高数下习题课

1、m0m垂面方程为垂面方程为0) 1()2() 1( 2 zyx012 zyx即即：2o 求出求出 l1与此平面的交点与此平面的交点m： 11122zyx 012 zyx32 t)32 ,31 ,32( m交交点点.35 ,35 ,35 0 mm , 1 , 1 , 1 3o s取取 得得所所求求直直线线为为：. 111211: zyxl.l= t解：解：l1. 11122: )1, 2 , 1(1)10的方程的方程垂直相交的直线垂直相交的直线且与直线且与直线求过点求过点lzyxlm 11o 过过 m0作作 l1 的垂面，的垂面，dl1l2 方法方法 i 思路：思路：1o 过过l1做平面做平面

2、，使，使 / l2.2o 点点m l2,点点m 到平面到平面 的距的距 离即为离即为d.m. 241342: 31121: 21dzyxlzyxl距离距离之间的之间的与与求直线求直线 (2)解：解：1s2s.先求平面先求平面 的法矢量：的法矢量：21ssn 2 , 1, 43, 1 , 2 6 ,16 , 1 06)1(16)1(: zyx015616: zyx即即 取点取点m(2,3,4) l2,2226161|15)4(63162| d有有.29311 .n方法方法 ii 思路：思路：. 241342: 31121: 21dzyxlzyxl距离距离之间的之间的与与求直线求直线 .解：解：l

3、1l21s2smn利用混合积的几何意义：利用混合积的几何意义：所求的所求的 d 就是三矢量构成的就是三矢量构成的平行六面体的高平行六面体的高.|2121ssnmssd .| 2 , 1, 43, 1 , 2 | 4, 2 , 32 , 1, 43, 1 , 2 | .29311 .(2)(3)思路思路i：. 221l的的交交线线即即为为所所求求直直线线与与平平面面因为：因为：(1) 它们共面它们共面.(2) 它们不平行它们不平行.( l2平行于已知平面平行于已知平面 ，但显然，但显然 l 1 不平行不平行于于 . )相交。相交。问题问题：l2与与 l1 相交吗？相交吗？求直线的一般式方程求直线

4、的一般式方程. 2 1 2nl1l2. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210lzyxlzyxm相交的直线方程相交的直线方程又与直线又与直线平行平行且与平面且与平面求过点求过点 ：的的平平面面且且平平行行于于平平面面先先求求过过10 m.1可可求求出出. 210lm的的平平面面过过已已知知直直线线且且再再求求过过.m0.2可可求求出出具体解答如下：具体解答如下：nm12nl1l2；的的平平面面且且平平行行于于平平面面求求出出过过10 m0143 :1 zyx：的平面的平面过已知直线过已知直线且且再求过再求过210 lmm0, )031( 1m,为为记记点点 2法法矢矢量

5、量则则平平面面 . 2 , 1 , 31 sl的的方方向向数数：m1smmn 102 2 , 1 , 34, 3 , 0 9,12,10 解：解：. 04691210 :2 zyx 046912100143: 2 zyxzyxl所所求求直直线线.思路思路i： 求直线的一般式方程求直线的一般式方程.sn. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210lzyxlzyxm相交的直线方程相交的直线方程又与直线又与直线平行平行且与平面且与平面求过点求过点 2 1 (3).思路思路ii：. 4437481: zyxl 为为所所求求直直线线1 , 4, 32 , 1 , 34, 3 , 0

6、 1 , 4, 39,12,10 求直线的标准式方程求直线的标准式方程.l11n2n从思路从思路 i 的分析知：的分析知：nnn 124 ,37,48 . 22nl 的的方方向向矢矢为为设设.l2如图：如图：.n. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210lzyxlzyxm相交的直线方程相交的直线方程又与直线又与直线平行平行且与平面且与平面求过点求过点 2 1 解：解：(3).2. （1） 解：解：。处处的的一一阶阶偏偏导导数数在在点点求求 )0 , 0( 0 0 0 2424242 yxyxyxyxz )0 , 0()0 ,(lim 0 xfxfx )0,0(xz 00

7、0lim420 xxxx = 0 )0,0(yz )0 , 0(), 0(lim0yfyfy 000lim20yyyy = 0(2) . :, , )( 22212xzyzyxzxzccfyxfz 求求证证其其中中设设, fxz 左左：; 2 fyxz, fyz右右：, 22fxz . ff右右左左解：解：证毕证毕. . , e 22222)(yzyxzxzzyxzyx ，求求，已已知知: 求求导导两两边边对对 x)1(e1 )(xzxzzyx 解：解： 0)e1)(1( )(，即即： zyxxz 0e1 )(，因因： zyx 01 ， xz . 1 xz故故 . 1 yz同同理理， . 0

