第五章 定积分及其应用

1、高等数学(微积分)教案【教学内容】5.1 定积分的概念和性质【教学目的】理解定积分的概念，掌握定积分的性质【教学重点】定积分的概念【教学难点】定积分概念的理解【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课实例1. 曲边梯形的面积1、曲边梯形定义：由连续曲线，直线及轴所围成的平面图形称为曲边梯形. 2、计算曲边梯形的面积(1) 分割分曲边梯形为n个小曲边梯形.在任意插入个分点把区间分成个小区间，每个小区间的长度是=-，其中最长的小区间的长度记作，即，. 过各分点作x轴的垂线，这样，原曲边梯形就被分成个小曲边梯形.第个小曲边梯形的面积记作，.(2) 近似代替用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积

2、.在每一个小区间，()上任选一点，用与小曲边梯形同底，以为高的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积.这时有.(3) 求和求个小矩形面积之和.n个小矩形构成的阶梯形的面积，是原曲边梯形面积的一个近似值，即有.(4) 取极限由近似值过渡到精确值.分割区间的点数越多，且每个小区间的长度越短，即分割越细，和数与曲边梯形面积的误差越小.将区间无限地细分下去，并使每个小区间的长度都趋于零，这时，和数的极限就是原曲边梯形面积的精确值：.实例2. 变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，已知速度是时间的连续函数，现确定物体由时刻到时刻这一时间段内所经过的路程(1) 分割在时间间隔任意插入个分点把时间间隔分成个

3、小时间间隔，每个小段时间间隔的长度是=-，其中最长的时间间隔的长度记作，即，. 在第个小时间间隔所经过的路程记作(2) 近似在每一个小时间间隔上任取一时刻，以该时刻的速度来近似代替上各个时刻的速度，得到物体在内所经过的路程的近似值，即.(3) 求和把各小段时间间隔内的路程的近似值加起来，就得到物体在内经过的路程的近似值，即(4) 取极限.当时，上述和式的极限就是路程的精确值即.总结：以上两个实际问题，其一是几何问题；其二是物理问题：这两个问题的内容虽然不同，但解决问题的方法却完全相同： 都是采取分割、近似代替、求和、取极限的方法.而最后都归结为同一种结构的和式的极限.事实上，很多实际问题的解决

4、都采取这种方法，并且都归结为这种结构的和式的极限.现抛开问题的实际内容，只从数量关系上的共性加以概括和抽象，便得到了定积分概念.二、讲授新课（一）定积分概念1、定积分定义设函数在闭区间上有定义，在任意插入个分点把区间分成个小区间，每个小区间的长度是=-，其中最长的小区间的长度记作，即，. 在每一个小区间，()上任选一点，作乘积，并作和.如果不论对怎样划分，也不论在小区间上的点如何选取，当时，该和式趋于确定的极限，则称函数在区间上是可积的，此极限是，记作，即. 其中为被积函数，为被积表达式，称为积分变量, 称为积分下限，为积分上限，称为积分区间.说明：（1）定积分是一个数.（2）定积分与被积函数

5、和积分区间有关，与积分变量无关，即（3）定积分与不定积分的区别规定：（1）（2）.2、函数可积的条件（1）函数可积的必要条件若函数在区间上可积，则在区间上有界说明：有界是可积的必要条件；无界函数一定不可积.（2）函数可积的充分条件若函数在区间上连续，则在区间上可积.若函数在闭区间上有界，且有有限个间断点，则在区间上可积.说明：上述条件是充分条件，但不是必要条件.（二） 定积分的几何意义1、若函数，定积分表示由连续曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积，即特别地，在区间上，若，则表示以区间为底，高为1的矩形的面积2、若函数，定积分表示由连续曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积的负值.即.3、一般地

6、，定积分表示由连续曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积的代数和.若以记有阴影部分的面积，则 .【例1】在区间上，若，试用几何图形说明下不等式成立： .解：在区间上，因，所以曲线在轴上方且单调上升.曲边梯形的面积，矩形的面积,矩形的面积.显然，有.【例2】用几何图形说明等式成立.解：曲线 是单位圆在轴上方的部分，面积是.上半圆的面积是函数在区间上的定积分.故有等式（三）定积分的性质（以下总假设所讨论的函数在给定的区间上是可积的）性质1 .性质2 .性质3 (定积分对积分区间的可加性) 任意三个数、，总有 性质4 (比较性质) 若在区间上，有，则，.【例3】比较下列积分值的大小： (1)与； (2

7、)与.解：(1) 在区间上，所以，故. (2) 在区间上，因，又是增函数，则，故.性质5 (估值定理) 若函数在区间上的最大值与最小值分别为与,则.【例4】估计定积分的值.解：在区间上，函数单调增加，则在该区间上的最大值为f(3)=10；最小值为f(1)=2.所以，有.即.性质6(积分中值定理) 若函数在区间上连续，则至少存在一点，使得. 证明: 因为函数在区间上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，函数在区间上有最大值与最小值.于是有不等式或.由闭区间上连续函数的介值定理可知，至少存在一点，使得，即.说明：该定理的几何意义是以区间为底，为高的矩形的面积等于同底的曲边梯形的面积. 即把看作是曲边

