2022版新教材高考数学一轮复习第7章立体几何第2节空间点直线平面之间的位置关系学案含解析新人教A版

1、第二节空间点、直线、平面之间的位置关系一、教材概念结论性质重现1平面的基本性质基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内；基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；基本事实4是对初中平行线的传递性在空间中的推广2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)

2、异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点o分别作直线aa，bb，把直线a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.互为异面直线的两条直线不同在任何一个平面内，没有公共点不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线在平面内a无数个直线不在平面内直线与平面平行a0个直线与平面相交直线与平面斜交aa1个直线与平面垂直a1个(2)空间中平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行0个两平面相交l无数个4.等角定理如果空间中

3、两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补研究直线与平面的位置关系时一定不要忽视“直线在平面内”二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)没有公共点的两条直线是异面直线()(2)两两平行的三条直线可以确定三个平面()(3)两个平面，有一个公共点a，就说，相交于过a点的任意一条直线()(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(5)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种()(6)空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等()2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()a一定是异面直线b一定是相交直线c不可能是平行直线d不可

4、能是相交直线c解析：由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线若bc，则ab，与已知a，b为异面直线相矛盾3若直线l不平行于平面，且l，则()a内的所有直线与l异面b内不存在与l平行的直线c内存在唯一的直线与l平行d内的直线与l都相交b解析：由题意知，直线l与平面相交，则直线l与平面内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项b是正确的4如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，e，f分别是ab，ad的中点，则异面直线b1c与ef所成角的大小为()a30b45 c60d90c解析：连接b1d1，d1c，则b1d1ef，故d1b1c即为所求的角又b1d1b1cd1

5、c，所以b1d1c为等边三角形，所以d1b1c60，即异面直线b1c与ef所成角的大小为60.第4题图第5题图5如图，在三棱锥a-bcd中，e，f，g，h分别是棱ab，bc，cd，da的中点，则(1)当ac，bd满足条件_时，四边形efgh为菱形；(2)当ac，bd满足条件_时，四边形efgh为正方形(1)acbd(2)acbd且acbd解析：(1)因为四边形efgh为菱形，所以efeh，所以acbd(2)因为四边形efgh为正方形，所以efeh且efeh.因为efac，ehbd，且efac，ehbd，所以acbd且acbd考点1平面的基本性质基础性1在三棱锥a-bcd的边ab，bc，cd，d

6、a上分别取e，f，g，h四点如果efhgp，则点p()a一定在直线bd上b一定在直线ac上c在直线ac或bd上d不在直线ac上，也不在直线bd上b解析：如图所示，因为ef平面abc，hg平面acd，efhgp，所以p平面abc，p平面acd又因为平面abc平面acdac，所以pac2(多选题)(2020全国卷改编)下列选项正确的是()a两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内b过空间中任意三点有且仅有一个平面c若空间两条直线不相交，则这两条直线平行d若直线l平面，直线m平面，则mlad解析：对于选项a，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为；若l3与l1相交，则交点b在平面内，同理，l

7、3与l2的交点a也在平面内，所以，ab，即l3，选项a正确对于选项b，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，选项b错误对于选项c，空间中两条直线可能相交、平行或异面，选项c错误对于选项d，若直线m平面，则m垂直于平面内所有直线因为直线l平面，所以直线m直线l，选项d正确共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；二是证明两平面重合(2)证明共线的方法：一是先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点考点2异面直

8、线所成的角综合性(1)在正方体abcd-a1b1c1d1中，e为棱cc1的中点，则异面直线ae与cd所成角的正切值为()abcdc解析：(1)如图，因为abcd，所以ae与cd所成角为eab(或其补角)在rtabe中，设ab2，则be，则taneab.所以异面直线ae与cd所成角的正切值为.(2)已知三棱柱abc-a1b1c1的侧棱与底面边长都相等，a1在底面abc上的射影为bc的中点，则异面直线ab与cc1所成的角的余弦值为()abcdb解析：如图，设bc的中点为d，连接a1d，ad，a1b，易知a1ab即为异面直线ab与cc1所成的角(或其补角)设三棱柱abc-a1b1c1的侧棱与底面边长

