材料力学(I)第3章

1、材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转1第第 3 章章 扭扭 转转3-1 概述概述3-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转3-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 强度条件强度条件3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 刚度条件刚度条件3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转23-1 概概 述述变形特点变形特点: : . . 相邻横截面绕杆的轴线相对转动；相邻横截面绕杆的轴线相对

2、转动； . . 杆表面的纵向线变成螺旋线；杆表面的纵向线变成螺旋线； . . 实际构件在工作时除发生扭转变形实际构件在工作时除发生扭转变形 外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶的外力偶Me作用下发生扭转。作用下发生扭转。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转3圆轴扭转变形动画圆轴扭转变形动画材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转4本章研究杆件发生除本章研究杆件发生除扭转变形扭转变形外，其它变形可忽略的情况，外，其它变形可忽略的情况，并且以并且以圆截面圆截面(

3、(实心或空心圆截面实心或空心圆截面) )杆杆为主要研究对象。为主要研究对象。 此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转53-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒薄壁圆筒通常指通常指 的圆筒的圆筒100r 当其两端面上作用有外力当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的偶矩时，任一横截面上的内力偶矩内力偶矩扭矩。扭矩。 （T=Me）材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转6薄壁圆筒的扭转动画薄壁圆筒的扭转动画材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转7 . . 薄壁圆筒横截面

4、上各点处切应力的变化规律薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律表面变形情况表面变形情况：(1) (1) 圆周线只是绕圆筒轴线转动圆周线只是绕圆筒轴线转动, ,形状及尺寸不变；形状及尺寸不变；(2) (2) 纵向直线在小变形情况下保持为直线纵向直线在小变形情况下保持为直线, ,但发生倾斜但发生倾斜; ;(3) (3) 圆周线之间的距离保持不变。圆周线之间的距离保持不变。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转8推论：推论：(1) (1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样；如同刚性平面一样；(2) (2) 相邻横截面只是

5、绕圆筒轴线相对转动，横截面之间相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。的距离未变。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转9横截面上的应力横截面上的应力：(1) (1) 只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力相同；的切应力相同；(2) (2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3) (3) 横截面上无正应力。横截面上无正应力。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转10引进引进，上式亦可写作上式亦可写作200rA . . 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：薄壁圆筒横

6、截面上切应力的计算公式：由由 ，根据应力分布可知，根据应力分布可知，TrAA d 02AT 200002)2(drTrrTArTA 根据条件根据条件 ，有，有 ATArd0 (3-1)其中其中r0为薄壁圆筒的平均半径为薄壁圆筒的平均半径 ArA 02d材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转11. . 剪切胡克定律剪切胡克定律( (Hookes law in shear)(1)(1)上述上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g g，这种直角改变量称为这种直角改变量称为切应变切应变。(2)(2)该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了该圆筒两个端面之间绕

7、圆筒轴线相对转动了j j 角角，这种角位移称为这种角位移称为相对扭转角相对扭转角。(3)(3)在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下, ,有有tg= *r0/l , 由于由于 很小很小, ,故可近似为故可近似为 tg= , 即即g g =j j r0/l。l 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转12薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力 不不超过材料的剪切比例极限超过材料的剪切比例极限 p 时，时，外力偶矩外力偶矩 Me ( (数值数值上等于扭矩上等于扭矩T ) )与相对扭转角与相对扭转角 j j 成线性正比例关

8、系成线性正比例关系，从而可知从而可知 与与 g g 亦成线性关系亦成线性关系：=G (3-3) 材料的剪切胡克定律材料的剪切胡克定律 式中的比例系数式中的比例系数 G 称为材料的称为材料的切变模量切变模量 02AT lr0j jg g 钢材的切变模量的约值为钢材的切变模量的约值为：G =80GPa材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转133-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图. . 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在 t 秒钟内所作功等于外力偶矩秒钟内所作功等于外力偶矩 M

9、e 乘以轮在乘以轮在 t 秒钟内的秒钟内的转角转角a a 。a aeMW 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转14 因此，外力偶因此，外力偶Me每秒钟所作功，每秒钟所作功，即即该轮所传递的功率该轮所传递的功率为为 3minrmNe3sradmNe3sradmNekw10602 1010 nMMtMP a a若已知传动轴的若已知传动轴的转速转速n( (亦即传动轴上每个轮的转速亦即传动轴上每个轮的转速) )和和主动轮或从动轮主动轮或从动轮所传递的功率所传递的功率P，即可由下式，即可由下式计算作用计算作用于每一轮上的外力偶矩于每一轮上的外力偶矩：minrkw3minr3kwmNe1055.

