2021高考数学二轮专题训练第三篇解题技巧思想导引3.2函数与方程课件

1、第2讲函数与方程 题型特点题型特点常用方法常用方法函数思想的实质是抛开所研究函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征对象的非数学特征, ,用联系和变用联系和变化的观点提出数学对象化的观点提出数学对象, ,抽象其抽象其数学特征数学特征, ,建立各变量之间固有建立各变量之间固有的函数关系的函数关系, ,通过函数形式通过函数形式, ,利利用函数的性质用函数的性质, ,使问题得到解决使问题得到解决. .方程思想是从问题的数量关系入手方程思想是从问题的数量关系入手, ,运用运用数学语言将问题中的条件转化为方程或数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组方程组, ,通过解方程或方程组或者运用方通过解方程或

2、方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题程的性质去分析、转化问题, ,使问题得到使问题得到解决的思想解决的思想. .函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的, ,是相辅相成的是相辅相成的. .函数思想函数思想重在对问题进行动态的研究重在对问题进行动态的研究, ,方程思想则是在动中求静方程思想则是在动中求静, ,研究运动中的等量关研究运动中的等量关系系. .一一 函数与方程思想在不等式中的应用函数与方程思想在不等式中的应用【典例【典例1 1】已知函数已知函数f(xf(x)=ax)=ax2 2+(a+2)x+a+(a+2)x+a2 2为偶函数为偶函数

3、, ,则不等式则不等式(x-2)f(x)0(x-2)f(x)0的解集的解集为为( () )a.(-a.(- , , )(2,+)(2,+)b.(-b.(- ,+),+)c.(2,+)c.(2,+)d.(-d.(- ,2),2)2222【解析【解析】选选a.a.因为函数因为函数f(xf(x)=ax)=ax2 2+(a+2)x+a+(a+2)x+a2 2为偶函数为偶函数, ,所以所以a+2=0,a+2=0,得得a=-2,a=-2,所以所以f(xf(x)=-2x)=-2x2 2+4.+4.所以不等式所以不等式(x-2)f(x)0(x-2)f(x)0可转化为可转化为 解得解得- x - x2.x2.故

4、原不等式的解集为故原不等式的解集为(- , )(2,+).(- , )(2,+).x20 x20fx0fx0，或（ ）（ ） ，22x2x22x402x40，即或，2222【技法点拨【技法点拨】函数与不等式的相互转化函数与不等式的相互转化, ,把不等式问题转化为函数问题把不等式问题转化为函数问题, ,借助函数的图象和性借助函数的图象和性质可解决相关的问题质可解决相关的问题. .常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题. .一般利用函数一般利用函数思想构造新函数思想构造新函数, ,从而研究函数性质破解问题从而研究函数性质破解问题. .【变式训练【变式训练】已知已知

5、f(xf(x)=log)=log2 2x,x2,16,x,x2,16,对于函数对于函数f(xf(x) )值域内的任意实数值域内的任意实数m,m,使使x x2 2+mx+4+mx+42m+4x2m+4x恒成立的实数恒成立的实数x x的取值范围为的取值范围为( () )a.(-,-2a.(-,-2b.2,+)b.2,+)c.(-,-22,+)c.(-,-22,+)d.(-,-2)(2,+)d.(-,-2)(2,+)【解析【解析】选选d.d.因为因为x2,16,x2,16,所以所以f(xf(x)=log)=log2 2x1,4,x1,4,即即m1,4m1,4时时, ,不等式不等式x x2 2+mx+

6、42m+4x+mx+42m+4x恒成立恒成立, ,即为即为m(x-2)+(x-2)m(x-2)+(x-2)2 200恒成立恒成立. .构造函数构造函数g(mg(m)=(x-2)m+(x-)=(x-2)m+(x-2)2)2 2, ,则此函数在区间则此函数在区间1,41,4上恒大于上恒大于0,0,所以所以 解得解得x-2x2.x2.22g10 x2x20g404x2x20（ ） ， （ ） ，即（ ） ，（ ） （ ） ，二二 函数与方程思想在数列的应用函数与方程思想在数列的应用【典例【典例2 2】(1)(1)已知定义域为已知定义域为r r的函数的函数f(xf(x) )满足满足f(xf(x)=4f

7、(x+2),)=4f(x+2),当当x0,2)x0,2)时时, ,f(xf(x)=)= 设设f(xf(x) )在在2n-2,2n)2n-2,2n)上的最大值为上的最大值为a an n(nn(nn* *),),且且aan n 的前的前n n项和为项和为s sn n, ,若若s sn nkk对任意的正整数对任意的正整数n n均成立均成立, ,则实数则实数k k的取值范围为的取值范围为( () )23|x|2xx1,x0,1 ,1()x1,2 ,2），）55a.()b.)334c. 2d.)3， ， ，） ，【解析【解析】选选b.b.由题意得由题意得, ,当当x0,1)x0,1)时时,1f(x) ;