8、22222 yzyxzxz(3).解：解：.d2ddyxzp (4) .)1, 0 , 1(),( 2 22处处的的全全微微分分点点在在确确定定的的隐隐函函数数由由方方程程 pyxzzxyzzx0 2 22 xyzzx f设设1 : zxffxzp处处在在点点则则, 22yzzxxfx , xzfy 22xyzxzfz , 21 pxf, 1 pyf. 21 pzf2 zyffyz.解：解：,2yzyux .(5).6 , 2 , 3 )211( 22的的方方向向导导数数处处沿沿方方向向，在在点点求求函函数数 lpxyz zxyu,2xzxyuy xyzuz 2, 1 pxu, 0 pyu3

9、pzu6 , 2 , 371cos,cos,cos 的的方方向向余余弦弦l coscoscos pzpypxpuuulu 76373 .715 (6)解：解：.).( grad, )( 222rfzyxrrf求求为为可可微微函函数数，其其中中设设 ,)( grad zfyfxfrf xrfxf , ryfyf . rzfzf , rxf . )( gradzy,x,rfrf 同理：同理：(7) 的的切切平平面面方方程程。上上平平行行于于平平面面求求椭椭球球面面 02 12 222 zyxzyx解：解：主主要要是是求求切切点点。 ,2 11/ ，则则 n2 ,4 ,2, zyxfffnzyx .

10、2 , 1, 1 . , 4,2 zyx, n为为设设所所求求切切平平面面的的法法矢矢量量. 代代入入椭椭球球面面，定定. 1122 . 1122 , 11221 , 112 得得切切点点为为. 2112 zyx切切平平面面为为 (8) 的的极极值值。求求函函数数 12153 23yxxyxz 012601533 22xyzyxzyx由由).1, 2(),2, 1(),1 , 2(),2 , 1( 得得驻驻点点：求求二二阶阶偏偏导导：.6 ,6 ,6xzyzxzyyxyxx ),(00yxabcacb 2结结 论论 (1, 2) (2, 1) (1, 2) (2, 1)6612 0z(1,2)

11、非极值非极值12126 0z( 1, 2)非极值非极值 12 12 6 0极大值极大值 z( 2, 1)=28列表分析：列表分析：8 设设d是矩形域：是矩形域： x , 1 y 1 .则则 dy d)sin2( 设设, dd),( dyxyxfi则在极坐标下的二次积分为则在极坐标下的二次积分为, 21 ,1 ),( xxyxyxd其中域其中域. 交换二次积分的积分顺序：交换二次积分的积分顺序： d),(d1201 yxyxfy 1220 222dd)ln( limyxyxyx. dr)sin,cos(dcos2cos sin1441arctan rrrfi. d),(d1021 xyyxfx.

12、 1(2) 设设d是矩形域：是矩形域： x , 1 y 1 .则则 dy d)sin2(8 0dsin dy（d关于关于x轴对称，轴对称，siny是是y的奇函数的奇函数.）.解：解：1(2)证毕证毕., dd),( dyxyxfi则在极坐标下的二次积分为则在极坐标下的二次积分为, 21 ,1 ),( xxyxyxd其中域其中域 dr)sin,cos(dcos2cos sin1441arctan rrrfi.oxy图形图形2y = xxy1 d1 141arctan1 cossin1 rx =2 cos2 r4 2 2 .曲边扇形曲边扇形解：解：即得答案即得答案.(3)证毕证毕.交换二次积分的积

13、分顺序：交换二次积分的积分顺序： d),(d1201 yxyxfy d),(d1021 xyyxfx.解：解：oxy121x+y =1d d),(d1201 yxyxfy d),(d2101 yxyxfy d),(d0121 xyyxfx答案答案.限限上下上下换换(4)证毕证毕.换换序序. 1220 222dd)ln( limyxyxyx 解：解： 122222dd)ln(yxyxyx 1 20d lnd2rrr 分步分步 1 d ln 4rrr)441 ln2( 422 0)( .(5)洛必达法则洛必达法则证毕证毕.3.计算计算(1)?),( .1,0, dd),(),(),(2 yxfxx

14、yydvuvufxyyxfyxfd求求所所围围成成的的闭闭区区域域是是由由其其中中， 连连续续，且且 设设(2)xyxyiyyxyyxydedded121212141 计计算算：(3). , dd42222222围围成成的的闭闭区区域域和和直直线线是是由由曲曲线线其其中中xyxaaydyxyxayxid (4). )0( 22222的的转转动动惯惯量量轴轴围围成成，求求该该物物体体对对及及由由曲曲面面设设有有一一均均匀匀物物体体ozaayxzyxaz 解答解答:3.计算计算 (1)而且必为一个而且必为一个常数常数。 dd),(存在，存在， dvuvuf, dd),( avuvufd 设设.),