10、 926010nPnPM (3-4)602 nt a a 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转15主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转16. . 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 传动轴横截面上的扭矩传动轴横截面上的扭矩T 可利用可利用截面法截面法来计算。来计算。M0 eTM0可仿照轴力图的方法绘制扭矩图可仿照轴力图的方法绘制扭矩图材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转17扭矩图中扭矩图中扭矩

11、的正负扭矩的正负规定可按其转向的右手螺旋规定可按其转向的右手螺旋法则表示：法则表示：扭矩矢量离开截面扭矩矢量离开截面在扭矩图中的取值在扭矩图中的取值为正为正，画在横轴的上方，画在横轴的上方; ;扭矩矢量指向截面为负扭矩矢量指向截面为负, ,画在横轴的下方。画在横轴的下方。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转18一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n=300 r/min，转向如图所示。，转向如图所示。主动轮主动轮A输入的功率输入的功率P1= 500 kW，三个从动，三个从动B、C、D轮输出的功率分别为：轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW

12、。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 例题例题 3-1材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转191. 1. 计算作用在各轮上的外力偶矩计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9 .15mN)3005001055. 9(31 MmkN78. 4mN)3001501055. 9(332 MMmkN37. 6mN)3002001055. 9(34 M主动轮上主动轮上M1的转向和轴的转向相同，从动轮上的的转向和轴的转向相同，从动轮上的M2、M3、M4的转向和轴的转向相反。的转向和轴的转向相反。例题例题 3-1由由(3-4)式可列得式可列得minrkw3mNe1055. 9nPM (3-4)材料力学材料力

13、学()电子教案电子教案扭扭 转转202. 2. 计算各段的扭矩计算各段的扭矩BC段内段内, 假设扭矩为正，如图所测假设扭矩为正，如图所测：TM12-4.78kN m CA段内，假设负扭矩段内，假设负扭矩：223()9.56kN mTMM AD段内，假设正扭矩段内，假设正扭矩：mkN37. 643 MT例题例题 3-1M0 TM120 得负值表明所设方向与实际相反得负值表明所设方向与实际相反, ,其转向其转向的右手螺旋应指向截面的右手螺旋应指向截面M0 2230TMM 340TM材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转213.3.作扭矩图作扭矩图: :根据扭矩的正负规定根据扭矩的正负规定(

14、 (离开离开例题例题 3-12T1T3T截面为正，指向截面为负）截面为正，指向截面为负）, ,画出扭矩图如下画出扭矩图如下，由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在在CA段内，段内，其值为其值为9.56 kNm。 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转223-4 3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件. . 横截面上的应力横截面上的应力表面表面变形变形情况情况推断推断横截面横截面的变形的变形情况情况( (问题的问题的几何方面几何方面) )横截面横截面上应变上应变的变化的变化规律规律应力应力- -应变关系应变关系横截面上横截面上应力

15、变化应力变化规律规律( (问题的问题的物理方面物理方面) )内力与应力的关系内力与应力的关系横截面上应力横截面上应力的计算公式的计算公式( (问题的问题的静力学方面静力学方面) )材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转231. 表面变形情况：表面变形情况：(a) (a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b) (b) 纵向线倾斜了一个角度纵向线倾斜了一个角度g g 。(1) (1) 几何方面几何方面平面假设平面假设等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕等

16、直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转24xEGGGddtanj j g gg g 即即xddj j g g EAO1Ddj j DGGO2d/2dxg g g g 2. 横截面上一点处横截面上一点处( r= )的切应变随点的位置而变化的切应变随点的位置而变化的规律的规律 bbTTO1O2dj j GGDDaadxAEg gg g 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭

