柯西积分公式和解析函数的高阶导数

1、一、解析函数的一、解析函数的cauchycauchy积分公式积分公式二、解析函数的高阶导数定理二、解析函数的高阶导数定理1.1.问题的提出问题的提出 . , 0中中一一点点为为为为一一单单连连通通区区域域设设dzd ,d)( 0 czzzzf一一般般不不为为零零所所以以 .)( , )( 00不不解解析析在在那那末末内内解解析析在在如如果果zzzzfdzf 根据根据闭路变形原理闭路变形原理知知, 该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线c的变化而改变的变化而改变, 求这个值求这个值. .0的闭曲线的闭曲线内围绕内围绕为为zdc一、解析函数的一、解析函数的cauchycauchy积分公式积分公式,

2、, 00 zzzc的正向圆周的正向圆周半径为很小的半径为很小的为中心为中心取作以取作以积分曲线积分曲线 , )( 的连续性的连续性由由zf , )( 0处的值处的值接近于它在圆心接近于它在圆心的缩小而逐渐的缩小而逐渐的值将随着的值将随着上函数上函数在在zzfc )(.d)( d)(000缩缩小小将将接接近近于于 cczzzzfzzzzf czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfc 2.2.cauchy积分公式积分公式 , , , , )( 0那那末末内内任任一一点点为为于于它它的的内内部部完完全全含含闭闭曲曲线线内内的的任任何何一一条条正正向向简简单单为为内内处处处处解解析

3、析在在区区域域如如果果函函数数czddcdzfd 0zccauchy积分公式积分公式 czzzzfizf.d)(21)( 00定理定理1 1证明证明：以以 为心作一完全包含于为心作一完全包含于 内的圆盘内的圆盘 , ,并且并且记其边界为圆记其边界为圆 . .在在 上，挖去圆盘上，挖去圆盘 , ,余下的点余下的点集是一个闭区域集是一个闭区域 . .在在 上上 函数解析函数解析, ,由柯西积分定理有：由柯西积分定理有：在这里沿在这里沿 的积分是按照的积分是按照 区域的正向取的，沿区域的正向取的，沿 的积的积分是按正向取的分是按正向取的, ,即逆时针方向即逆时针方向. .以下我们证明：以下我们证明：

4、0zd0c1c2cc0zd|:|0zzk|:|0zzcdkkddd0)(zfdzfdzfcc00)()(cdc)(2)(00zifdzfc 记记 由柯西积分定理知：由柯西积分定理知： 是个不依赖于是个不依赖于 的常数，从而的常数，从而我们我们证明证明由于由于和和 在在z z0 0 是连续的，所以对于任意的是连续的，所以对于任意的 ，可以找到，可以找到dzfic0)(idzfic00)(lim)(2)(lim000zifdzfc)233(dzzffzifdzfcc0000)()()(2)()(zf0 使得当使得当 ， 时，有时，有从而当从而当c2| )()(|0zff| )()(| )(2)(|

5、0000dzzffzifdzfcc从而从而故故于是证得于是证得 称为称为积分基本公式积分基本公式或或柯西积分公式柯西积分公式 d定理定理1 1对于由对于由 条围线所围成的复连通区域条围线所围成的复连通区域仍然有效仍然有效定理定理1 1从揭示解析函数的性质、表示解析函数及从揭示解析函数的性质、表示解析函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示提供计算积分的方法等三方面给我们以启示定理定理1 1为我们提供了计算如（为我们提供了计算如（* *）式左端的积分的）式左端的积分的方法方法这类积分的特征是这类积分的特征是: 积分路径是围线积分路径是围线, 被积函数为被积函数为一分式一分式, 它在积分路径内

6、部只含一个奇点它在积分路径内部只含一个奇点, 且该奇点且该奇点是使分母是使分母 为零的点为零的点, 而在积分路径上无被积而在积分路径上无被积函数的奇点函数的奇点 （*）关于关于cauchy积分公式的说明积分公式的说明: : 把函数在把函数在c内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的 值表示值表示. （这是解析函数的一个重要特征）（这是解析函数的一个重要特征）(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个而且给出了解析函数的一个 积分表达式积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具这是研究