8、,1f(x) ;当当x1,2)x1,2)时时, f(x, f(x) )1,1,所以当所以当x0,2)x0,2)时时,f(x,f(x) )的最大值为的最大值为 ; ;又因为又因为f(x+2)= f(xf(x+2)= f(x),),所以当所以当xx2,4)2,4)时时,f(x,f(x) )的最大值为的最大值为 ; ;当当x4,6)x4,6)时时,f(x,f(x) )的最大值为的最大值为 , , ,所以当所以当x2n-2,2n)x2n-2,2n)时时,f(x,f(x) )的最大值的最大值a an n= = . .由等比数列的前由等比数列的前n n项和公式项和公式, ,得得s sn n= = 若若s

9、sn nk100100时时n n的最小值的最小值(n1).(n1).1x1n1()a【解析【解析】()()令令t=1+x,t=1+x,则则f(1+x)=1+ f(1+x)=1+ 可化简为可化简为f(tf(t)=1+ .)=1+ .因为因为a an+1n+1=f ,=f ,所以所以a an+1n+1=1+ =a=1+ =an n+1,+1,所以所以a an+1n+1-a-an n=1,=1,所以数列所以数列aan n 是首项为是首项为2,2,公差为公差为1 1的等差数列的等差数列,a,an n=a=a1 1+n-1=n+1.+n-1=n+1.()()由由()()得得a an n=n+1,=n+1

10、,因为因为b bn n=a=an n2 2n-1n-1=(n+1)=(n+1)2 2n-1n-1, ,所以所以t tn n=2=22 20 0+3+32 21 1+4+42 22 2+ +(n+1)+(n+1)2 2n-1n-1, ,1x11tn11an1()a2t2tn n=2=22 21 1+3+32 22 2+4+42 23 3+ +(n+1)+(n+1)2 2n n, ,由由- -可得可得:-t:-tn n=2+(2=2+(21 1+2+22 2+2+23 3+ +2+2n-1n-1)-(n+1)-(n+1)2 2n n=2+ -(n+1)=2+ -(n+1)2 2n n= =-n-n

11、2 2n n, ,所以所以t tn n=n=n2 2n n. .通过计算可得通过计算可得: :当当n4n4时时,t,tn n100;100.100.综上综上, ,当当t tn n100100时时n n的最小值为的最小值为5.5.n 121 21 2（）【技法点拨【技法点拨】数列是定义在正整数集上的特殊函数数列是定义在正整数集上的特殊函数, ,等差数列、等比数列的通项公式、前等差数列、等比数列的通项公式、前n n项项和公式都具有函数关系和公式都具有函数关系, ,都可以看成关于都可以看成关于n n的函数的函数, ,在解等差数列、等比数列问在解等差数列、等比数列问题时题时, ,有意识地寻找其函数关系

12、有意识地寻找其函数关系, ,从而用函数思想或函数方法研究、解决问题从而用函数思想或函数方法研究、解决问题, ,不仅能获得简便的解法不仅能获得简便的解法, ,而且能促进科学思维的培养而且能促进科学思维的培养, ,提高发散思维的水平提高发散思维的水平. .【变式训练【变式训练】已知数列已知数列aan n 是各项均为正数的等差数列是各项均为正数的等差数列. .(1)(1)若若a a1 1=2,=2,且且a a2 2,a,a3 3,a,a4 4+1+1成等比数列成等比数列, ,求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式a an n; ;(2)(2)在在(1)(1)的条件下的条件下, ,数列数列aan

13、 n 的前的前n n项和为项和为s sn n, ,设设b bn n= = 若对任意若对任意的的nnnn* *, ,不等式不等式b bn nkk恒成立恒成立, ,求实数求实数k k的最小值的最小值. .n 1n 22n111sss，【解析【解析】(1)(1)因为因为a a1 1=2, =a=2, =a2 2(a(a4 4+1),+1),又因为又因为aan n 是正项等差数列是正项等差数列, ,故故d0,d0,所以所以(2+2d)(2+2d)2 2=(2+d)(3+3d),=(2+d)(3+3d),解得解得d=2d=2或或d=-1(d=-1(舍去舍去),),所以数列所以数列aan n 的通项公式的