17、转转25xddj j g g 式中式中 - -相对扭转角相对扭转角j j 沿杆长的变化率，沿杆长的变化率，常用常用j j 来表示，对于来表示，对于给定的横截面为常量。给定的横截面为常量。xddj j可见，可见，在横截面的同一半径在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切的圆周上各点处的切应变应变 g g 均相同均相同； g g 与与 成正比，且发生在与半径成正比，且发生在与半径垂直的平面内垂直的平面内。bbTTO1O2dj j GGDDaadxAEg gg g 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转26xGGddj j g g (2) (2) 物理方面物理方面由剪切胡克定律由剪切胡克定律

18、= Gg g 知知可见，可见，在横截面的同一半径在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切的圆周上各点处的切应力应力 均相同，其值均相同，其值 与与 成正比，其方向垂直于半径成正比，其方向垂直于半径。xddj j g g 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转27其中其中 称为横截面的称为横截面的极惯性矩极惯性矩Ip(单位单位:m4)，它是横截面的几何性质。，它是横截面的几何性质。 AAd2 (3) 静力学方面静力学方面2d ddAGATx 即即xGGddj j g g (3-6)ppITGITG 等直圆杆在线弹性范围内扭转时，等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点横截面上任一点 (

19、r=)处处切应力切应力计算公式计算公式pddGITx j j以以 代入上式得：代入上式得：2pdAIA (3-5)xddj j g g dTAA 合力矩原理合力矩原理材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转28pppmaxWTrITITr pIT 横截面圆周边上各点处横截面圆周边上各点处( = r)的最大切应力为的最大切应力为(3-6)式中定义式中定义 Wp=Ip/r 称为称为扭转截面扭转截面系数系数，其单位为，其单位为 m3。 ）（ AAId2p (3-7)材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转29(1) (1) 实心圆截面实心圆截面.圆截面的极惯性矩圆截面的极惯性矩 Ip 和

20、扭转截面系数和扭转截面系数 Wp162/3ppddIW 32d2d42032dAIdAp ddA2 (3-8)(3-9)圆截面的圆截面的扭转截面系数扭转截面系数极惯性矩极惯性矩材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转30(2)(2)空心圆截面空心圆截面 44442232p13232 d2da a DdDAIDdA 4344pp116162/a a DDdDDIW(3-10)(3-11) ddA2 ）（其其中中Dd a a扭转截面系数扭转截面系数极惯性矩极惯性矩材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转31以横截面、径向截面以及与表面平行的面以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截

21、面切向截面)从受扭从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体单元体。单元体。. 单元体单元体 切应力互等定理切应力互等定理 在杆横截面内只有切应力在杆横截面内只有切应力 ，其方向与其方向与y轴轴平行；与杆表面相切的面内无任何应力。平行；与杆表面相切的面内无任何应力。根据单元体受力平衡，根据单元体受力平衡， Fx=0，单元体在单元体在左右两侧面上的内力为左右两侧面上的内力为 dydz，其矩为，其矩为( dydz)dx 力偶；力偶；由由Mz=0 可知，单元体的上、下两个平面可知，单元体的上、下两个平面( (即杆的径向截面上即杆的径向截

22、面上) )必有大小相等、指向必有大小相等、指向相反的一对力相反的一对力 dxdz，并组成其矩为，并组成其矩为( dxdz)dy 力偶力偶。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转32即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力垂直的切应力 和和 数值相等，且均指向数值相等，且均指向( (或背离或背离) )该两个面的交线该两个面的交线切应力互等定理切应力互等定理可得可得(3.12)0 zM由由 yzxxzydddddd 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转33现分析单元体内垂直于正六面体前、后两平面的任一现分析单元体内垂

