2021版高考数学一轮复习单元评估检测五第十章文含解析北师大版

1、单元评估检测(五) (第十章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,则a为()a.2b.2或-2c.-2d.-12【解析】选b.由直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,可得a4=1a7-3,解得a=2.2.圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为()a.1b.2c.4d.8【解析】选b.圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线的方程为x-y+2=0,它与两坐标轴分别交

2、于(-2,0),(0,2),所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为1222=2.3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的方程是y=3x,它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上,则双曲线的方程为()a.x28-y224=1b.x224-y28=1c.x24-y212=1d.x212-y24=1【解析】选c.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的方程是y=3x,可得b=3a,它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上,可得c=4,即16=a2+b2,a=2,b=23.所求的双曲线方程为x24-y212=1.4.已知椭圆e:y2a2+x2b2=1(ab0)

3、经过点a(5,0),b(0,3),则椭圆e的离心率为()a.23b.53c.49d.59【解析】选a.由椭圆e:y2a2+x2b2=1(ab0),经过点a(5,0),b(0,3),可得a=3,b=5,所以c=9-5=2,其离心率e=23.5.在abc中,若asin a+bsin b-csin c=0,则圆c:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是()a.相切b.相交c.相离d.不确定【解析】选a.因为asin a+bsin b-csin c=0,所以由正弦定理得a2+b2-c2=0,所以圆心c(0,0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=|c|a2+b2=1=r,所以圆c:x

4、2+y2=1与直线l:ax+by+c=0相切.6.已知f1,f2是椭圆c的两个焦点,p是c上的一点,若pf1pf2,且pf2f1=60,则c的离心率为()a.1-32b.2-3c.3-12d.3-1【解析】选d.在直角三角形pf1f2中,|f1f2|=2c,pf2f1=60,所以|pf1|=3c,|pf2|=c,又|pf1|+|pf2|=2a,所以3c+c=2a,解得e=ca=23+1=3-1.7.(2020榆林模拟)已知l是双曲线c:x22-y24=1的一条渐近线,p是l上的一点,f1,f2分别是c的左、右焦点,若pf1pf2=0,则点p到x轴的距离为()a.233 b.2c.2 d.263

5、【解析】选c.由已知f1(-6,0),f2(6,0),不妨设l的方程为y=2x,点p(x0,2x0),由pf1pf2=(-6-x0,-2x0)(6-x0,-2x0)=3x02-6=0,得x0=2,所以点p到x轴的距离为2|x0|=2.8.椭圆与双曲线共焦点f1,f2,它们的交点p对两公共焦点f1,f2的张角为f1pf2=2,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则( )a.cos2e12+sin2e22=1b.sin2e12+cos2e22=1c.e12cos2+e22sin2=1d.e12sin2+e22cos2=1【解析】选b.设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,并设pf1=m

6、,pf2=n,其中mn,焦距为2c,在pf1f2中,由余弦定理得m2+n2-2mncos 2=2c2,由椭圆和双曲线的定义得m+n=2a1,m-n=2a2,解得m=a1+a2,n=a1-a2,代入m2+n2-2mncos 2=2c2,得a1+a22+a1-a22-2a1+a2a1-a2cos 2=4c2,即a12+a22+a22-a12cos 2=2c2,所以a121-cos2+a221+cos2=2c2,即2a12sin2+2a22cos2=2c2,所以a12sin2c2+a22cos2c2=1,因此,sin2e12+cos2e22=1.9.已知双曲线x23-y2=1的右焦点恰好是抛物线y2

7、=2px(p0)的焦点f,且m为抛物线的准线与x轴的交点,n为抛物线上的一点,且满足|nf|=32|mn|,则点f到直线mn的距离为()a.12b.1c.3d.2【解析】选d.双曲线x23-y2=1的右焦点为(2,0),抛物线y2=2px(p0)的焦点为p2,0,则2=p2,解得p=4,则抛物线方程为y2=8x,准线方程为x=-2,由点n向抛物线的准线作垂线,垂足为r,则由抛物线的定义,可得|nr|=|nf|=32|mn|,从而可以得到nmr=60,从而得到nmf=30,所以有点f到直线mn的距离为d=4sin 30=2.10.(2020厦门模拟)已知抛物线x2=4y,斜率为-12的直线交抛物

8、线于a,b两点.若以线段ab为直径的圆与抛物线的准线切于点p,则点p到直线ab的距离为()a.52b.5c.325d.25【解析】选b.设a(x1,y1),b(x2,y2),则px1+x22,-1,pa=x1-x22,y1+1,pb=x2-x12,y2+1,根据题意得到papb=0.设直线方程为x=-2y+n,联立直线和抛物线方程得到4y2-4(n+1) y+n2=0,所以16(n+1)2-16n20,y1+y2=n+1,y1y2=n24,papb=-(x1-x2)24+(y1+1)(y2+1)=0,化简得到-(y1+y2)2+5y1y2+y1+y2+1=0,根据根与系数的关系,将根的和与乘积

