全微分方向导数与梯度课件

1、全微分方向导数与梯度第四节 全微分梯度全微分方向导数与梯度 我们以二元函数为主, 进行讲解, 所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中.一. 全微分全微分方向导数与梯度回忆一元函数的微分 , 0使得有关的实数若存在仅与Ax)o( xxAy)( , )( 0 xfxAxxf为函数处可微在点则称函数且在点处的微分 ,xxxxfyd , d)(d可微可导全微分方向导数与梯度运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.一元函数的增量多元函数的全增量全微分方向导数与梯度回忆一元微分的几何意义OxyyDydxxdxxx)(xfy 一元: 用切线上的增量近似曲线上的增量. 多元: 用

2、切平面上的增量近似曲面上的增量.T全微分方向导数与梯度应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量yx ,:zybxayxfyyxxfz ),() ,(, ,无关的常数和是与yxba. 应是一个无穷小量全微分方向导数与梯度二元函数全微分的定义)U(00XXX时, 若函数在点 X0 处的全增量可则称函数在点 X0 处可微, xazyb)o(22yxzdybxa设函数)(Xfz 在点),(000yxX 的某一邻域称为函数在点 X0 处的全微分, 其中, a , b 是与DX)U(0X内有定义, 当0X获得增量, ),(yxX且表示为 0有关的常数.无关,仅与X全微分方向导数与梯度全微分概念的极限形式0

3、)(lim2200yxybxazyx0|)(lim 00Xybxazyx或22yx|X其中全微分方向导数与梯度如果函数)(Xf在区域中的 每一点均可微, 则称函数在区域 上可微 .函数在区域上的可微性全微分方向导数与梯度可微连续可导? 在多元函数中, 三者的关系如何？全微分方向导数与梯度可微：xazyb)o(22yx连续：0lim00zyx全微分方向导数与梯度函数)(Xf在点 X0 处可微,则必在点 X0 处连续 .全微分方向导数与梯度可微连续可导?在多元函数中, 可微连续全微分方向导数与梯度可微与可导的关系 (可微的必要条件)定理若),(yxfz 在点),P(yx处可微,可微：xazyb)o

4、(22yx全微分方向导数与梯度可微与可导的关系 (可微的必要条件)定理则其两个偏导数,xzyz均存在, 且若),(yxfz 在点),P(yx处可微,yyzxxzzdddyyzxxzzd全微分方向导数与梯度证若函数可微, 则)o(22yxybxaz则取的任意性由 , 0 , , yyx) | o(xxazzxaxxxaxzyxxyx|)o(|limlim0000即, axz同理, 取. , 0byzx得全微分方向导数与梯度可微连续可导在多元函数中, 可微可偏导全微分方向导数与梯度可微连续可导在多元函数中, 可微可偏导在多元函数中, 可偏导可微?全微分方向导数与梯度函数0 0 0 ),(22222

5、2yxyxyxxyyxf在点(0, 0)处连续, 且有有界的偏导数, 但不可微.例1 该例留给学生课后研讨 参考书：高等数学中的反例 朱 勇等编 华中工学院出版社 1986年 p 120130全微分方向导数与梯度逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导OkOk全微分方向导数与梯度定理设)(Xfz 在)U(0X内有定义, 可偏导.若xzyz,在点0X处连续, 则函数 f ( X ) 在点 X0 处可微.二元函数可微的充分条件全微分方向导数与梯度证要证明函数 f ( X ) 在点 X0 处可微, 即要证利用微分中值定理)(,(),(),(0100 xxyfyxfyxfx)(,(020yyxfyy

6、yyxfxxyxfz ),( ),(0000)o(22yx由偏导数的连续性xyxfxyfyyxx ),( ),(lim00100全微分方向导数与梯度故xyxfxyf ),( ),(001同理yyxfyxf ),( ),(0020其中,为该极限过程中的无穷小量.从而, 函数的全增量yyyxfxxyxfz ),( ),(0000yx全微分方向导数与梯度又由夹逼定理220yxyx0| 这一步是怎 么得来的 ？故即函数 f ( X ) 在点 X0 处可微.)o(22yx0000(,)(,) fxyfxyzxyxy全微分方向导数与梯度如果函数)(Xfz 在区域中具有连续偏导数xz和yz, 则称函数. )

7、()(1CXf)(Xf为区域1C中的类函数 , 记为当不强调区域时, 记为.)(1CXf全微分方向导数与梯度二. 全微分的计算 请看书 P28 请看书 P28全微分的计算全微分的计算全微分方向导数与梯度则处可微在点设函数 , )( ),( XXgXf)(d)(d)()(d(XgXfXgXf)( )(d)(d(RXfXf)(d)()(d)()()(d(XgXfXfXgXgXf0)(g( )()(d)()(d)()()(d2XXgXgXfXfXgXgXf全微分方向导数与梯度例2.d , ) 1 , 2 , 2(uxuzy求设解zzuyyuxxuudddd) 1 , 2 , 2() 1 , 2 ,

