MATLAB数学实验

1、matlab数学实验数学实验第五章第五章 应用微积分应用微积分第五章第五章 应用微积分应用微积分5.1 预备知识：微积分的基本概念预备知识：微积分的基本概念5.2 数值微积分数值微积分matlab指令指令5.3 计算实验：数值微积分计算实验：数值微积分5.4 建模实验：奶油蛋糕建模实验：奶油蛋糕1.极限和连续数列极限: 0, n0 ，使当nn时 有xn -a0,函数在x0点附近是上升的；当f(x0)0,函数在x0点附近是下降的；当f(x0)=0, x0为驻点,当n=0 得微分中值定理 f(x) - f(x0) = f() (x- x0) 其中是x0与x之间某个值taylor公式:当f(x)在含

2、有x0某个开区间内具有直到n+1阶的导数，200000( )(1)1000()( )()()()()2()( )()()!(1)!nnnnfxf xf xfxxxxxfxfxxxxnntaylor展开的几何解释展开的几何解释f(x)二 次一 次三 次3.多元函数微分学 设f(x,y)在点(x0,y0)附近有定义，当(x,y)以任何方式趋向于(x0,y0)时，f(x,y)趋向于一个确定的常数a，则二重极限ayxfyyxx),(lim00若 a=f(x0,y0), 称f(x,y)在(x0,y0) 点连续f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数fxyf xx yf xyxfxyf xyyf xyyxx

3、yy(,)lim(,)(,)(,)lim(,)(,)00000000000000多元函数taylor公式n二元函数在二元函数在(x0,y0)附近局部线性化附近局部线性化(平面近似曲面平面近似曲面): () (0,0) + (0,0) (0) + (0,0) (0) 00000000200000002000( , )(,)(,)()(,)()1 (,)()2(,)()()2 (,)() xyxxxyyyf x yf xyfxyxxfxyyyfxyxxfxyxxyyfxyyy函数极值n一元可微一元可微 ( )在内点在内点0取得局部极大或极小的必取得局部极大或极小的必要条件是要条件是 (0) =0.

4、 局部极大局部极大(或极小或极小)充分条件充分条件是是 (0) =0, (0) 0).n二元可微二元可微 ()在内点在内点(0,0) 取得局部极大或极取得局部极大或极小的必要条件是梯度小的必要条件是梯度 f (0,0)=0, 充分条件是充分条件是 f (0,0) =0且下列且下列hesse矩阵负定矩阵负定(局部极大局部极大)或或正定正定(局部极小局部极小)n梯度梯度 f =( ), hesse矩阵矩阵fxfy,222222 yfyxfyxfxf4 . 积分 函数f(x)在区间a,b上的积分定义为f x dxfxabxiinii( )lim()max()01其中 a=x0 x1xn=b, xi=

5、xi-xi-1, i(xi-1,xi), i=1,2,n若在a,b上, f(x)=f(x), 则牛顿莱布尼兹公式二重积分定义为jiijjigyxyxfdxdyyxfji),(lim),(0)max(22baafbfdxxf)()()(曲线曲线&曲面曲面n平面曲线平面曲线( ( ), ( ), 的长度为的长度为n空间曲线空间曲线( ( ), ( ), ( ), z=quadl(x)exp(-x.2),-1,1) z= integral (x)exp(-x.2),-1,1) 注意：积分中注意：积分中fun里用数组运算里用数组运算! fun = (x) exp(-x.2).*log(x).2; q

6、= integral(fun,0,inf) % integral能求反常积分 5. 重积分z=dblquad(fun,a,b,c,d) 求得二元函数 fun(x,y) 在矩形区域的重积分.z=triplequad(fun,a,b,c,d,e,f)求得三元函数fun(x,y,z) 在长方体区域上的三重积分 。z=quad2d(fun,a,b,cx,dx) 求得二元函数fun(x,y)的重积分。a, b为变量x的下、上限；cx, dx为变量y的下、上限函数(自变量为x)z= integral2 (fun,a,b,cx,dx) 类似quad2dz= integral3 (fun,a,b,cx,dx,

7、exy,fxy) 求得三元函数fun(x,y,z)的三重积分 11001(1)xdxdyxyxy例5.2 计算重积分 222201,1(ln(3)cos )zxyzxyzzx dxdydz fun = (x,y) 1./( sqrt(x + y) .* (1 + x + y).2 ) ;q = integral2(fun,0,1,0,(x)1-x) fun = (z,x,y) log(3+x+y+z) + z.2.*cos(x);xmin = (z)-sqrt(1 - z.2);xmax = (z) sqrt(1 - z.2);ymin = (z,x)-sqrt(1 - x.2 - z.2);

8、ymax = (z,x)sqrt(1 - x.2 - z.2);q = integral3(fun,0,1,xmin,xmax,ymin,ymax) 1.1.数值微分数值微分若f(x)在x=a可导, 设h0且足够小称为向前差商向后差商中心差商()( )( )f ahf afah( )()( )f af ahfah()()( )2f ahf ahfah5.3 计算实验：数值微积分计算实验：数值微积分自动步长的中心差商程序：自动步长的中心差商程序：deriv.mfunction d=deriv(fname,a,h0,e)h=h0;d=(fname(a+h)-fname (a-h)/2/h;d0=d

9、+2*e; %为了保证为了保证abs(d-d0)e成立成立while abs(d-d0)e d0=d;h0=h;h=h0/2 d=(fname(a+h)-fname (a-h)/2/h;endf af a hf a hh( )()()2 deriv(x)sin(x),pi/6,0.1,1e-4) 2. 奶油蛋糕例 5 某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型，学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数 r = 2-(exp(2h)+exp(-2h)/5, 0h fun=(h)(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5).2; pi

10、*integral(fun,0,1)即旋转体体积公式解：t=0时z=r. 考虑在时间dt内水面变化dz，漏水的体积为 uadt= - x2dz其中u为出水速度，a为小孔面积，x为高度z水面的半径5m0.5m0例6 一半径为r=5m的球形水罐充满了水，底部有一半径为b=0.1m的小孔漏水，问多少时间以后，水面下降至离底部0.5m?分析：求时间分析：求时间t与水面高度与水面高度z的对应的对应关系。关系。 z表示从球心表示从球心 测量的水面高测量的水面高度度a=b2, x2=r2-z2注意：水从孔漏出的速度注意：水从孔漏出的速度u不是常数！不是常数！zx22220.5220.52 ()2 ()rrrrrzrzdzdzbg zrbg zrt=0时z=r. 在顶部水降到0.5m时，z=0.5-r，从而 t =0+2222 ()rzdtdzbg zr 5m0.5m0u由下列能量方程决定 mg(z+r)=mu2/2 m是质量，g为重力加速度。2 ()ug zr%m脚本脚本eg5_6.mclear;r=5;b=0.1;g=9.8