7、解析函数的有力工具)例例1 1解解 44.d3211)2( ;dsin(1) zzzzzzzz求求下下列列积积分分 4dsin(1)zzzz , sin)( 在在复复平平面面内内解解析析因因为为zzf , 4 0内内位位于于 zz 4dsinzzzz; 0 由由cauchy积分公式积分公式0sin2 zzi 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 例例2 2 2.d1 zzzze计计算算积积分分解解 , )( 在复平面内解析在复平面内解析zezf , 2 1内内位于位于 zz由由cauchy积分公式积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 例例3

8、 3 计算积分计算积分 解解 首先，识别积分的类型它是具有（首先，识别积分的类型它是具有（*）式左端积分）式左端积分的特征的那类积分的特征的那类积分其次，将所求积分与（其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同由此想）式左端的积分相同由此想到利用（到利用（*）式计算积分）式计算积分最后，经验证，所求积分满足最后，经验证，所求积分满足定理定理1的条件，于是，的条件，于是，由（由（*）式得）式得解解 首先，识别积分类型它是具有（首先，识别积分类型它是具有（*）式左端积分的特）式左端积分的特征的那类积分征的那

9、类积分其次，将所求积分与（其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较，在形式）式左端的积分比较，在形式上是不一样的但是，如果将它变形为上是不一样的但是，如果将它变形为例例4 4 计算积分计算积分 那么在形式上与（那么在形式上与（*）式左端的积分一样由此利用（）式左端的积分一样由此利用（*）式计算式计算最后，经验证所求积分满足最后，经验证所求积分满足定理定理1的条件，于是由（的条件，于是由（*）式得式得例例5 5计算积分计算积分22d1zzzz 被积函数在积分路径内部含有两个奇点被积函数在积分路径内部含有两个奇点1z与与1z211:,211:21zczc21d1d1d12222cczzzzzzzz

10、zz作作，有，有计算上式右端两个积分计算上式右端两个积分 11d11d12cczzzzzzz11 i2zzzi22d11d12cczzzzzzz11 i2zzzii2d122zzzz故故观察下列等式观察下列等式 问题：问题： 解析函数的导函数一定为解析函数？解析函数的导函数一定为解析函数？ 若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？ 内解析，内解析，的在单连通区域的在单连通区域设函数设函数dzf )( 曲线，曲线，的一条可求长的正向的一条可求长的正向围绕围绕内内为为jordanzdc 0，的的内内部部全全含含于于而而且且它它d : )(0阶导数为阶导数为处的处

11、的在在则则nzzf), 2 , 1( d)()(2!)(100)( nzzzzfinzfcnnd 0zc高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用: : 不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在于而在于通过求导来求积分通过求导来求积分. .二、解析函数的高阶导数定理定理定理2 2证证 利用数学归纳法证明该定理利用数学归纳法证明该定理设设 ，证上式成立，即证，证上式成立，即证 (1)欲证欲证(1)式，只须证式，只须证为此，设为此，设 c 的长度为的长度为 ， 在在c 上满足上满足 ，令，令由定理有由定理有于是于是由此有由此有故故即即 设设 时，题设式子成立，证时，题设式子成立，证 时，时，

12、题设式子成立，即证题设式子成立，即证d1c2cz0c 假设（假设（3-3-33-3-3）当）当 时成立。时成立。kn 设以设以 为心，以为心，以 为半径的圆盘完全包含在为半径的圆盘完全包含在 内，并且在这圆盘内取内，并且在这圆盘内取 使得使得 ，那么当那么当 时，时，zd2dhzdh |0dhzdz| ,|c 那么那么dzfikhzfhzfkkk2)()()()(2)!1()()(dzfikdhzfikhkk11)()(2!)()(2!1dzfikk2)()(2)!1(2112)()(2)!1()()()()(1()(2!kkkkzdfikdzhzhohzkfihk)()(1)()(1)(2)

