以二次函数为载体的绝对值不等式例析

1、精品资源以二次函数为载体的绝对值不等式例析函数是高中数学的重要内容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起.以 函数为载体，综合不等式交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型不等式证明问题， 在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位.由于此类问题的解题目 标与已知条件之间的跨度大，使得题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象， 所以它既是高考的热点题型，又是颇难解决的重点问题.下面就以二次函数为载 体的绝对值不等式问题选解几例，以开阔读者的视野.例1已知f(x) = x2 +ax+ b (a、br)的定义域为 1,1,记| f(x)|的最大 值为m,求证：m1 .2解： f(x) = x2 +a

2、x+b, x-1, 1且|f(x)|&m, m|f(-1)l, m斗 f(1)|, m|f(0)|, .2m |f(-1)|+|f(1)| = |1-a+ b|+|1 + a+ b|(1-a+b)+(1+ a+b)| = |2+ 2b|2-2|b| = 2- 2| f (0) |2-2m ,1 . ml -.2例2 设 f(x) = ax2 +bx + c,当| x |01 时，总有 | f (x) |01,求证：|f(2)|&7.证明：.当| x |1 时，有 | f(x)|w1, |f(0)| = | c |1, |f(1)|1, |f(-1)|1,又 f(1) = a+ b+c, f(t

3、) = ab+c, .| f (2) | = | 4a+ 2b+c | = | 3(a+ b+ c)+(ab+c) 3c 性|3 f(1) + f(-1) 3f(0) |3| f(1)|+| f (-1)| + 3| f (0)|3+1 + 3 = 7,即|f (2)|&7.例 3 已知二次函数 f (x) = ax2 + bx+c (a、b、c r),若 | f (一1) |01, | f (1) |，、一371, | f (0)|3, - 1x1,求证：| f(x)|.12证明：f(1)= a+b+c, f (-1) = a b+c, f (0)= c,1 .1 .1 .1 .-a =2f

4、(1) + -f(-1)- f(0), b =-f(1)-f(-1), c =f(0).f (x) = 1 f(1) + 1 f(-1)- f(0)x2+1 f (1) 1 f(-1)x + f(0) 22221 ,1 2、，= -x(x-1) f(-1) + -x(x + 1) f(1) +(1x2) -f(0),2 2.11 2、. .| f(x)| x(x-1)f(-1)|+| x(x+1)f(1)| + |(1-x ) f(0)|, 22|f(-1)|1, |f(1)|1, |f(0)|3,且1w1, 1 12、 c 2| f(x)|-| x |(1-x)+ -| x |(1-x) +

5、 3(1-x2) =3x2 + | x |+3 =-3(| x |-1)2 + 3737.61212例 4 设 f(x) = ax2+bx+c,对一切 x 1, 1,都有 |f(x)|01,求证：对一切 x一1, 1,都有 |2ax+ b| 1.证明：由 f(1) = a+ b+ c, f(-1) = ab+c, f(0) = c,1 一 1 一 一 .1 一 1 一一得 a =2f(1)+-f(-1)- f(0), b =”)21), c=f(0),c ,，1、，1、c .2ax+ b = (x+ -) f (1) + (x - -) f (-1) 2x f (0). 22因当x1, 1时,

6、| f(x)|1,所以有，八1、，1、c ，1 ”，|2ax+ b | = |(x+) f(1) +(x ) f(-1) -2x f(0)|x+11f (1) |+ |x-222111211f (-1) |+ |2x| f (0) |x+ -|+|x-|+|2x|.当 x个一1,；)时，|2ax+b |-4x4;当 x1，0)时，|2ax+ b |1-2x2; 当 xw0,；)时，|2ax+b |1+2x2;当 xw1 , 1时，|2ax+ b |4x4. 2综上所述，对一切对一切 x-1, 1,都有|2ax+ b|1.例 5 已知 a、b、c 是实数，函数 f (x) = ax2+bx +

7、c , g(x) = ax+b ,当 -1x1 时，|f(x)|01.求证：当一10xwi 时，| g(x) |2.证明：. 一iwx&1 时，|f(x)|01 成立,.有|f(0) | = | c |1x 1222= (x+1)(x1)可得4、 r, x 1、2）=斑（丁）+x 1、2/ x 1、2 r , ,gi+b = a(丁)(工)+b(, , x +1、 r ,，x1、2 x1、 r .,*+1、.，*一1、b(-) + c -a(-)2 +b(.)+c = f (丁) f (-)，当一1x01时，有0wq01, 1&士1 0, b沌)，当 | x |01 时,| p(x) | 1,

8、令 g(x)= cx2 + bx+a,求证：当 | x |01 时，|g(x) |02.证明：将-=1, x = 0, x = -1分别代入| p(x) |1得:| a+ b+ c|1, | c |1, | a b+c|1.于是，| a+ b | = | a+ b+cc| a+ b+ c|+ | c |1 + 1 = 2.| a b | = | a b+c c| a b+ c| + | c | 1+ 1 = 2.令x为任意实数，且| x |0,于是有 0cx2 c, bbxb,从而2wb = 0+( b) + acx2 + bx+a =g(x) c+ b+ a1.另一方面，若 c0,贝 cwcx2q,而一bbxb,于是一1cb+acx2 +bx + a = g(x)4+b+a = b+a2.综上，当| x |1时，|g(x)|2成立.评析：二次函数是中学代数的基本内容之一，它有丰富的内涵与外延，解答 此类问题的关