机器人静力学与动力学

1、& 第十章第十章 机器人静力学和动力学机器人静力学和动力学10.1 10.1 机器人静力学机器人静力学 一、杆件之间的静力传递一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆在操作机中，任取两连杆 ， 。设在杆。设在杆 上的上的 点点作用有力矩作用有力矩 和力和力 ；在杆；在杆 上作用有自重力上作用有自重力 过质过质心心 ）；）； 和和 分别为由分别为由 到到 和和 的向径。的向径。 il1il1il1io1im 1ifiligicir cir io1ioic1if1im 按静力学方法，把这些力、力矩简化到按静力学方法，把这些力、力矩简化到 的固联坐标系的固联坐标系 ，可得：，可得：iliiii

2、ox y z111iiiiiiiciiffgmmrfrg 1011011011110iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiciifrfr gmrmrrfrr g 或或式中式中 ( 为杆为杆 的质量的质量)。0iigm g imil 求出求出 和和 在在 轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供的关节力或关节力矩，记作所应提供的关节力或关节力矩，记作 ，其大小为，其大小为ifim iziiikf ikm 1111110iiiiiiiiiiiiiiifr

3、fmrrrm 当忽略杆件自重时当忽略杆件自重时 ，上式可简记为，上式可简记为 ：ig 若以若以 表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节则有则有 ：0i,0()jni ciijijikrgjc 式中式中 是自是自 到杆到杆 的质心的质心 的向径。的向径。 ,ji criojl 例例1 求两杆操作机的静关节力矩求两杆操作机的静关节力矩(坐标系与结构尺寸如图坐标系与结构尺寸如图)。 解：设已知解：设已知二、操作机的静力平衡二、操作机的静力平衡 设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩 (广广义驱动力，指向义

4、驱动力，指向 的正向的正向)，在末端执行器的参考点，在末端执行器的参考点 处处将产生力将产生力 和力矩和力矩 。由于。由于 、 是操作机作用于外是操作机作用于外界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩 一起进行运算，一起进行运算，故应取负值。故应取负值。izepiefem efem i1,tinqqqq,teeexyzpxyz 利用虚功原理建立静力平衡方程，令利用虚功原理建立静力平衡方程，令于是，操作机的总虚功是：于是，操作机的总虚功是：根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和虚功之和)为为0，即：即：ttwqqp

5、0ttqqp 1,tin为各关节驱动力；为各关节驱动力；,texeyezexeyezqfffmmm为末端点广义力；为末端点广义力；为各关节位移；为各关节位移；为末端点位移；为末端点位移；式中式中 j 是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应 的偏速度。的偏速度。由机器人运动微分关系可知，由机器人运动微分关系可知， ，则有，则有 pjq 0ttj qq因为因为 是独立坐标，则是独立坐标，则 ，所以有，所以有0qiqtj q 上式是针对操作机的关节力和执行器参考点上式是针对操作机的关节力和执行器参考点 间所产生的间所产生的力和力矩之间的关系式。力和力矩之

6、间的关系式。ep 该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比矩阵矩阵 j 进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直角坐标系中的广义力变换，这时应将关节空间与直角坐标空间角坐标系中的广义力变换，这时应将关节空间与直角坐标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。 例例2 如图，操作机的手爪正在持板手扭某一螺栓，手爪上如图，操作机的手爪正在持板手扭某一螺栓，手爪上 方方联接一测力传感器可测六维力向量联接一测力传感器可测六维力向量(力

7、和力矩力和力矩)。试确定测力传。试确定测力传感器和扭动板手时力和力矩的关系。感器和扭动板手时力和力矩的关系。解：解： 设在测力传感器上置坐标系设在测力传感器上置坐标系 sf ( )，在螺栓上置坐，在螺栓上置坐标系标系 s ( ) 。在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚。在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚体的无限小位移体的无限小位移(平移和转动平移和转动)可表示为六维向量，故对二者的可表示为六维向量，故对二者的微位移可分别表示为：微位移可分别表示为：由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：fouvwoxyz,xyzpxyz ,uvwquvw1000010

8、00010000100000010000001zyzxyxuxvyzwuxrrvyrrwzrrqjp 前式也可以从前图直观求得。前式也可以从前图直观求得。 设设 为相应于为相应于 的关节广义力向量，的关节广义力向量， 为相应于为相应于 的的末端广义力向量，则可得末端广义力向量，则可得：qqpp 100000010000001000010000100001xuyvzwtxzyuzxyvyxwzffffffqjpmrrmrrmmrrmm 上式也可直接用虚功原理求得。上式也可直接用虚功原理求得。二、机器人动力学研究的问题可分为两类：二、机器人动力学研究的问题可分为两类： 1、给定机器人的驱动力（矩）

9、，用动力学方程求解机器、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器 人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 , 求求 和和 ，称为动力学正问题）。，称为动力学正问题）。 2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力（矩）（即已知（矩）（即已知 和和 ，求，求 , 称为动力学逆问题称为动力学逆问题 ）。）。一、研究目的：一、研究目的：1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）、解决对伺服驱动系统的控制

10、问题（力控制） 在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有效惯量及耦合量都会发生变化（效惯量及耦合量都会发生变化（时变的时变的），因此，加于各），因此，加于各关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。10.2 机器人动力学概述机器人动力学概述, , 三、动力学研究方法：三、动力学研究方法：1拉格朗日方程法：拉格朗日方程法：通过通过动、势能变化与广义力的关系动、势能变化与广义力的关系，建，建立机器人的动力学方程。代表人物立机器人的动力学方程。代表人物 r.p.paul、j.j.uicker