8、梯形的平均高度.通常称为函数f(x)在闭区间上的积分平均值.【例5】由定积分的几何意义，确定函数f(x)=在区间上的平均值.解：函数f(x)在区间上的平均值为【教学内容】5.2 微积分基本公式【教学目的】了解微积分学基本定理，掌握微积分基本公式【教学重点】微积分基本公式【教学难点】微积分学基本定理【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课计算函数在区间上的定积分，可以从定积分的定义出发，用求和式极限的方法.但这种方法只能求出极少数函数的定积分，而且对于不同的被积函数要用不同的技巧.因此，这种方法远不能解决定积分的计算问题.本节通过揭示导数与定积分的关系，引出计算定积分的基本公式： 把

9、求定积分的问题转化为求被积函数的原函数问题，从而把求不定积分的方法移植到计算定积分的方法中来.二、讲授新课（一） 微积分学基本定理1、积分上限函数（1）定义：设函数在区间上连续，若对，定积分存在，且对每一个，都有一个积分值与之对应，则称是积分上限的函数，记作，其定义域是区间. 即，.（2）几何意义积分上限函数表示右侧一边可以变动的曲边梯形的面积.它的面积随右侧一边的位置而改变.当给定后，这条边也就确定了，面积也随之而定，因而是的函数.2、微积分学基本定理定理：若函数在区间上连续，则积分上限函数，是 在区间上的一个原函数. 即，证明：由导数定义可知，由积分中值定理得，.当时，从而，又函数在区间上

10、连续，故.因此，.结论：(1) 连续函数一定有原函数，积分上限函数就是的一个原函数.(2) 求导数运算恰是求积分上限函数运算的逆运算.【例1】求下列积分上限函数的导数(1) ； (2) .解：(1) .(2) 【例2】设， 求.解： 注意到该例的上限是，若设=，则函数可看成是由函数 和复合而成.根据复合函数的导数法则得.结论：若函数()可微，函数连续，则.【例3】求解：（二）微积分基本公式 牛顿-莱布尼茨公式1、微积分基本公式 定理：若函数在区间上连续，是在上的一个原函数，则.证明：已知 是函数的一个原函数，由微积分学基本定理知，也是的一个原函数，因此，它们之间仅相差一个常数，即.在上式中，令

11、=得, 即常数，于是.在该式中，再令，则有，即.说明：公式阐明了定积分与原函数之间的关系： 定积分的值等于被积函数的任一个原函数在积分上限与积分下限的函数值之差.这样，就把求定积分的问题转化为求被积函数的原函数的问题.【例4】求.解： 因的一个原函数是，由牛顿-莱布尼茨公式得，.【例5】求.解：因为，所以.【例6】求.解：因为，所以.【例7】求.解：因|x-2|由定积分对区间的可加性得(4-2)+(-2+4)4.【教学内容】5.3 定积分的换元积分法与分部积分法【教学目的】掌握定积分的换元积分法与分部积分法【教学重点】定积分的换元积分法与分部积分法【教学难点】定积分的换元积分法【教学时数】6学

12、时【教学过程】一、组织教学，引入新课牛顿-莱布尼茨公式已把计算定积分的问题归结为求原函数(或不定积分)的问题.这样，计算定积分仍然可以用第四章已学过的求不定积分的换元积分法和分部积分法，而且思路基本一致.但读者需注意计算定积分与计算不定积分的区别.二、 讲授新课（一）定积分的换元积分法定理：若函数在区间上连续，设，使之满足： (1)是区间上的单调连续函数；(2) ，；(3) 在区间上有连续的导数，则. 说明：(1) 定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法的不同之处在于：定积分换元必换限，换元之后按新变量进行积分，不必回代 . (2) 由，确定的、大小不定，但顺序不变.(3) 若利用凑微分的方

13、法未换元，也不必换限.【例1】 求.解：令 ()，则.当时，；当时，.于是.【例2】 求.解: 设，.当时，；当时，.于是=.【例3】 求解：令，则.当时，；当时，.于是【例4】求.解：令，则.当时，；当时，.于是.若不写出新的积分变量，也就无须换限.可按下面方式书写： .【例5】求下列定积分的值 (1) ； (2) 解: (1) . (2) .【例6】 设函数在对称区间上连续： (1) 若是偶函数，则； (2) 若是奇函数，则.证明: 由定积分的积分区间的可加性知.对来说，令，则.当时，；当时，.于是 . (1) 当为偶函数时，由此得 .(2) 当为奇函数时， ，由此得.【例7】 计算下列定