13、!1(21hodzzhzfikkk533 由此可以证明：当由此可以证明：当 ， 的右边趋于零。于是（的右边趋于零。于是（3-3-33-3-3）当）当 时成立。时成立。证毕。证毕。0h5331 kn由与证得定理由与证得定理 推论：推论： 若函数若函数 在点在点 解析，则存解析，则存在点在点 的一个邻域的一个邻域 ，使得在该邻域内，使得在该邻域内 有有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数 和和 的各阶偏导数不仅存在而且都连的各阶偏导数不仅存在而且都连续。续。 证明：证明： 由函数在点由函数在点 解析知：可作一圆盘解析知：可作一圆盘使得使得

14、 在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理2。iyxvyxuzf),(),()()(zf0z0z|0zz),(yxuu ),(yxvv 0z|0zz)(zf例例6 6计算积分计算积分解：由解：由高阶导数公式高阶导数公式1134d) 1(zzzz141134)(! 2i2d) 1( zzzzzzi12解解 首先，识别积分的类型它是具有（首先，识别积分的类型它是具有（*）式左端积分的）式左端积分的特征的那类积分特征的那类积分 其次，将所求积分与（其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（所求积分在形式上与（*）

15、式左端的积分相同由此想到）式左端的积分相同由此想到用（用（*）式计算积分）式计算积分 最后，经验证，所求积分满足最后，经验证，所求积分满足定理定理2的条件，由（的条件，由（*）式得式得例例7 7计算积分计算积分例例8 8 （1 1） （2 2）1| 1|23) 1(zzdz1| 1|31coszzzdz1z1| 1|z0)re(z221) 1()(zzzf1| 1|z94) 1 (2) 1()() 1(11| 1|211| 1|23iifzdzzfzdzzz解解 （1 1） 函数函数 的奇点的奇点 在圆在圆 的内部，而其它的两个奇点在左半平面的内部，而其它的两个奇点在左半平面 ，从而，从而在该

16、圆的外部。于是函数在该圆的外部。于是函数 在闭圆盘在闭圆盘 上解析，由上解析，由定理定理2 2 可得：可得：231) 1(1)(zz1)(1cos)(232zzfzzz1cos)(22zzzzf1| 1|z31cos2) 1 (21)(1cos21| 1|21| 1|3iifzdzzfzzdzzz（2 2）同理）同理 其中其中在闭圆盘在闭圆盘 上解析，因此上解析，因此例例9 9.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求求积积分分解解 , 1 )1(3在在复复平平面面内内解解析析函函数数 z , 2 10内内在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32

17、 zzi;2 i cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 12dcos)2(zzzzze , cos 在在复复平平面面内内解解析析函函数数zez , 1 00内内在在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 典型例题典型例题例例.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 内内解解析析在在因因为为 izzf,0iz 由由cauchy积分公式积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizz

18、izizzi )(122212ii . i 例例解解).1( ,d173)( , 3 222ifzzfyxcc 求求表表示示正正向向圆圆周周设设 根据根据cauchy积分公式积分公式知知, , 内内时时在在当当czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1 内内在在而而ci ).136(2)1( iif 所所以以例例;211 (1): ,d14sin 2 zczzzc其中其中计算积分计算积分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 例例;211 (2): ,d14sin 2 zczz

19、zc其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解 22d14sin)3(zzzz由由复合闭路定理复合闭路定理, 得得例例. 2 (3): ,d14sin 2 zczzzc其其中中计计算算积积分分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 例例解解 czczzezzzrzc.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225为为正正向向圆圆周周其其中中计计算算下下列列积积分分 , 1 )1(cos )1(5处不解析处不解析内内在在函数

20、函数 zczz , cos 内处处解析内处处解析在在但但cz cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 czzzd) 1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22处处不不解解析析内内的的在在函函数数izczez 1c2cxyo ici , 1cic为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周内内以以在在 , 2ci为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周以以 , , )1( 2122围围成成的的区区域域内内解解析析在在由由则则函函数数ccczez 根据根据复合闭路原理复合闭路原理 czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222czczzzezze 1d)1(22czzze 1d)()(22czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei1c2cxyo ici 2d)1( 22czzze同同理理可可得得,2)1( iei czzzed)1( 22 2)1(iei 2)1(iei于是于是)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i).1cos1(sin i例例解解) (.d 1为整数为整数求积分求积分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由由cauchy 积分定理积分定理得得 1; 0dznzzze, 1)2( n