9、均为1，则ad，a1d，a1b.由余弦定理，得cosa1ab.本例(2)的条件改为“在直三棱柱abc-a1b1c1中，abc120，ab2，bccc11”，则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为_解析：把三棱柱abc-a1b1c1补成四棱柱abcd-a1b1c1d1，如图所示连接c1d，bd，则ab1与bc1所成的角为bc1d(或其补角)由题意可知bc1，bd，c1dab1.可知bcbd2c1d2，所以bc1d为直角三角形，所以cosbc1d.用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角(3)三求：解三角形，求出

10、所作的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角1(2021聊城一模)如图，圆柱的轴截面abcd为正方形，e为弧bc的中点，则异面直线ae与bc所成角的余弦值为()ab cdd解析：如图，过点e作圆柱的母线交下底面于点f，连接af，易知f为的中点，设四边形abcd的边长为2，则ef2，af，所以ae.连接ed，ed.因为bcad，所以异面直线ae与bc所成角即为ead在ead中，cosead.故选d2(多选题)在直四棱柱abcd-a1b1c1d1中，底面abcd是边长为4的正方形，aa13，则()a异面直线a1b与b1d1所成角的余弦值为b异面直线

11、a1b与b1d1所成角的余弦值为ca1b平面b1d1cd点b1到平面a1bd1的距离为acd解析：因为a1bd1c，所以b1d1c或其补角即为异面直线a1b与b1d1所成角又因为b1d14，d1c5，b1c5，所以cosb1d1c，故a正确，b错误因为a1bd1c，a1b平面b1d1c，d1c平面b1d1c，所以a1b平面b1d1c，故c正确设点b1到平面a1bd1的距离为h.因为vv，即a1b1a1d1b1ba1ba1d1h，解得h，故d正确故选acd3在正四面体abcd中，e是ab的中点，则异面直线ce与bd所成角的余弦值为()abcdb解析：画出正四面体abcd的直观图，如图所示设其棱长

12、为2，取ad的中点f，连接ef，设ef的中点为o，连接co，则efbd，则fec就是异面直线ce与bd所成的角因为abc为等边三角形，所以ceab，易得ce，同理可得cf，故cecf.因为oeof，所以coef.又eoefbd，所以cosfec.4(2021西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，g，h，m，n分别为de，be，ef，ec的中点，在这个正四面体中，gh与ef平行；bd与mn为异面直线；gh与mn成60角；de与mn垂直以上四个命题中，真命题的是_(填序号)解析：如图，还原成正四面体a-def，其中h与n重合，a，b，c三点重合易知gh与ef异面，bd与mn异面连接gm，因为gmh

13、为等边三角形，所以gh与mn所成角为60，易证deaf，又mnaf，所以mnde.因此真命题的序号是.考点3空间两条直线的位置关系应用性考向1异面直线的判定如图，g，n，m，h分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh与mn是异面直线的图形有_(填序号)解析：图中，直线ghmn；图中，g，h，n三点共面，但m平面ghn，因此直线gh与mn异面；图中，连接mg，gmhn，因此gh与mn共面；图中，g，m，n共面，但h平面gmn，因此gh与mn异面所以图中gh与mn异面本例的条件改为“下列选项中，点p，q，r，s分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点”，则直

14、线pq与rs是异面直线的图是()c解析：易知选项a，b中pqrs，选项d中rs与pq相交，只有选项c中rs与pq是异面直线考向2平行或相交直线的判定如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，点e，f分别在a1d，ac上，且a1e2ed，cf2fa，则ef与bd1的位置关系是()a相交但不垂直 b相交且垂直 c异面 d平行d解析：如图，连接d1e并延长，与ad交于点m，由a1e2ed，可得m为ad的中点连接bf并延长，交ad于点n.因为cf2fa，可得n为ad的中点，所以m，n重合，所以ef和bd1共面，且，所以，所以efbd1.空间中两直线位置关系的判定方法异面直线的判定定理：平面外一点与平

15、面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线1若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()al与l1，l2都不相交bl与l1，l2都相交cl至多与l1，l2中的一条相交dl至少与l1，l2中的一条相交d解析：(方法一：反证法)由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交(方法二：模型法)如图l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交故a，b不正确如图，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故c不正确故选d.2如图，点n为正方形abcd的中心，ecd为正三角形，平面ecd平面abcd，m是线段ed的中点，则()abmen，且直线bm，en是相交直线bbmen，且直线bm，en是相交直线cbmen，且直线bm，en是异面直线d