14、积分： (1) ； (2) (3)； (4) .解：(1) 因为被积函数是上的偶函数，所以有(2) 因为被积函数是上的奇函数，所以有.(3) 因为被积函数是上的奇函数，所以有 .(4) 因为被积函数是上的偶函数，所以有 （二）定积分的分部积分法定理：设函数在区间上有连续的导数，则， 或.这就是定积分的分部积分法公式.【例7】求解： 【例8】求解： .【例8】求.解：.【例9】解: 令，则 ，则.当时，；当时，.于是【教学内容】5.4无限区间的广义积分【教学目的】掌握无限区间的广义积分的敛散性的判定【教学重点】无限区间的广义积分的定义【教学难点】无限区间的广义积分的敛散性的判定【教学时数】2学时

15、【教学过程】一、组织教学，引入新课在讲定积分时，我们假设函数在区间，即积分区间是有限的，被积函数是有界的.现将有限区间推广到无限区间，即有界函数在无限区间上的广义积分.本节我们假设被积函数有界，特别为连续函数；而积分区间为，.例：计算由曲线，直线，所围图形的面积.解：由右图看出，该图形有一边是开口的.由于直线是曲线的水平渐近线，图形向右无限延伸，且愈向右开口愈小，可以认为曲线y在无穷远点与轴相交.为了求得该图形的面积，取，先作直线.由定积分的几何意义，图中有阴影部分(曲边梯形)的面积是-显然，当直线愈向右移动，有阴影部分的图形愈向右延伸，从而愈接近我们所求的面积.按我们对极限概念的理解，自然应

16、认为所求的面积是： .这里，先求定积分，再求极限得到了结果.仿照定积分的记法，所求面积可形式地记作.这就是无穷区间上的广义积分.二、讲授新课（一）无限区间的广义积分1、无限区间的广义积分定义 设函数在无限区间上连续，则称为上的广义积分.2、无限区间的广义积分敛散性定义取，若极限存在，则称广义积分收敛，并且这一极限值为的值，即.若上述极限不存在，则称广义积分发散.（二）无限区间的广义积分1、无限区间的广义积分定义设函数在无限区间上连续，则称为上的广义积分.2、无限区间的广义积分敛散性定义取，若极限存在，则称广义积分收敛，并且这一极限值为的值，即.若上述极限不存在，则称广义积分发散.说明：，其中是

17、任一有限数.当且仅当等式右端的两个广义积分都收敛时，广义积分才收敛. 【例1】计算广义积分.解：按广义积分敛散性的定义，取，则.先计算定积分再取极限.【例2】计算广义积分.解：取，则.显然，上述极限不存在，所以发散.说明：为书写方便，计算广义积分时，可采取牛顿-莱布尼茨公式的记法.即， 其中是的一个原函数.这里，F(+)为极限记号，即F(+).【例3】计算广义积分 .解：按无限区间上广义积分敛散性的定义，取，则.【例4】讨论广义积分 ，取何值时收敛，取何值时发散?解： 当时，；当时，取，因，故综上所述，所给广义积分，当时收敛，其值为；当时发散.【教学内容】5.5定积分的应用【教学目的】理解定积

18、分的微元法，掌握定积分的应用【教学重点】定积分的应用【教学难点】定积分的微元法的理解【教学时数】2学时【教学过程】一、组织教学，引入新课定积分是一种实用性很强的数学方法，应用很广泛，那么什么问题可用定积分来解决？如何解决？二、讲授新课（一）定积分的微元法1、可用定积分表示的量的特点：（1）与一个变量的变化区间有关；（2）对于区间具有可加性；（3）部分量的近似值可表示为这里是实际问题选择的函数.若满足上述条件，由定积分的定义可知2、用定积分求解实际问题的步骤：（1）分割区间，写出微元.分割区间，取具有代表性的任意一个小区间，记作,设相应的部分量为，分析部分量，选择函数，写出近似等式：（2）第二步

19、 求定积分得整体量.令对微元求和取极限，得到的定积分就是要求的整体量.此方法称为微元法.（二）定积分应用1、平面图形的面积（1）由连续曲线()，直线()和轴所围成的图形面积为.（2）由连续曲线，直线()和轴所围成的图形面积为.（3）一般地，由连续曲线，及直线()围成的图形面积为（4）由连续曲线()，直线 ()和轴围成的图形面积为.（5）由连续曲线，及直线()围成的图形面积为.【例1】求由曲线与直线围称图形的面积.解：首先，画出草图.其次，平面图形由曲线与直线围成.选作积分变量由可解得；则积分下限是1，积分上限是2.最后，用公式求面积.【例2】求由曲线，及直线，围成的图形的面积.解：首先，画出草图.其次，选为积分变量，积分下限为，上限为.最后，应用公式求面积，用直线把图形分成两块.【例3】求由抛物线及直线所围成的图形的面积.解：首先，画