23、直于正六面体前、后两平面的任一斜截面斜截面 ef ( (如图如图) )上的应力。上的应力。. 斜截面上的应力斜截面上的应力材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转34分离体上作用力的平衡方程为分离体上作用力的平衡方程为 0sinsindcoscosdd, 00cossindsincosdd, 0 a aa a a aa a a aa a a aa a a a a a AAAFAAAF利用利用 = ，经整理得经整理得a a a a a aa a2cos,2sin dA材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转35由此可知：由此可知：(1) (1) 单元体的四个侧面单元体的四个侧面(a

24、a = 0和和 a a = 90)上切应力的绝对值上切应力的绝对值最大最大, ,正应力为零；正应力为零；(2) a a =-45和和a a =+45截面上截面上切应力为零，而正应力的绝对切应力为零，而正应力的绝对值最大；值最大； min45max45，a a a a2sin a a a a2cos (1)(2)即代入即代入(1)(1)式得式得材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转36至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧

25、面上的切应力相关。因此这种应力状态称为四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯剪切纯剪切应力状态应力状态。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转37低碳钢扭转试验演示低碳钢扭转试验演示材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转38低碳钢扭转破坏断口低碳钢扭转破坏断口 对于对于剪切强度低于剪切强度低于拉伸强度拉伸强度的材料，的材料，其破坏是其破坏是由横截面由横截面上的最大切应力引上的最大切应力引起的，破坏从杆的起的，破坏从杆的最外层沿横截面发最外层沿横截面发生剪切而产生的生剪切而产生的。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转39铸铁扭转破坏试验演示铸铁扭转破坏试验演示材

26、料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转40铸铁扭转破坏断口铸铁扭转破坏断口对于对于拉伸强度低于拉伸强度低于剪切强度剪切强度的材料，的材料，其破坏是其破坏是由由-45 -45 斜截面上的最大切斜截面上的最大切应力引起的，破坏应力引起的，破坏从杆的最外层沿与从杆的最外层沿与杆轴线成杆轴线成4545的螺的螺旋形曲面发生拉断旋形曲面发生拉断而产生而产生。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转41直径为直径为d1的的实心圆轴实心圆轴(图图a)和内、外直径分别为和内、外直径分别为d2和和D2，ad2/D2=0.8的的空心圆轴空心圆轴(图图b)，两轴的材料、，两轴的材料、长度长度l，扭矩，扭矩

27、Me分别相同。试求在两种圆轴分别相同。试求在两种圆轴在横截面在横截面上最大切应力相等上最大切应力相等的情况下，的情况下，D2与与d1之比以及两轴之比以及两轴的重量比。的重量比。例题例题 3-2材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转4231e1pe1p1max, 116dMWMWT 432e2pe2p2max, 2116a a DMWMWT 4322p311p116,16a a DWdW1. 1. 分别求两轴的最大切应力分别求两轴的最大切应力例题例题 3-2)(pmaxWT 代入代入(3-7)(3-7)得得(1)(2)两轴横截面的扭转两轴横截面的扭转截面系数分别为：截面系数分别为：材料力

28、学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转43194. 18 . 0113412 dD由由 1,max= 2,max，比较比较(1)(1)、(2)(2)式并将式并将a a 0.8代入得代入得因为两轴的长度因为两轴的长度 l 和材料密度和材料密度 相同，所以相同，所以两轴的两轴的重量比即为其横截面面积之比重量比即为其横截面面积之比 512. 08 . 01194. 1144222122221222212 dDddDAAa a例题例题 3-22. 求求D2/d1和二轴重量之比。和二轴重量之比。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转44切应力的分布规律如图切应力的分布规律如图c、d所示：所示：

29、当当 maxmax 时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分材料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料的利用率。材料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料的利用率。 但应注意但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，还要注意，还要注意加上成本和构造上的要求等因素。加上成本和构造上的要求等因素。zmaxd1(c) maxD2d2(d)例题例题 3-2材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转45. 强度条件强度条件max 此处此处 为材料的为材料的许用切应力许用切应力。对于等直圆轴代入。对于等直圆轴代入(3-7)(3-7)式亦即式亦

