2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十六10.8.2圆锥曲线中求值与证明问题文含解析北师大版_第1页
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文档简介

1、核心素养测评五十六圆锥曲线中求值与证明问题1.已知抛物线c:y2=2px(p0),直线y=x-1与c相交所得的弦长为8.世纪金榜导学号(1)求p的值.(2)过原点o的直线l与抛物线c交于m点,与直线x=-1交于h点,过点h作y轴的垂线交抛物线c于n点,求证:直线mn过定点.【解析】(1)由y2=2pxy=x-1,消x可得y2-2py-2p=0,所以y1+y2=2p,y1y2=-2p,所以弦长为1+12(y1+y2)2-4y1y2=24p2+8p=8,解得p=2或p=-4(舍去),所以p=2.(2)由(1)可得y2=4x,设m14y02,y0,所以直线om的方程为y=4y0x,当x=-1时,yh

2、=-4y0,代入抛物线方程y2=4x,可得xn=4y02,所以n4y02,-4y0,当14y024y02,即y02时,直线mn的斜率k=y0+4y0y024-4y02=4y0y02-4,直线mn的方程为y-y0=4y0y02-4x-14y02,整理可得y=4y0y02-4(x-1),故直线mn过定点(1,0).当14y02=4y02,即y0=2时,直线mn的方程为x=1,必过点(1,0),综上,直线mn过定点(1,0)2.已知抛物线e:y2=4x,圆c:(x-3)2+y2=1.(1)若过抛物线e的焦点f的直线l与圆c相切,求直线l的方程.(2)在(1)的条件下,若直线l交抛物线e于a,b两点,

3、x轴上是否存在点m(t,0)使amo=bmo(o为坐标原点)?若存在,求出点m的坐标;若不存在,请说明理由.世纪金榜导学号【解析】(1)由题知抛物线e的焦点为f(1,0),当直线的斜率不存在时,过点f(1,0)的直线不可能与圆c相切,所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,设直线斜率为k,则所求的直线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,所以圆心(3,0)到直线l的距离为d=|3k-k|k2+1=|2k|k2+1,当直线l与圆相切时,有d=1|2k|k2+1=1k=33,所以所求的切线方程为y=33(x-1)或y=-33(x-1).(2)由(1)知,不妨设直线l:y=33(x-1),交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,联立方程组y=33(x-1),y2=4xx2-14x+1=0,所以x1+x2=14,x1x2=1,假设存在点m(t,0)使amo=bmo,则kam+kbm=0.而kam=y1x1-t,kbm=y2x2-t,所以kam+kbm=y1x1-t+y2x2-t=y1(x2-t)+y2(x1-t)(x1-t)(x2-t)=0y1x2+y2x1-(y1+y2)t=02x1x2-(x2+x1)-(x1+x2-2)t=0,即2-14-(14-2)t=0t=-1,故存在点m(-1,0)符合条件.当直线l:y=-33(x

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