2021新高考数学二轮总复习第4讲从审题中寻找解题思路学案含解析

1、第4讲从审题中寻找解题思路审题亦即提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉眼”.为考核学生的观察、理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式,精简试题从条件到结论的中间环节,透析试题的条件之间的联系,隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能.事实上,审题能力的培养并未引起应有的重视,很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练,一味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入误区.审题与解题的关系审题和解题是解答数学试题的重要两步,其中,审题是解题的前提,详细全面地审题为顺利

2、解题扫除大部分障碍,正确把握数学试题中的已知条件和所求,从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路,最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件.解题作为审题活动的升华,是全面解答数学试题的核心.怎样算是审清题意怎样才算审清题意了呢?主要是弄清题目已经告诉了什么信息,需要我们去做什么,从题目本身获取“如何解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息.试题的条件和结论是两个信息源,为了从中获取尽可能多的信息,我们要字斟句酌地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系,常常还要辅以图形或记号,以求手段与目标的统一.审题典例示范一、审清条件信息审

3、视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等几方面.审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响,看似相同,就按过去同类型题目进行求解,要审出同还是不同,不能似是而非.【例1】(1)(2019广东广州二模,文12)若函数f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的最大值是()a.-2b.-1c.0d.1(2)(2019河北衡水高三联考,理12)如图,在abc中,abc=90,ab=3,bc=1,p为abc内一点,bpc=90.若apb=150,则tan pba=()a.32b.-32c.34d.-34(1)审题指导一从题目条件中只能看到图象关

4、于直线x=-1对称,但从已知中找不到与函数f(x)的零点的关系,所以应注意到方程f(x)=0隐含有重根0,根据对称性,发现重根-2,确定函数f(x)的解析式,从而求出最大值.审题指导二根据对称性可知f(-2)=f(0),且x=-1是函数f(x)的极值点,得到f(-1)=0,联立得到关于a,b的方程组,从而求出f(x)的解析式,从而求出最大值.审题指导三对于函数对称性问题,可以运用特殊值法.若函数f(x)关于x=a对称,则满足f(x+a)=f(a-x);若函数f(x)关于(a,b)对称,则满足f(x+a)+f(a-x)=2b.(2)审题指导一利用rtabc和rtbpc的边角关系,求得pcb=ab

5、p=,进而推出pc=cos,同理根据pcb+pca=acb=pca+pac,推出pac=,将已知条件转化为已知两边及其对角,解apc,由正弦定理及同角三角函数关系,求得tanpba.审题指导二借助平面几何知识,过a点作bp延长线的垂线,构造rtadb,利用rtabc和rtbpc的边角关系,求得pcb=abp=,解rtadb、rtbpc、rtadp,找出ad、bd、pd、bp之间的关系,并用与有关的正、余弦表示出来,利用bd=bp+pd建立等量关系求解tanpba.二、审条件中的隐含有的数学试题条件并不明显,审题时要注意挖掘隐含条件和信息,对条件进行再认识、再加工,只有这样,方可避免因忽视隐含条

6、件而出现错误.要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息,关注问题中易于疏忽的特殊情形、可能情形、相近概念之间的差异,要清晰定理成立、公式存在的前提.【例2】(1)已知函数f(x)=2sin2x+4+1的图象在0,12上恰有一条对称轴和一个对称中心,则实数的取值范围为()a.38,58b.38,58c.34,54d.34,54(2)(2020浙江考前模拟,10)若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点p(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y无关,则实数a的取值范围是()a.(-,4b.-4,6c.(-,46,+)d.6,+)(1)审题指导“f(x)的图象在0,

7、12上”是指x0,12,2x+44,+4,设t=2x+4,函数y=sint在4,+4上的对称轴为t=2,t=32,对称中心为(,0),(2,0),f(x)的图象在0,12上恰有一条对称轴和一个对称中心,隐含着24,+4,4,+4,但324,+4.(2)审题指导一看到|3x-4y+a|+|3x-4y-9|联想点到直线的距离公式,能审出其表示的是点p(x,y)到两条平行直线3x-4y+a=0和3x-4y-9=0的距离之和;审题指导二由距离之和与x,y无关,能审出隐含条件两条平行直线在圆的两侧,从而圆心(1,1)到每条直线的距离都大于或等于半径1,由此得到a的取值范围是a6或a-4;审题指导三由直线

8、3x-4y-9=0的表达式,能审出该直线在圆的下方,所以另一直线必须在圆的上方,从而舍去a-4.三、审条件中的结构特征高考数学试题中的已知条件,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,我们不仅要认真审视数式的浅层结构特征,还要对数式结构进行深入的分析、加工、转化,努力弄清其深层结构特征,在这个逐步清晰的过程中,力争寻找到突破问题的方案.【例3】在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知a=5,abc的面积sabc=2534,且b2+c2-a2=accos c+c2cos a,则sin b+sin c=()a.3b.932c.3d.