30、即pmax WT铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时，虽沿斜截面铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时，虽沿斜截面而发生脆性断裂，但由本节的而发生脆性断裂，但由本节的“斜截面上的应力斜截面上的应力”知，知，斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。pmaxWT (3.13)(3.14)a a a a a aa a2cos,2sin 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转46 图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径d1=120 mm，BC段段直径直径d

31、2=100 mm。扭转力偶矩。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力，材料的许用切应力 =80 MPa。试校核该轴的强度。试校核该轴的强度。例题例题 3-4材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转471. 1. 绘扭矩图绘扭矩图例题例题 3-4解：解：材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转48AB段内段内 MPa8 .64Pa108 .64 m1012016mN102263331p1max, 1 WT 2. 2. 分别求每段轴横截面上的最大切应力分别求每段轴横截面上的最大切应力例题例题 3-4pmaxWT 162/3ppddI

32、W 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转49BC段内段内 MPa3 .71Pa103 .71 m1010016mN101463332p2max,2 WT 2. 求每段轴的横截面上的最大切应力求每段轴的横截面上的最大切应力例题例题 3-4材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转503. 3. 校核强度校核强度例题例题 3-4阶梯状圆轴，其阶梯状圆轴，其 ，必须综合考虑必须综合考虑扭矩扭矩T和和Wp两个因素，两个因素，AB段的扭矩大，直径段的扭矩大，直径d1也大，也大，BC段的扭矩小，直径也小，必须分别段的扭矩小，直径也小，必须分别计算两段轴的计算两段轴的 max，经比较后才能确定

33、经比较后才能确定 max。maxpmax)(WT 2,m =71.3MPa 1,m=64.8MPa 且有且有 2,max0j jAC0j jBA、j jAC的转向如图所示的转向如图所示。(a)j jBA 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转58. 刚度条件刚度条件此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为(即将即将(3-5)式代入上式式代入上式)：对于精密机器的轴对于精密机器的轴j j0.150.30 ()/m； 对于一般的传动轴对于一般的传动轴j j2 ()/m。maxj jj j 180pmaxj j GIT()()(ddpradGITx j j

34、j j(3.17)(3.18)式中的许可单位长度扭转角式中的许可单位长度扭转角j j的常用单位是的常用单位是()/m。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转59由由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比之比a a = 0.5 。已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力 = 40 MPa，切变模量切变模量G=80GPa。轴的最大扭矩轴的最大扭矩Tmax=9.56 kNm，许可单位长度扭转角许可单位长度扭转角j j=0.3 ()/m。试选择轴的直径。试选择轴的直径。例题例题 3-6材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转601. 按强度条件求

35、所需外直径按强度条件求所需外直径D ，因因161516116343p DDWa a109mmm10109Pa10401615mN1056. 916161516363max33 TD例题例题 3-6解：解：，有，有由由 pmaxmax WTpmaxWT 材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转612. 按刚度条件求所需外直径按刚度条件求所需外直径D 有有由由因因180 ,161532132pmax444pj ja a GITDDI125.5mmm105 .125m/ )(3 . 011801615Pa1080mN1056. 9321180161532393max44 j jGTD例题例题

36、3-6109mm D强度条件要求强度条件要求180pmax GIT材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转62mm75.62 d3. 空心圆截面轴所需外直径为空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度由刚度条件控制条件控制)，内直径则根据，内直径则根据a = d/D = 0.5知知例题例题 3-6109mm D强度条件要求强度条件要求125.5mm D刚度条件要求刚度条件要求材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转633-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能纯剪切应力状态下的应变能密度纯剪切应力状态下的应变能密度对处于纯剪切应力状态的单元体对处于纯剪切应力状态的

37、单元体(图图a)，为计算其上的，为计算其上的外力所作功外力所作功dW，可使左侧面不动，此时的切应力可使左侧面不动，此时的切应力 仅发仅发生在竖直平面内，且只有右侧面上的生在竖直平面内，且只有右侧面上的外力外力 dydz在相应在相应的的位移位移g g dx上作功。上作功。材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转64 zyxxzyWddd21ddd21d g gg g 于是，当材料在线弹性范围内于是，当材料在线弹性范围内工作工作时时( p，图，图b)，有，有材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转65由剪切胡克定律由剪切胡克定律 =Gg g，该应变能密度的表达式可写为该应变能密度的表达

