高数多元函数复习题

1、高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 一、基本题型用图表示；求多元函数的定义域并. 1明不存在的方法。求多元函数的极限及证. 2. 3 偏导数及求法. 4 全微分及求法。在、全微分存在的关系多元函数连续、偏导存. 5).(. 6抽象函数求高阶导复合函数求导法则).3(. 7种情况隐函数求导法则总复习总复习 多元函数微分学多元函数微分学高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 . 8方向导数及计算公式).3

2、(. 9种形式面方程空间曲线的切线和法平).2(.10种形式线方程空间曲面的切平面及法.11方法多元函数的极值及判别乘数法。多元条件极值的lagrange.12.13求法区域上多元函数最值的高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 0,1),(22xyyxyx1. xyyxz)(arcsin22提示提示:122 yx0 xy0 xdxyo例例1 求求函数的定义域，并作图。.1)ln(. 222yxxxyz定义域为解:高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页

3、 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 设yxfyyxu23,2且21 ,xxu求yxu,解解21 ,xxu223xxf令23123txxt 2291ttf2222391,yxyyxu高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 1. 22200sinlimyxyxyx提示提示: 222sin0yxyx0ysiny例例3 填空题填空题 11lim. 200yxyxyx)(21lim00yxyxyx22高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页

4、下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 3.225300limyxyxyx提示提示: 22530yxyx3yx 03222222yyxyxyxx4. 设2),(yyxyxyxf, 则),(yxfx,yxvyxu则),(vuf, )(212vuu 即)(21),(2yxxyxfyx21提示提示: 令高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 5. 设),(yxf,sin2yxyx0yx,00yx则)1 ,0(xf提示提示:)1 ,0(xfxfxfx) 1 , 0() 1 ,(lim0220sinl

5、imxxx16. f ( x , y ) 在点),(00yx处偏导数, ),(00yxfx存在是 f ( x , y ) 在该点连续 ( ) .(a) 充分条件但非必要 (b) 必要条件但非充分 ;(c) 充要条件 ; (d) 既非充分也非必要条件.d1选择题 ( 6 - 8 ),(00yxfy高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 7. 设 f ( x , y ) 在点( a , b ) 偏导数存在 , 则)(),(),(lim0 xbxafbxafx),()(; ),2()(; ),(2)(;0

6、)(bafdbafcbafbaxxxb提示提示: 因为只要写结果 , 可直接用罗必塔法则找答案 ),(),(lim110bxafbxafx原式),(21baf 高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 8. )()1 (lnlim00yxyxxyx1)( ;)( ;0)(decb提示提示: 利用令,mxyx即xxym则 原式=yxyxyx200limmmyxxxx2300lim,1当 m = 3 时,当 m = 4 时a(a) 不存在 ;,)1 (lnyxyx高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结

7、束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 证明、判断下列极限存在与否26300limyxyxyx（2）26300sinlimyxyxyx（3）提示：（1）42200limyxxyyxxky 取时，有2422200limxkxxkyx42001limkkyx3xky 取时，有626600limxkxkxyx2001limkkyx3xky 取时，有6263300sinlimxkxxkxyx2001limkkyx表明上式中极限均不存在。高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结

8、束 目录 上页 下页 返回 结束 224400)sin(lim. 4yxyxyx224400limyxyxyx22400limyxxyx22400limyxyyx000.)(lim2222200不存在证明yxyxyxyx:证明1,yx当沿路径时极限为, 02路径时极限为当沿xy .所以极限不存在例例5高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明：函数 点 连续、|),(xyyxf),( 00)0 , 0(0|lim),(lim:0000fxyyxfyxyx证明所以在点 连续 ),( 0000li

9、m)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(00 xxfxffxxx00lim)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(00yyfyffyyy所以在点 偏导数都存在 ),( 00|)0 , 0()0 , 0(yxyfxffyx偏导数存在、但不可微.例例6高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 0lim2200|limyxyxyx220|limyxyxxyx0212lim220 xxx所以在点 不可微。 ),(00高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上

10、页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 体会二元函数的一些基本概念之间的关系体会二元函数的一些基本概念之间的关系1、函数可微，偏导数不一定连续；2、当yxfxyx,lim00和yxfyyx,lim00不存在时，也不能断定0 , 0 xf和0 , 0yf不存在。这只能说明偏导数在点（0，0）处不连续。yxfz,在点00, yxp处四个基本概念之间的关系连续性偏导数方向导数可微性可微性条件增强由它可以推出其它三个概念，反之不一定存在。高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 求下列函数

11、的偏导数和全微分。（1）设)2sin(),(yxeyxfx解解求,)4, 0(xf,)4, 0(yf,)4, 0(fd可先代入部分值，再求导数。xexfxcos4,1cossin04, 0 xxxxexfyyf2sin, 002cos244, 0yyyfxdfd4, 0高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxuddzzudyyudxxu)1ln(2xxx) 1 , 1 ,(xu5111111 , 1 , 221 , 1 , 2xxu242ln2) 1 , 2(2yyuy55212ln41

12、 , 1 , 2yu52ln2), 1 , 2(zzu2ln21 , 1 , 2zu),(zyxud, )ln(222yxxxuzy求, ) 1 , 1 ,2(ud（2）设解解高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 设,arctanyxz 求.yzxz解法一解法一: xzyx11yx211yxyyzyx11yx21xxylnyzxz)1 (2yyxxxxyln例例8解法二解法二: zdyx11yx21yxdyx11yx21)ln(1ydxxxdyxyy高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目

13、录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设,)(xyfxu 其中,2cf 求2222yuxu解解:)(xyfxu)(xyfxy; )(xyfyu)(222xyfxyxu)(2xyfxy)(32xyfxy )(32xyfxy )(122xyfxyu )()1(1222222xyfxyxyuxu 高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 ),(2vufxz xzx22x1ffx2例例9),(2xyxyfxz yxz2设其中具有二阶连续偏导，求f解：

14、解：,xyu 令fuxy xyv,xyv f2xy2f y1fy22fyx高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 2212fyxfyfxyxz2uf22fx223112213yfxfxyfxfx2121fxfxy11211fxfxyx212221fxfxxz),(2xyxyfxz 高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例10 设),(yxzz 由方程0),(xzyyzxf确定 ,其中f 可微 , 求.

