全微分及其应用(5)课件

1、全微分及其应用(5)一、全微分一、全微分 1.定义定义在在x处可微指处可微指)(xfy )()(xfxxfy )()(xxxf 一元函数一元函数:在在x的微分的微分:)(xfy dxxfdy)( 对二元函数对二元函数),(),(yxfyxxf ),(),(yxfyyxf ),(yxfz x偏增量偏增量y偏增量偏增量8.3 8.3 全微分全微分 zx zy全微分及其应用(5) 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设),(yyxxP 为为这这邻邻域域内内的的任任意意一一点点，则则称称这这两两点点的的函函数数值值之之差差全增量的概念全增量的概念)

2、,(),(yxfyyxxf 全微分及其应用(5)dzyBxAdz )(B yxAz全微分的定义全微分的定义记为记为即即可表示为可表示为其中其中A,B与与x,y有关有关,而与而与yx ,无关无关.22)()(yx 则称函数在点则称函数在点),(yx处可微分处可微分,并称并称yxA B为函数在点为函数在点),(yx处的全微分处的全微分,),(),(yxfyyxxfz 全微分及其应用(5)事实上事实上,由可微知由可微知),( oyBxA , 0lim0 z),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.2.函数在某点可

3、微与连续关系函数在某点可微与连续关系:即即),(),(yxfyyxxfz 全微分及其应用(5)3.可微的条件可微的条件yyzxxzdz 定理定理1 1（必要条件）（必要条件）全微分及其应用(5)证证)( oyBxAz当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此此时时|x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 全微分及其应用(5) 全微分的定义及叠加原理可推广到三元及全微分的定义及叠加原理可推广到三元及三元以上函数三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两通常我们把二元函数的

4、全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分及其应用(5)是关于是关于 一元函数在某点可导一元函数在某点可导 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在不一定不一定 全微分存在全微分存在4.偏导数存在与可微关系偏导数存在与可微关系:但只要偏导数存在就可形式地写出但只要偏导数存在就可形式地写出:yyfxxf 此式不一定是此式不一定是),(yxfz 的全微分的全微分要使其成为全微分要使其成为全微分,则要证明则要证明)(yyfxxfz )()(22yx 的高阶无穷

5、小的高阶无穷小.时时0 全微分及其应用(5)例例1 函数函数0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0(xyyxf ),(但不可微。但不可微。)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx yx 则有则有021)(2)(22 xxyx 对对,lim0 yx 若取若取xy 方向趋于方向趋于),0 , 0(事实上，事实上，故故, 0 yx 不是关于不是关于 的高阶的高阶 无穷小，所以在无穷小，所以在 不可微。不可微。)0 , 0(在在处偏导数存在，处偏导数存在，全微分及其应用(5)上例说明多元函数的各偏导数存在并不能保证上例说明多元函数的各偏导数存在并不能保证 全微分存在全微分存在.定理（充

6、分条件）定理（充分条件）证明分析：证明分析：只要证明只要证明),(),(yxfyyxxfz ),( oyBxA 由条件知，偏导数存在与偏增量有关，故改写由条件知，偏导数存在与偏增量有关，故改写z 为为全微分及其应用(5),(yyxxfz ),(yxf ),(yyxf ),(yyxf xyyxxfx ),(1 yyyxfy ),(2 又又yxff ,在在),(yx处连续，所以处连续，所以),(lim100yyxxfxyx ),(yxfx ),(lim200yyxfyyx ),(yxfy 由极限存在与无穷小关系知：由极限存在与无穷小关系知：),(1yyxxfx ),(yxfx),(2yyxfy ,

7、),( yxfy其中其中0, 0 yx有有. 0, 0 全微分及其应用(5)xyxfx ),(x yyxfy ),(y 下面证明：下面证明：0 x y 是关于是关于 时的高阶时的高阶无穷小，即证明无穷小，即证明 yx 0lim0 事实上，事实上， 0 yx 0所以所以xyxfzx ),(yyxfy ),()( 说明函数在给定点处可微分。说明函数在给定点处可微分。xyyxxfzx ),(1 yyyxfy ),(2 全微分及其应用(5)例例 1 1 计计算算函函数数xyez 在在点点)1 , 2(处处的的全全微微分分.解解 xz yz,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dye

8、dxedz 所求全微分所求全微分,xyye,xyxe全微分及其应用(5)解解,32zyxu yu zu所求全微分所求全微分dyyxyzdxzydu)2cos212(332 ,2cos2123yxyz ,322zxy.322dzzxy 全微分及其应用(5)注意：注意：偏导数存在且连续是可微偏导数存在且连续是可微的充分条件，而非必要条的充分条件，而非必要条件，即函数在某点可微其件，即函数在某点可微其偏导数在该点不一定连续偏导数在该点不一定连续。全微分及其应用(5)证明思路证明思路:(1)按连续定义证明在按连续定义证明在 连续连续;)0 , 0(2)分分),0 , 0(),( yx)0 , 0(),( yx求偏导数求偏导数;)0 , 0(4)用定义证用定义证 f