,8c，3d2，3a圆心(2,0)到直线的距离d2，所以点p到直线的距离d1，3根据直线的方程可知a，b两点的坐标分别为a(2,0)，b(0，2)，所以|ab|2，所以abp的面积s|ab|d1d1.因为d1，3，所以s2,6，即abp面积的取值范围是2,62若直线ax2by20(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为()

7、a1b5c4d32d由题意知圆心c(2,1)在直线ax2by20上，2a2b20，整理得ab1，(ab)33232，当且仅当，即b2，a1时，等号成立的最小值为32.3已知圆c截y轴所得的弦长为2，圆心c到直线l：x2y0的距离为，且圆c被x轴分成的两段弧长之比为31，则圆c的方程为_(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22设圆c的方程为(xa)2(yb)2r2，则点c到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知或故所求圆c的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.4已知以点p为圆心的圆经过点a(1,0)和b(3,4)，线段ab的垂直平分线交圆p于点c和d，且|cd|

8、4.(1)求直线cd的方程；(2)求圆p的方程解(1)由题意知，直线ab的斜率k1，中点坐标为(1,2)则直线cd的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心p(a，b)，则由点p在cd上得ab30.又因为直径|cd|4，所以|pa|2，所以(a1)2b240.由解得 或 所以圆心p(3,6)或p(5，2)所以圆p的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.1(2019厦门模拟)设点p(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点a(2,0)，b(2,0)，则的最大值为_12由题意，知(2x，y)，(2x，y)，所以x2y24，由于点p(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x

9、2(y3)21，故x2(y3)21，所以(y3)21y246y12.易知2y4，所以，当y4时，的值最大，最大值为641212.2. 在平面直角坐标系xoy中，曲线：yx2mx2m(mr)与x轴交于不同的两点a，b，曲线与y轴交于点c.(1)是否存在以ab为直径的圆过点c？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过a，b，c三点的圆过定点解由曲线：yx2mx2m(mr)，令y0，得x2mx2m0.设a(x1,0)，b(x2,0)，可得m28m0，则m0或m8，x1x2m，x1x22m.令x0，得y2m，即c(0,2m)(1)若存在以ab为直径的圆过点c，则0，得x1x24m20，即2m4m20，所以m0(舍去)或m.此时c(0，1)，ab的中点m即圆心