9、33审题指导已知条件有3个.由a=5和sabc=2534得不出结果,所以突破口为b2+c2-a2=accosc+c2cosa,该条件是关于三边两角的关系式,等式左边的结构与余弦定理的变式2bccosa相等,代换后进行化简得结论a=3,此为解法一;观察该等式的右边,为减少变量进行角边的转换,利用边表示角,得第二种解法.四、审图形特点寻简捷在一些高考数学试题中,问题的条件往往是以图形的形式给出,或将条件隐含在图形之中,因此在审题时,最好画一个图,并在图中标出必要的条件和数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程,是一个对已知条件进行再认识的过程.不仅如此,还要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系、数

10、值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供的信息来解决问题.【例4】(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量w与时间t的关系为w=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,在

11、0,t1的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.审题指导根据题目所给的甲、乙两企业污水排放量w与时间t的函数关系图象,能审出两函数图象在不同的时间段的变化特征,但企业污水治理能力的强弱是用-f(b)-f(a)b-a来表示的,所以-f(b)-f(a)b-a的几何意义是解题的关键所在,若能审出-f(b)-f(a)b-a表示区间端点连线斜率的负数,问题迎刃而解.五、审图表数据找关联数据分析是数学学科核心素养之一.此类问题关注现实生活,试题中的图表、数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系,也往往暗示着解决问题的目标和方向,要求考生发现生活中的问题,学着运用课堂上学到的知识来分析、解决.在审题时,

12、要认真观察分析图表、数据的特征和规律,找到其中的内在联系,为解决问题提供有效的途径.【例5】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零

13、件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?审题指导把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大.(1)当n=19时,探求y与x的函数解析式,由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同,需对1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n=19加以比较,自然应用分类讨论思想对x19与x19,分别探求y与x的函数解析式;

14、(2)本题的统计图表不是高频考查的频率分布直方图,而是统计图表中的柱状图;(3)许多考生没有读懂题意,本问是判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件,而判断的决策依据是:这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,为此需计算两种方案时的平均数.每一种方案,在求解其平均数时自然需要借助于柱状图.六、审结论善转换结论是解题的最终目标,解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律,可以从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.有些问题的结论看似不明确或不利于解决,我们可以转换角度,达到解决问题的目的.【例6】(2020山东济南三模

15、,16)已知函数f(x)=2ln x,g(x)=ax2-x-12(a0).若直线y=2x-b与函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切,则a的值为;若总存在直线与函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切,则a的取值范围是.审题指导一将条件两函数f(x)与g(x)的图象都与直线相切,转换成两个函数的导数都等于该直线的斜率,从而得到方程组,解出参数a的值.审题指导二将条件总存在直线与函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切,首先转换成函数f(x)的图象的切线与函数g(x)的图象相切,其次再转换成由f(x)的图象的切线方程与函数g(x)的解析式组成的方程有两相等实根,然后将有两相等实根转换成判

16、别式等于0,从而得出关于参数a的表达式,最后转换成求a的最小值.七、审已知与结论建联系高考试题的条件和结论是两个信息源,其条件和结论很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.弄清问题不仅要弄清条件,弄清结论,还要弄清条件与所求结论的相互联系,以求手段与目标的统一.【例7】(2020山东济南6月模拟,8)在abc中,cos a+cos b=3,ab=23.当sin a+sin b取最大值时,abc内切圆的半径为()a.23-3b.22-2c.13d.2审题指导一求sina+sinb取最大值时,abc内切圆的半径,首先要求出sina+sinb取最大值时角a,b所具备的关系.审题指导二如何应用上已知

17、条件cosa+cosb=3是解决问题的突破口,条件是两角的余弦,要求的最大值是两角的正弦,同角三角函数的平方公式能够将条件和要求的结论联系起来,从而找到解决问题的思路.审题策略归纳1.试题的条件和结论是解题的两个信息源,题目的条件对于得出结论是充分的,解题的钥匙就放在题目的条件里,其中的许多信息常常是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们,所以,审题要逐字逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、答题形式、数据联系等各方面真正弄懂题意.只有细致审题才能挖掘出来,避免发生会而不对、对而不全的现象.欲速则不达,审题不要怕慢!当然这有待于平时的审题训练.2.审题决定成

18、败.审题是解题的一个重要步骤,通过审题收集信息、加工信息,熟悉题目并深入到题目内部去思考、去分析,我们就会找到问题解决的突破口.第4讲从审题中寻找解题思路审题典例示范【例1】(1)c(2)c解析(1)(方法一)f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)=0有重根0,所以x2+ax+b=0有重根-2,f(x)=-x2(x+2)2=-(x2+2x)2.所以当x=0时,f(x)的最大值是0.(方法二)由对称性可知f(-2)=f(0),得2a=b+4,由f(x)关于x=-1对称,可知f(-1)=0,得3a=2b+4,联立解得a=b=4,得f(x)=-x2(x+2)2,可知

19、f(x)0,所以当x=0时,f(x)的最大值是0.(方法三)因为f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,则满足f(x-1)=f(-1-x).运用特殊值法.取x=1,x=2,代入上式,则f(0)=f(-2),f(1)=f(-3),4-2a+b=0,7a-2b-20=0,解得a=4,b=4.当a=b=4时,f(x)=f(-2-x)恒成立,即a=b=4满足题意.即f(x)=-x2(x+2)2.当x=0时,f(x)取最大值0,故选c.(2)(方法一)设abp=,则pcb=,pc=cos.在abc中,abc=90,ab=3,bc=1,ac=2,acb=3.在pac中,apc=120

20、,pcb+pca=acb=pca+pac,pac=.由正弦定理,得acsinapc=pcsinpac,即2sin120=cossin,tan=sin1202=34.(方法二)借助平面几何知识,寻找到线段长度关系.延长bp,过a点作bp延长线的垂线,垂足为d.记pba=,由abc=bpc=90,得pcb=.rtadb中,ad=3sin,bd=3cos.rtbpc中,bp=sin.又apb=150,得apd=30,rtadp中,pd=adtan30=3sin,由bd=bp+pd,得3cos=sin+3sin,所以tan=34,即tanpba=34.【例2】(1)c(2)d解析(1)由题意,x0,1

21、2,2x+44,+4,在0,12上恰有一条对称轴和一个对称中心,24,+4,4,+4,324,+4,+42,+4,+432,即+432,即3419时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y与x的函数解析式为y=3800,x19,500x-5700,x19(xn).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800元,20台的费用为4300元,10台的费用为4800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(380070+430020+480010)=4000元.若每台机器在购