14、通项公式a an n=2n.=2n.(2)(2)因为因为s sn n=n(n+1),=n(n+1),则则 所以所以b bn n= = 23an1111.snn1nn1 （）n 1n 22n111111111)()()sssn1n2n2n32n2n1(211n1.1n12n12n3n12n3n令令f(xf(x)=2x+ (x1),)=2x+ (x1),则则f(xf(x)=2- 0)=2- 0恒成立恒成立, ,所以所以f(xf(x) )在在1,+)1,+)上是增函上是增函数数, ,所以当所以当x=1x=1时时,f(x),f(x)minmin=f(1)=3,=f(1)=3,即当即当n=1n=1时时,

15、(b,(bn n) )maxmax= ,= ,要使对任意的正整数要使对任意的正整数n,n,不不等式等式b bn nkk恒成立恒成立, ,则需使则需使k(bk(bn n) )maxmax= ,= ,所以实数所以实数k k的最小值为的最小值为 . .1x21x161616三三 函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用【典例【典例3 3】(1)(1)已知函数已知函数y=f(xy=f(x) )对任意对任意xrxr, ,都有都有2f(x)-3f(-x)=5sin 2x+cos 2x,2f(x)-3f(-x)=5sin 2x+cos 2x,将曲线将曲线y=f(x

16、y=f(x) )向左平移向左平移 个单位长度后得到曲线个单位长度后得到曲线y=g(xy=g(x),),则曲线则曲线y=g(xy=g(x) )的一条的一条对称轴方程为对称轴方程为( () )4a.x b.x84c.x d.x84 (2)(2)已知在半径为已知在半径为2 2的扇形的扇形aobaob中中,aob=120,aob=120,c,c是是obob的中点的中点,p,p为弧为弧abab上任意一上任意一点点, ,且且 则则+的最大值为的最大值为_._.opoaoc ，【解析【解析】(1)(1)选选c.c.由由 2+2+3,3,得得-5f(x)=-5sin 2x+5cos 2x,-5f(x)=-5s

17、in 2x+5cos 2x,即即f(xf(x)=sin 2x-cos 2x= )=sin 2x-cos 2x= 将曲线将曲线y=f(xy=f(x) )向左平移向左平移 个单位长度后个单位长度后得到得到g(xg(x)= )= 的图象的图象. .2fx3fx5sin 2xcos 2x,2fx3fx5sin 2xcos 2x （ ）（）（）（ ），2sin(2x).442sin(2x)4令令2x+ = +k,kz2x+ = +k,kz, ,求得求得x= ,kzx= ,kz, ,则则g(xg(x) )的图象的对称轴方程为的图象的对称轴方程为x= ,kzx= ,kz. .经计算经计算, ,选项选项c c

18、符合题意符合题意. .42k28k82(2)(2)建立如图所示的平面直角坐标系建立如图所示的平面直角坐标系, ,则则o(0,0),a(2,0),c o(0,0),a(2,0),c 则则 = =(2,0), (2,0), 设设p(2cos ,2sin ), p(2cos ,2sin ), 13,22（，）oa13oc,22 （，）则则(2,0)+ =(2cos ,2sin ),(2,0)+ =(2cos ,2sin ),则则+= sin +cos = sin(+= sin +cos = sin(+),),其中其中tan tan = = 据此可知据此可知, ,当当sin(+sin(+)=1)=1时

19、时,+,+取得最大值取得最大值答案答案: : 1322（，）41sin22cos2313cossin2sin32 ，即解得，532 21335，2 21.32 213【技法点拨【技法点拨】(1)(1)含参数的三角函数方程问题的两种处理思路含参数的三角函数方程问题的两种处理思路: :一是分离参数构建函数一是分离参数构建函数, ,将方程将方程有解转化为求函数的值域有解转化为求函数的值域. .二是换元二是换元, ,将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程, ,进进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决.

20、 .(2)(2)解决平面向量问题的常用方法解决平面向量问题的常用方法: :对平面向量的模进行平方处理对平面向量的模进行平方处理, ,把模问题转化把模问题转化为数量积问题为数量积问题, ,再利用函数与方程思想进行分析与处理再利用函数与方程思想进行分析与处理. .【变式训练【变式训练】1.1.若方程若方程coscos2 2x-sin x+ax-sin x+a=0=0在在xx 上有解上有解, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】方法一方法一: :把方程把方程coscos2 2x-sin x+ax-sin x+a=0=0变形为变形为a=-cosa=-cos2 2x+sin x,x