15、( axyyxf 由已知：由已知：只须求只须求a.将上式两端在将上式两端在 d 上作二重积分上作二重积分: dd)( dd),( ddyxaxyyxyxfa = 2010d)(dxyaxyx3121a 81 a.81),( xyyxf因为因为 f (x,y) 连续，连续，.解答解答:3 (2)xyo的原函数不是初等函数，必须换序。的原函数不是初等函数，必须换序。xye 2141 21 :1yyxd由由 1 21 :2yyxyd 121 :2xxyxd得得yx 2121411d2d1y = xd ded2121 xxxyyxi. e21e83 .而言，而言，对积分对积分 de xxy解答解答:3

16、 (3)xyoy = x22 xaay 2 22ayyx 04 sin20 : ard.d使用哪种坐标系？使用哪种坐标系？ d的边界的表示式？的边界的表示式？ d4d sin2022204 arrari. sin2 tar 令令 )dcos2(1d2 0042 ttai. )2116( 22 a.a解答解答:3 (4) zvyx i d)(22 设设 =1 下下锥锥体体上上半半球球体体vyxvyx d)(d)(2222. arrdd 0342020dsin 03020dddarazrr 55101154aa .30115a .(柱系柱系)(球系球系)组组成成的的分分段段光光滑滑曲曲线线。的的直

17、直线线段段与与连连接接点点的的劣劣弧弧之之间间圆圆介介于于点点是是以以原原点点为为圆圆心心的的单单位位，bccbabbalsyxl)2 , 1(, )1 , 0(),0 , 1( d)( oxya(1,0)b(0,1)c(1,2)解解 lsyxd)( bcabyxsyx)ds(d)(三三1.其中，其中， tytxabsincos: d )()(d22ttytxs 1 : x ybc dt d )(1d2xxys d 2 x )ds( lyx d210 x 22 . d)sin(cos2 ttt线。线。组成的有向分段光滑曲组成的有向分段光滑曲的线段的线段到到上从点上从点与直线与直线的有向弧段的有

18、向弧段到到上从点上从点是曲线是曲线，bccbyabbaxylyxxyl)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14a(1,1)b(2,4)c (1,4)解解三三2.1 bcabl. 212d)211(xxxx4121 21 xx 49 . 12d41x也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：线。线。组成的有向分段光滑曲组成的有向分段光滑曲的线段的线段到到上从点上从点与直线与直线的有向弧段的有向弧段到到上从点上从点是曲线是曲线，bccbyabbaxylyxxyl)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14a(1,1)b(2,4)c(1,4)

19、d解解1 cal dyxxy dd)11(22. yxxyy12241d)11(d 先先 x 4122123d)1(yyyy43 l d1d143 cayxxy d14314 y 49 .三三2.oxyz的第一卦限部分。的第一卦限部分。介于介于是曲面是曲面， 402 d)(1 2222 zyxzssyxzzs4解解三三3.dxy2 :22yxzs dd1d22yxzzzyx dd122yxyx d)1(22 sszyx原式原式 dd1322 xydyxyx 08:22 zyxdxy其其中中： 220220d13drrr 原原式式用平面极坐标用平面极坐标 2202220)d(1123drr 22

20、0232)(12 r 13 .22部部分分。上上侧侧的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzszyxysoxyz解解类型：类型：ii 型曲面积分型曲面积分三三4.s由第一卦限和第二卦限中的锥面由第一卦限和第二卦限中的锥面s1和和s2构成构成.221:yzxs 其上侧在其上侧在yoz平面的投影为平面的投影为负负；其上侧在其上侧在yoz平面的投影为平面的投影为正正.222:yzxs 21sss yzdzyyyzdd22 yzdzyyyzdd222hyzohz = ydyz yzdzyyyzdd)(22dyz 图形？图形？ y先先. 64h .s1s2. dd20220 zhyyzyz.

21、也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：部部分分。上上侧侧的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzszyxysoxyz解解类型：类型：ii 型曲面积分型曲面积分需贴补侧面需贴补侧面s （右侧）（右侧）和半圆顶面和半圆顶面s半圆半圆（下侧）（下侧）. sssvxpd半圆半圆 xydyxyxhyd)d(22hhdxy 图形？图形？ 极极坐坐标标. 64h . )d(d sin02 0 hrrhr 三三4. vyd hyxdzyxyxy22ddds xyds半圆半圆，又因又因 0dd szyxy，半圆半圆 0dd szyxy. 6dd4hzyxys .2. (1) 所所作作的的功功。力力

22、方方向向运运动动一一周周，试试求求场场的的逆逆时时针针的的作作用用下下，沿沿着着圆圆周周在在场场力力的的点点，力力场场中中设设有有平平面面力力场场 4 )1(4)1(41 222222fyxfmjyxxiyxyf 解解2211xyo lyyxxxyxywd)1(4d)1(412222l22)1(41 yxyp22)1(4 yxxq成立成立对对因因 )1 , 0(),( yxxqyp正向正向取曲线取曲线 1)1(4: 22 yxc tytxcsin1cos21: ,其参数式其参数式 clw dcos21sin21sin11202 tttt .0 t 2 c.2. (2) . )0( )()()(