8、2()(zyxxxu4) 1 , 2 , 2(1zyzxy 将 y, z 看成常数: . , zwywxu 将 x , z 看成常数: . , zwywxu) 1 , 2 , 2() 1 , 2 , 2()(zyxyyu) 1 , 2 , 2(1lnzyyzxxz2ln4全微分方向导数与梯度 将 x , y 看成常数: . , zwywxu) 1 , 2 , 2() 1 , 2 , 2()(zyxyyu) 1 , 2 , 2(lnlnyyxxzyz2ln82故zyxud2ln8d2ln4d4d2) 1 , 2 , 2(全微分方向导数与梯度例3? 22是否可微函数yyxz若可微, 求其全微分.解

9、, 2 , 2 22中连续在易知Ryxyzyxxz. 222中可微在故函数Ryyxzyyzxxzzdddyyxxxyd)2(d22全微分方向导数与梯度例例4. 求 u = xyz 的全微分.解解:,1yzyzxxu,lnxzxyuyz故 du = yzxyz1 dx + zxyz lnxdy + yxyz lnxdy,lnxyxzuyz= xyz1 (yzdx + xzlnxdy + xylnxdy)全微分方向导数与梯度回头看全微分公式zzzyxdddyyzxxzzd . d的偏微分称为函数关于 xxxzzx . d的偏微分称为函数关于 yyyzzy这与物理中的叠加原理相符.全微分方向导数与梯

10、度三. 方向导数回忆一元函数的单侧导数:ABCxxxxxfxxfxfx)()(lim)(0 :0 x|AC| |)(| xxxx|AC|(A)(C)lim0ffx (C)( fxxf (A)( fxf全微分方向导数与梯度xOyz.P0Pl0l.中 3R)(Xfz |PP|)(P(P)lim 00PP0ff: )(0方向的导数沿lXf利用点函数推广到中 3R全微分方向导数与梯度方向导数的定义 设函数)(Xfu 在)U(0X内有定义.若点 )U(0XX 沿射线 l 趋于0X时, 极限|)()(lim000XXXfXfXXl 方向的方向导数. 记为存在, 则称该极限值为函数)(Xf在点0X处沿|)(

11、)(lim 0000XXXfXflzXXXX. )( 0Xfl或全微分方向导数与梯度比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中, 分母0. |0 XX在偏导数中, 分母可正、可负.yx ,即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时,方向导数与偏导数也是两个不同的概念.单向双向全微分方向导数与梯度 利用直线方程可将方向导数的定义表示为:射线 l 的方程:则故,0etXXtzzyyxxcoscoscos000,cos0txx,cos0tyycos0tzz. )cos ,cos ,(cose全微分方向导数与梯度怎么计算方向导数？全微分方向导数与梯度0XXl0l),(0000zyxX),(zyx

12、X|cos00XXxx|cos00XXyy|cos00XXzz|)o(|)()(00XXzzuyyuxxuXfXf中的情形看空间 3R全微分方向导数与梯度|)()(lim 0000XXXfXfluXXXX| | lim000XXyyuXXxxuXX|)o(| 000XXXXXXzzucos cos cos zuyuxu全微分方向导数与梯度方向导数导计算公式若函数),(zyxfu 在点),(000zyx处可微,则函数)(Xf在点),(000zyx处沿任一方向)cos,cos,(cos0l的方向导数存在, 且lu其中, 各偏导数均为在点),(000zyx处的值.cosxucosyucoszu定理全

13、微分方向导数与梯度例4)2, 2 , 1 ( , Pxyzu求函数在点设. 22 的方向导数沿方向kjil解; 4 PPyzxu; 2 PPxzyu, 2 PPxyzu,31cos,32cos.32cos3432232)2(31)4(Plu3221 |222l全微分方向导数与梯度例5由点),P(yx到坐标原点的距离定义的函数22yxz在坐标原点处向导数值都等于 1:10lim 222200yxyxlzyx的两个偏导数均不存在, 但它在该点沿任何方向的方向导数均存在, 且方此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是必要条件.全微分方向导数与

14、梯度算公式再回头看方向导数的计cos cos cos zuyuxulu)cos ,cos ,(cos 0l其中则若引进向量 , , , radg zuyuxuu0 da rg lulu . da rg 0上的投影在是即lulu全微分方向导数与梯度 , , radg zuyuxuu向量只与函数在点 X0 处的偏导数有关.0 darg lulu) , da rcos(g| da rg| 00lulu) , da rcos(g| da rg| 0luu1全微分方向导数与梯度一个问题：该问题仅在zuyuxu,不同时为零才有意义.),()(zyxfXfu在给定点0X沿什么方向增加得最快?可微函数全微分方

15、向导数与梯度 . 0的最大值处该问题即求在点luX: ) , da rcos(g| da rg| 0可知由luulu, , 1) , da rcos(g 0取最大值时当lulu. , darg 0取最大值的方向重合时与即当luul00| da rg| maxXXulu现在正式给出的定义grad u且全微分方向导数与梯度四. 梯度定义设,3R, )()(1CXfu,0X则称向量为函数)(Xf在点0X处的梯度, 记为)(grad0Xf或。)(0XfixXf)(0jyXf)(0kzXf)(0全微分方向导数与梯度 梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致, 而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值. 以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中.全微分方向导数与梯度在2R中lucosxucosyu在nR中lu11cosxunnxucos可统一表示为0gradlulu)cos,cos,(cos