9、代入化简得到n=2.此时直线为x=-2y+2,点p坐标为px1+x22,-1=p(-(y1+y2)+2,-1)=p(-1,-1),根据点到直线的距离公式得到d=|-1-2-2|5=5.11.如图所示,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线c的方程为x2+4y2=4,其左、右焦点分别是f1,f2,直线l与椭圆c切于点p,且|pf1|=1,过点p且与直线l垂直的直线l与椭圆长轴交于点m,则|f1m|f2m|=()a.23b.12c.13d.13【解析】选c.由椭圆的光学性质得到直线l平分f1pf2,因为sp

10、mf1spmf2=|f1m|f2m|=12|f1p|pm|sinf1pm12|f2p|pm|sinf2pm=|pf1|pf2|,由|pf1|=1,|pf1|+|pf2|=4得到|pf2|=3,故|f1m|f2m|=13.12.已知双曲线x23-y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线交于a,b两个不同的点,点m(2,2)是ab的中点,则oab(o为坐标原点)的面积是()世纪金榜导学号a.43 b.3c.14 d.23【解析】选d.双曲线x23-y2=1中a=3,b=1,c=3+1=2,右焦点为(2,0),则抛物线y2=2px(p0)的焦点为(2,0),即2=

11、p2,解得p=4,即抛物线方程为y2=8x,联立直线y=kx+m得k2x2+(2km-8)x+m2=0,判别式=(2km-8)2-4k2m20,设a(x1,y1),b(x2,y2),可得x1+x2=8-2kmk2,由点m(2,2)是ab的中点,得8-2kmk2=4,2=2k+m,解得k=2,m=-2,满足判别式大于0,所以x1+x2=4,x1x2=1,弦长|ab|=1+4(x1+x2)2-4x1x2=516-4=215,点o到直线2x-y-2=0的距离d=|0-0-2|4+1=25,oab(o为坐标原点)的面积是12d|ab|=1225215=23.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共2

12、0分.请把正确答案填在题中横线上)13.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的标准方程为.【解析】圆(x+1)2+y2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x2+(y+1)2=5.答案:x2+(y+1)2=514.抛物线y2=8x的焦点为f,点a(6,3),p为抛物线上一点,且p不在直线af上,则paf周长的最小值为.【解析】如图,l=cpaf=|pa|+|pf|+|af|=|pa|+|pq|+|af|aq|+|af|,当且仅当a,p,q共线时,等号成立.此时|aq|=xa+2=8,|af|=

13、42+32=5,所以l8+5=13.答案:1315.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段,两条垂线段的和为a,则双曲线的离心率为.【解析】令双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点为(c,0),渐近线为y=bax,即bxay=0,垂线段的长度即焦点到准线的距离,即|bca0|b2+a2=b,故由题意可得a=2b,所以双曲线的离心率满足e2=c2a2=a2+b2a2=54,即e=52.答案:5216.点m是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的点,以m为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点f,圆m与y轴相交于p,q,若pqm是锐角三角形,则椭

14、圆离心率的取值范围是.世纪金榜导学号【解析】因为圆m与x轴相切于焦点f,所以圆心与f的连线必垂直于x轴,不妨设m(c,y),因为m在椭圆上,则y=b2a,所以圆的半径为b2a,由题意|y|c22|y|所以c2b2a22c2,所以e2(1-e2)22e2,所以6-22eb0,y0)和部分抛物线c2:y=-x2+1(y0)连接而成,c1与c2的公共点为a,b,其中c1所在椭圆的离心率为22.世纪金榜导学号(1)求a,b的值.(2)过点b的直线l与c1,c2分别交于点p,q(p,q,a,b中任意两点均不重合),若apaq,求直线l的方程.【解析】(1)因为y=-x2+1(y0),所以y=0,即x=1

15、,因此a(-1,0),b(1,0),代入椭圆方程中,得b=1,由ca=22以及a2-c2=b2=1,可得a=2,所以a=2,b=1.(2)由(1)可求出横轴上方的椭圆方程为:y2+2x2=2(y0),由题意可知:过点b的直线l存在斜率且不能为零,故设直线方程为x=my+1(m0),代入椭圆c1得:2m2+1y2+4my=0,故可得点p的坐标为:1-2m21+2m2,-4m1+2m2,显然m0,同理将x=my+1(m0)代入抛物线c2方程中,得m2y2+y+2my=0,故可求得q的坐标为:-1-mm,-2m+1m2,因为apaq,所以=-1-mm+11-2m21+2m2+1-2m+1m2-4m1

16、+2m2=0,8m+2=0,解得m=-14,符合m0)的切线l,切点a在第二象限.世纪金榜导学号(1)求切点a的纵坐标.(2)有一离心率为32的椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)恰好经过切点a,设切线l与椭圆的另一交点为点b,记切线l,oa,ob的斜率分别为k,k1,k2,若k1+k2=4k,求椭圆的方程.【解析】(1)设切点a(x0,y0),则有y0=x022p,由切线l的斜率为k=x0p,得l的方程为y=x0px-x022p,又点d(0,-2)在l上,所以2=x022p,即y0=2,所以点a的纵坐标为2.(2)由(1)得a(-2p,2),切线斜率k=-2p,设b(x1,y1),切线方程为y=kx-2,由e=32得c2a2=34,又c2