2022版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概率与基本初等函数Ⅰ第2节函数的单调性与最值学案含解析新人教A版

1、第二节函数的单调性与最值一、教材概念结论性质重现1单调递增、单调递减一般的，设函数f (x)的定义域为i，区间di：(1)如果x1，x2d，当x1x2时，都有f (x1)f (x2)，那么就称函数f (x)在区间d上单调递增(2)如果x1，x2d，当x1f (x2)，那么就称函数f (x)在区间d上单调递减2增函数、减函数(1)当函数f (x)在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数；(2)当函数f (x)在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数1单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可2增、减函数定义的等价形式对

2、于x1，x2d，都有(x1x2)f (x1)f (x2)0(0(0，解得x4或x0”的是()af (x)2xbf (x)|x1|cf (x)xdf (x)ln(x1)ad解析：由(x1x2)f (x1)f (x2)0可知，f (x)在(0，)上是增函数，a，d选项中，f (x)为增函数；b中，f (x)|x1|在(0，)上不单调；对于f (x)x，因为y与yx在(0，)上单调递减，因此f (x)在(0，)上是减函数故选ad4试讨论函数f (x)(a0)在(1,1)上的单调性解：(方法一：定义法)设1x1x21，f (x)aa，则f (x1)f (x2)aa.因为1x1x20，x110，x210

3、时，f (x1)f (x2)0，即f (x1)f (x2)，函数f (x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f (x1)f (x2)0，即f (x1)0时，f (x)0，函数f (x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f (x)在(1，1)上单调递增判断函数的单调性和求单调区间的方法定义法一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论图象法若f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降判断函数的单调性导数法先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间性质法对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增增增，增减增，减减减，减增减”进行判断

4、复合法对于复合函数，先将函数f (g(x)分解成f (t)和tg(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断考点2函数的最值(值域)综合性(1)函数y|x1|x2|的最小值为_3解析：(方法一)函数y作出函数的图象如图所示根据图象可知，函数y|x1|x2|的最小值为3.(方法二)利用绝对值不等式的性质y|x1|x2|x1|2x|x12x|3.故函数的最小值为3.(2)函数f (x)log2(x2)在区间1,1上的最大值为_3解析：由于y在1,1上单调递减，ylog2(x2)在1,1上单调递增，所以f (x)在1,1上单调递减，故f (x)在1,1上的最大

5、值为f (1)3.(3)函数f (x)的最大值为_4解析：当x0时，f (x)x24x(x2)24，而2(，0，此时f (x)在x2处取得最大值，且f (2)4；当x0时，f (x)sin x，此时f (x)在区间(0，)上的最大值为1.综上所述，函数f (x)的最大值为4.求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)分离常数法：求形如y(ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解(5)基本不等式法：先对解

6、析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值1函数y的值域为_1,1)解析：由y，可得x2.由x20，知0，解得1yf (3)f (2)bf ()f (2)f (3)cf ()f (3)f (2)df ()f (2)f (3)f (2)，即f ()f (3)f (2)比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解考向2解不等式已知函数f (x)ln x2x，若f (x24)2，则实数x的取值范围是_(， 2)(2, )解析：因为函数f (x)ln x

7、2x在(0，)上单调递增，且f (1)ln 122.由f (x24)2得f (x24)f (1)所以0x241，解得x2或2xf (h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)0成立，则实数a的取值范围为_4,8)解析：由题意，函数f (x)在(，1和(1，)上分别单调递增，且f (x)在(，1上的最高点不高于其在(1，)上的最低点，即解得4a8.利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意，若分段函数在r上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的

8、单调性，还要注意分界点处的函数值大小1定义在r上的偶函数f (x)满足f (x)f (x2)，且在1,0上单调递减设af ()，bf (2)，cf (3)，则a，b，c的大小关系是()abca babc cbac dacbc解析：因为偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，所以函数f (x)的周期为2，则af ()f (2)，bf (2)f (0)，cf (3)f (1)因为120，且函数f (x)在1,0上单调递减，所以ba0，x1x2，且f (a2a)f (2a2)，则实数a的取值范围为_0,1)解析：因为函数f (x)满足(x1x2)f (x1)f (x2)0，x1x2，所以函数f (x)在2,2上单调递增，所