21、+sin x,设设f(xf(x)=-cos)=-cos2 2x+sin x,x ,f(xx+sin x,x ,f(x)=-(1-sin)=-(1-sin2 2x)+sin x= x)+sin x= 由由x x 可得可得sin x(0,1,sin x(0,1,易求得易求得f(xf(x) )的值域为的值域为(-1,1,(-1,1,故故a a的取值范围是的取值范围是(-1,1.(-1,1.答案答案: :(-1,1(-1,1(02，(02，215(sin x)24 ，(02，方法二方法二: :令令t=sin x,t=sin x,由由x ,x ,可得可得t(0,1.t(0,1.依题意得依题意得1-t1-

22、t2 2-t+a=0,-t+a=0,即方程即方程t t2 2+t-1-a=0+t-1-a=0在在t(0,1t(0,1上有解上有解, ,设设f(tf(t)=t)=t2 2+t-1-a,+t-1-a,其图象是开口向上的抛物线其图象是开口向上的抛物线, ,对称轴为直线对称轴为直线t=- ,t=- ,如图所示如图所示. . (02，12因此因此,f(t,f(t)=0)=0在在(0,1(0,1上有解等价于上有解等价于 即即 所以所以-1a1,-10,+720,即即-m-m2 2+2k+2k2 2+60,+60,22yyyx2x2 x222xy2622ykxm,xy1,2622km3k26m3k，若四边形

23、若四边形oprqoprq为平行四边形为平行四边形, ,则则pqpq的中点也是的中点也是oror的中点的中点, ,所以点所以点r r的坐标为的坐标为 又点又点r r在曲线在曲线e e上上, ,所以所以 化简得化简得2m2m2 2= =k k2 2+3,+3,将将代入代入得得m m2 20,0,所以所以m0,m0,由由得得2m2m2 23,3,所以所以m m 或或m- ,m- ,所以所以m m的取值范围为的取值范围为 222km6m(,),3k3k22222km6m()()3k3k126 ，626266(,).22 【技法点拨【技法点拨】解决解析几何中的范围问题的关键是抓住函数关系解决解析几何中的

24、范围问题的关键是抓住函数关系, ,将目标量表示为一个将目标量表示为一个( (或者或者多个多个) )变量的函数变量的函数, ,然后借助于函数的性质来使问题得以解决然后借助于函数的性质来使问题得以解决, ,这是求面积、线这是求面积、线段长、最值段长、最值( (范围范围) )问题的基本方法问题的基本方法. .【变式训练【变式训练】1.1.已知已知m,nm,n分别是椭圆分别是椭圆 +y+y2 2=1=1和圆和圆c:xc:x2 2+(y-4)+(y-4)2 2=1=1上的动点上的动点, ,则则|mn|mn|的最大值的最大值为为( () )2x9a.5 b.6 c.2 61 d.3 31【解析【解析】选选

25、d.d.圆心圆心c c为为(0,4),(0,4),设设m(x,ym(x,y),),则则|mc|= |mc|= 又因为又因为-1y1,-1y1,所以当所以当y=- y=- 时时, ,|mc|mc|maxmax=3 ,=3 ,则则|mn|mn|maxmax=3 +1.=3 +1.222xy48y8y25（ ） ，12332.2.已知抛物线已知抛物线c:xc:x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点为的焦点为f,f,直线直线l与抛物线与抛物线c c交于交于p,qp,q两点两点. .(1)(1)若若l过点过点f,f,抛物线抛物线c c在点在点p p处的切线与在点处的切线与在点q q处的切线交于点

26、处的切线交于点g.g.证明证明: :点点g g在定直在定直线上线上. .(2)(2)若若p=2,p=2,点点m m在曲线在曲线y=-y=- 上上,mp,mq,mp,mq的中点均在抛物线的中点均在抛物线c c上上, ,求求mpqmpq面积面积的取值范围的取值范围. .21x【解析【解析】(1)(1)易知易知f f( (0, 0, ),),设设p(xp(x1 1, ),q(, ),q(x x2 2, , ) ). .由题意可知直线由题意可知直线l的斜率的斜率存在存在, ,故设其方程为故设其方程为y=kxy=kx+ .+ .由由 得得x x2 2-2pkx-p-2pkx-p2 2=0,=0,所以所以

27、x x1 1x x2 2=-p=-p2 2. .由由x x2 2=2py,=2py,得得y= ,y= ,y= ,y= ,则则k kpgpg= ,= ,直线直线pgpg的方程为的方程为y- = (x-xy- = (x-x1 1),),即即 x-yx-y- =0,- =0,同理可得直线同理可得直线qgqg的方程为的方程为 x-yx-y- =0,- =0,p221x2p22x2pp22pykx,2x2py,2x2pxp1xp21x2p1xp1xp21x2p2xp22x2p联立联立, ,可得可得(x(x1 1-x-x2 2)y= )y= 因为因为x x1 1xx2 2, ,所以所以y= y= 故点故点