15、yzyxzx解解:)(21yydzzdyxdf 0)(22 xxdzzdxydf得xdffxzzd122ydffyz212xfyf21xfyf21yzyxzx yx21fyfx)(2112fyfyzfxfxzzyx高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例11 求曲线023:2333zyxzyx上在点a(1,1.1)处的切线方程和法平面方程。解：解： 方程组两边对 x 求导得02210333222z zyzzyyx将点a(1，1，1）代入 2111111zyzy 431411zy3, 1, 441

16、s切线方程311141zyx法平面方程 013114zyx高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 0),(),(tyxfttxfy是由而设取微分将0),(),(tyxftxfy0dtfdyfdxfdtfdxfdytyxtxtytxtxtfffffffdxdy解解例例12.,dxdyyx求函数确定的xtfdxdtfdxdyxtyfdxdtfdxdyf高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 依题意，两平面平行

17、63421000zyx.2000zyx例例13解：解： 令求曲面平行于平面的各切平面方程。2132222zyx064zyx),(000zyx设为曲面上的切点，10 x满足方程),(000zyx切点为, )2,2, 1 ()2, 2, 1(0)2(6)2(4) 1(zyx切平面方程(1)0)2(6)2(4) 1(zyx切平面方程(2)2132,222zyxzyxfzyxzyxn3 ,2 ,26 ,4 ,2高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例14 求曲线0122322zyx绕 y 轴旋转一周生成

18、的曲面在点2, 3, 0上的切平面与xoy平面的夹角。解解 旋转曲面1223:222yzxzyxn3,2,322, 3, 0在点23, 32, 0nxoy平面上1, 0, 01n11cosnnnn153153arccos高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 ,xyexz 证明曲面在任意点),(zyxm解解: 令, zexfxy则曲面在点 m 的法向量为zyxfffn, ,xyxyexye而zyxom,omnxyeyz0故.omn 的法线与向量 垂直 .om,xye1xyxyeyex例例15. 设曲

19、面的方程为高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 求最大长方体xoy解解 设长方体的一个顶点 在锥面，则长方体),(zyxm)0, 0, 0()2(4zyxzxyv)()2(),(222yxzzxyzyxf作）（令102)2(xzyfx）（ 202)2(yzxfy）（ 302zxyfz）（ 4222yxz例例1622yxz2z在圆锥面与平面所围成的锥体内作底面与面平行的长方体，的体积。的体积：高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目

20、录 上页 下页 返回 结束 将式乘以x与式乘以y相比较得 yx 将 代入式并由式得 yx xz2232x所以得唯一驻点为 ),(34232232依题意必有最大值，从而长方体的最大体积为276434232242)()(v22 z高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例17. 求点 (1, 2, 0) 到曲面02yxz的最短距离 .解解: 问题为222)2() 1(zyxd02yxz( 条件 )设222)2() 1(zyxf)(2yxz 令0)1(2yxfx0)2(2xyfy022zzfz02yxz

21、f解得)0,0, 1(),(zyx)0,2,0(),(zyx此两点到曲面的距离为;2)0,0, 1(d1)0,2,0(d故1)0,2,0(d)min(为最短 .高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 . 1, 3)0(zyezyezeyzyyxxxx的最大值，并证明求满足和、设三个实数, 3zeyx,3xeyzzyeyxfx),(令)3(yeyexx)23(yeyexfxx)23(yeeyfxx解解023023yeyfyexfxx令1, 0yx唯一驻点例例1818高等数学高等数学目录 上页 下页 返

22、回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 , 2)1 , 0(22xfa而, 1)1 , 0(2yxfb2)1 , 0(22yfc, 03) 1()2()2(22bac0,a且1),(yxf. 1zyex从而，即为最大值处取得极值在点1) 1 , 0() 1 , 0(),(fyxf高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 是直线直线设函数lzyxyu,)(cos22解.coscoscoszuyuxulu的方向向量先求l,5:0420231:1上

23、的投影在平面zyxzyzxl的方向导数及沿直线在点试求函数lpu) 1 , 0 , 0().(轴正向为锐角与规定zlugradp例例19高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 作平面束过直线1l0)42(23zyzx04)221(3zyx垂直的条件由与平面022131 185 的方程直线l020560zyxzyx的方向向量l1561110kjilkji1174轴正向夹角为锐角与zl高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下

24、页 返回 结束 kjils11740取的方向余弦l,1864cos,cos1867 .cos18611 , 0)2sin(ppxyyxu, 1)12sin(2ppzxyxyu, 0)2(3ppzyzuppzuyuxulu)coscoscos(1867pkzujyuixugradu) 1 , 0 , 0(0 , 1, 0 高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例20. 在曲面21222zyx上求出一点 m , 使),(zyxf222zyx沿着点)1 , 1 , 1(a)1 ,0,2(b的方向导数具有最大值 . 解解: ,0, 1, 1 ab其方向余弦为,0,