23、 22233233ryxrzkrzjryirxa的的上上侧侧的的流流量量面面通通过过上上半半球球求求流流速速场场 oxyz解解rs 上上syxrzxzryzyrxdd)(dd)(dd)(33233 vdzyxzyxxyddd)(3222下侧下侧v dsin3dd0222020 rrrr 565r 下侧下侧xyd xydyxrdd35 r 555 6 rr 5 11 5r xydyxrdd3.dxy解解 , )e(e3 2xxxyyp 1)(e xqxyp 由由xq )(e1)(exxxx xxxye )(e32 .1e3)( 3 xx得得 ; e)( 3cxxx .)0 , 0(),( 00

24、yx取取 yxyyxqxxpu00 d),(d)0 ,( yxxxyxx030 d)(eed0 .ee2xxxyy . d 1)(ed )e(e3 d ),( )( )1( 2 ),( d 1)(ed )e(e3 )( 0)0( ),( )( 1 )3(2o2oyxxxyyuyxuxyxuxoyyxxxyyxxxxxxxx ，使使，求求出出一一个个函函数数题题得得到到的的利利用用的的全全微微分分。平平面面上上某某一一函函数数是是使使，求求上上连连续续可可微微，且且在在设设函函数数o1o2.三三 1. 解答解答. 0)( )( 1121121的敛散性的敛散性判断级数判断级数 aaannn用级数收

25、敛的定义用级数收敛的定义.)()()(121121315131 nnnaaaaaasaan 121 1a )( n所以，原级数收敛，且其和为所以，原级数收敛，且其和为 1 a .三三 2. 解答解答. )11e ()1( 111的敛散性的敛散性判断级数判断级数 nnnnxn 1 令令xxfx 1e)(1e)( xxf)0( 0 x )(xf0)11e ( )11e (11 nnnn且且0)11e ( lim1 nnn又：又：由莱布尼茨定理知级数收敛。由莱布尼茨定理知级数收敛。再由再由ex 的麦克劳林展开式知：的麦克劳林展开式知：)( )(2xoxf )1(11e1nonn 即：即：. 1 )1

26、1e ( 111同发散同发散与与级数级数 nnnnn. )11e ()1( 111条件收敛条件收敛原级数原级数 nnnn.)0( 0)0()( xfxf且且.三三 3. 解答解答. )2( )54ln()( 其其收收敛敛域域，并并指指出出的的幂幂级级数数展展为为将将函函数数 xxxf 3)2(4ln)( xxf 1)2(343lnx)2(341ln3ln x 11)2()34(1)1(3lnnnnnxn 1)2(341 x41145 x.oxy三三 4. 解答解答1. .)0 , )( 上作偶延拓上作偶延拓在在将将 xf0 nb 00d)(2 xxfa 20d 42x= 4 0dcos)(2

27、xnxxfan 20dcos42xnx2sin8 nnnxnnxfncos2sin182)(1 ,2()2, 0 x 2 2 2 f (x)s (x)偶延拓偶延拓2 )4( s )0( s4 )0(f42 .oxy三三 4. 解答解答2., , 0()( 上上有有定定义义在在仅仅限限 xf , 2 , 1 , 0 , 0 nan 0dsin)(2 xnxxfbn 20dsin42xnx)12(cos8 nnnxnnxfnsin)12(cos18)(1 ,2()2, 0( x 2 2 f (x)s (x)奇延拓奇延拓2 )4( s )0( s44 .)0 , )( 上上作作奇奇延延拓拓在在将将

28、xf0. )0)( 可可以以奇奇延延拓拓，在在则则 xf2 .2 例例 2 . 1)sin( 12的敛散性的敛散性判断级数判断级数 nnnn , 1)sin( 22nnn 因为因为收敛，收敛，而级数而级数 12 1 nn. )sin(12绝绝对对收收敛敛 nnn 发散，发散，而而 1 1 nn. 原级数发散原级数发散.解：解：二二 典型例题典型例题. )!1( 1 nonnn 时，时，当当 用用级级数数理理论论证证明明：，考考虑虑级级数数 ! 1 nnnnnnnnu! !)1(! )1(limlim11nnnnuunnnnnn nnnn)1(lim 由比值法：由比值法：. ! 1收收敛敛级级数数 nnnn由收敛的必要条件：由收敛的必要条件：0lim nnu0!lim nnnn即即：. 1e1 解：解：例例 3. )!1( 1 nonnn 时，时，当当解：解：. !)1)(1( )!1( 11的和的和的和函数，并求的和函数，并求求幂级数