38、式可写为 gggg21dddddd21dddd zyxzyxVWVVv2222g g GvGv 或或单元体内蓄积的应变能单元体内蓄积的应变能dVe e数值上等于单元体上外力数值上等于单元体上外力所作功所作功dW，即即dVe e=dW 。(3-19) zyxxzyWddd21ddd21d g gg g ee21 v单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的下的应变能密度应变能密度为为材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转66等直圆杆在扭转时积蓄的应变能等直圆杆在扭转时积蓄的应变能 lAVxAvVvVdddGv22 pIT (3-20)在扭

39、矩在扭矩T为常量时，长度为为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应变能为的等直圆杆所蓄积的应变能为p222p22p22d2dd21dd2GIlTAITGlAITxGxAGVAAlAl 由由 可知，亦有可知，亦有pGITl j j2p2j jlGIV (3-21a)(3-21c)材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转67当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的，整个杆内蓄积的应变能为应变能为 niiiniiilGIVGIlTV12p1p22,2j j亦即亦即p22121GIlTTWV j j在线弹性范围内工作的等直圆杆，在扭矩在线弹性范围内工

40、作的等直圆杆，在扭矩T为常量，其长度为常量，其长度为为 l 范围内的应变能亦可如下求得：范围内的应变能亦可如下求得：结果与前页用应变能结果与前页用应变能密度积分得的密度积分得的(3-21a)结果相同结果相同.材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转68试推导密圈圆柱螺旋弹簧试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线螺旋线升角升角a 5)受轴向压力受轴向压力(拉力拉力)F 作作用时，簧杆横截面上应力和弹簧用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短缩短(伸长伸长)变形的近似计算公式。变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径已知：簧圈平均半径R，簧杆直径，簧杆直径d，弹簧的有效圈数，弹簧的有效圈数n，簧杆材料，簧杆材

41、料的切变模量的切变模量G。设。设d(2R)。例题例题 3-7材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转691. 用截面法求簧杆横截面上的内力用截面法求簧杆横截面上的内力对于密圈螺旋弹簧可近似对于密圈螺旋弹簧可近似认为螺旋线升角认为螺旋线升角a0o，簧，簧杆的横截面就在外力杆的横截面就在外力F作用作用的弹簧轴线所在纵向平面的弹簧轴线所在纵向平面内，由图内，由图b所示的分离体的所示的分离体的平衡方程得平衡方程得剪力剪力 FS =F扭矩扭矩 T =FR(b)例题例题 3-7解：解：R材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转702. 求簧杆横截面上的应力求簧杆横截面上的应力33pmax161

42、6dFRdFRWT 簧杆横截面上与剪力簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩相应的切应力通常远小于与扭矩T 相应的切应力相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。，故在求近似解时将前者略去。例题例题 3-7Rd因为因为d(2R)，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去略去簧圈的曲率影响，按直杆公式计算簧圈的曲率影响，按直杆公式计算。于是有。于是有材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转713. 求弹簧的缩短求弹簧的缩短(伸长伸长)变形变形D DFW21 当弹簧所受外力当弹簧所受外力F不超过不超过一定限度时，变形一定限度时，变形D D与与外力外力F成线性关系成线性关系(如图如图c)。(c)例题例题 3-7于是外力所作的功为于是外力所作的功为材料力学材料力学()电子教案电子教案扭扭 转转72 不计不计FS的影响，并忽略簧杆的曲率，的影响，并忽略簧杆的曲率，簧杆内的应变能簧杆内的应变能Ve e为为(用用(3-21a)的直杆公式的直杆公式): p2p2p2222GIRnFRGIRnFRGIlTV 式中式中l =2 Rn，表示簧杆轴线的全长，表示簧杆轴线的全长，Ip为簧杆横截面的极惯性矩。为簧杆横截面的极惯性矩。43p2p2642,)(21GdnFRGIRnFRGIRnFRF 得得D D