11、、j.m.hollerbach等。计算量等。计算量o(n4)，经优化，经优化o(n3)，递推，递推o(n)。2牛顿牛顿欧拉方程法：欧拉方程法：用用构件质心的平动和相对质心的转动构件质心的平动和相对质心的转动表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿欧拉方程欧拉方程的动力学方程。代表人物的动力学方程。代表人物orin, luh(陆养生陆养生)等。计算量等。计算量o(n)。3高斯原理法高斯原理法: 利用力学中的高斯最小约束原理利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动把机器人动力学问题化成极值问题求解力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫代表人物波波夫

12、(苏苏). 用以解决第用以解决第二类问题。计算量二类问题。计算量o(n3)。4凯恩方程法：凯恩方程法：引入引入偏速度偏速度概念，应用矢量分析建立动力学概念，应用矢量分析建立动力学方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必求关节的约束力，具有完整的结构，也求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人适用于闭链机器人。计。计算量算量o(n!)。v 系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、系统的动能和势能可在任何形

13、式的坐标系（极坐标系、圆柱坐标系等）中表示圆柱坐标系等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中，不是一定在直角坐标系中。 动力学方程为：动力学方程为： 广义力广义力 广义速度广义速度 广义坐标广义坐标 （力或力矩）（力或力矩）（ 或或 ） （ 或或 ） iiidlldtqqvd10.3 二杆机器人的拉格朗日方程二杆机器人的拉格朗日方程应用质点系的应用质点系的拉格朗日拉格朗日方程来处理杆系的问题。方程来处理杆系的问题。 定义：定义：l=k-p llagrange函数；函数；k系统动能之和；系统动能之和；p系统势能之和。系统势能之和。10.3.1 刚体系统拉格朗日方程刚体系统拉格朗日方程一、动能和势能一

14、、动能和势能 设二杆机器人臂杆长度分别为设二杆机器人臂杆长度分别为 ，质量，质量分别集中在端点为分别集中在端点为 ，坐标系选取如图。，坐标系选取如图。2,1dd2,1mm以下分别计算方程中各项：以下分别计算方程中各项： 221mvk 对质点对质点 ：1m222211 1111111111()222km vmdm d势能：势能： 动能：动能： 1111cos()pm gd v（负号与坐标系建立有关）（负号与坐标系建立有关） 对质点对质点 ：2m 先写出直角坐标表达式：先写出直角坐标表达式： )cos()cos()sin()sin(212112212112ddyddx10.3.2 机器人拉格朗日方

15、程机器人拉格朗日方程11pmgh对对 求导得速度分量：求导得速度分量： x)2121)(2cos(212)2221221(222121222222)21)(21sin(21)1sin(12)21)(21cos(21)1cos(12ddddyxvddyddx动能：动能：)(cos()2(212121212212222121222212122ddmdmdmk)21cos(22)1cos(122gdmgdmp势能：势能： 二、二、lagrangelagrange函数函数 1212()()lkpkkpp2222221211221122212211211()(2)cos()()22mm dm dm d

16、d 12112212()()cos()mmg dsm gd),(2121l三、动力学方程三、动力学方程 先求第一个关节上的力矩先求第一个关节上的力矩 222121221222221222121211)cos()cos(2)(ddmddmdmdmdmml222122221221222221211)cos()cos(2)( ddmdmddmdmdmmldtd222212212212)sin()sin(2ddmddm)sin()sin()(212211211gdmgdmml22212122212212221222()2cos()cos()mm dm dm d dm dm d d22122122122

17、2121122122sin()sin()()sin()sin()m d dm d dmm g dm g d （1）11111()()dlldlldtqqdt1同理，对同理，对 和和 微分，可求得第二关节力矩微分，可求得第二关节力矩 2212212222212222)cos( ddmdmdml21221212212222212222)sin()cos( ddmddmdmdmldtd)sin()(sin(2122212122122gdmddml222)(lldtd)sin()sin()cos(2122212212222212212222gdmddmdmddmdm 以上是两杆机器人动力学模型。以上是

18、两杆机器人动力学模型。（2）系数系数 d 的物理意义：的物理意义： 关节关节 的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节 处的加速度处的加速度 引起的关节引起的关节 处的力矩为处的力矩为 （ ） iidii iiiid jmii 关节关节 和和 之间的耦合惯量之间的耦合惯量 。由关节由关节 或或 的加速度的加速度 （ 或或 ）所引起的关节）所引起的关节 和和 处的力矩为处的力矩为 或或 ijdijji j jiiijd jij i 向心力项系数。表示关节向心力项系数。表示关节 处的速度作用在关节处的速度作用在关节 处的处的 向心力（向心力（ ）ijjdji2jijjd向心力项系数。表示关节向心力项系数。表示关节 处的速度作用在本身关节处处的速度作用在本身关节处 的向心力（的向心力（ ）iiidi2iiiid四、动力学方程中各系数的物理意义四、动力学方程中各系数的物理意义 将前面结果重新写成简单的形式将前面结果重新写成简单的形式 ：22111 1122111 112221122 1dddddd 22221 122 2211 1222 2212 1 2221 2 12ddddddd 哥氏力项系数。哥氏力项系数。 两项组合为关节两项组合为关节 与与 处的速度作用在关节处的速度作用在关节 处的哥氏力，哥氏力是由于处的哥氏力，哥氏