2019年中考数学总练习等腰三角形专项综合练习题含解析和解析

1、2019 年中考数学总练习等腰三角形专项综合练习题含解析和解析1 .在4ABC中，/ ABO 30 , / BAO 70 .在 AB所在平面内画一条直线，将 AB由割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，那么这样的直线最多可画 ()A、 7 条 B 、 8 条C、 9 条D、 10 条2 .如图，在 ABC中，AB= AC /A= 30 , DE垂直平分 AC 那么/ BCD的度数为 ()A、 80B 、 75 C 、 65D 、 453 .如图，/AOB= 60 ,点 P在边 OAk, OP= 12,点 M N在边 OB, P阵 PN假设MN= 2,那么。限()A、 3 B 、 4 C 、

2、 5 D 、 64 .如图，矩形纸片ABC叶，AB= 4, BO 6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是()A、 6 B 、 3 C 、 2.5 D 、 25 .如图，在ABC, AB= AQ AD是/ BAC的平分线.AB= 5, AD= 3,那么 BC的长为 ()A、 5 B 、 6 C 、 8 D 、 106 .如图，直线I1/I2,将等边三角形如图放置，假设/ a =40 ,那么/ B等于 7 .如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架.假设 AP=RP2=P2P3 =Pl3P14 = Pl4A,那么/A的度数是 .8 .在 ABC中，/C是最小内角

3、.假设过顶点 B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，那么称这条直线为4ABC勺关于点B的伴侣分割线.例如：如图1, zAB/，/A= 90 , /C = 20 ,假设过顶点B的一条直线BD交AC于点D,且/ DBG 200 ,那么直线 BD是 ABC勺关于点B的伴侣分割线.(1)如图 2, ABC /C= 20 , /ABC= 110 .请在图中画出 ABC于点 B 的伴侣分割线，并注明角度；(2) ABC设/B的度数为y,最小内角/ C的度数为x.试探索y与x应满足 什么要求时， AB阱在关于点B的伴侣分割线.9.如图，抛物线y=ax2+bx过A(

4、4, 0), B(1 , 3)两点，点C, B关于抛物线的 对称轴对称，过点B作直线BHLx轴，交x轴于点H.(1) 求抛物线的表达式；(2)假设点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点 C M N为顶点的 三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 CMN勺面积.解析：第(2)题分别以点C, M, N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形 和勾股定理求CMlg CN的长，利用面积公式进行计算.10 .如图，在边长为4的正方形ABCM,请画出以A为一个顶点，另外两个顶 点在正方形ABCD勺边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3 的边

5、上标注数字3)11 .在等腰RtAABC, /C= 90 , AG= 1,过点C作直线l /AR F是l上的 一点，且AB= AF,求点F到直线BC的距离.12 .如图，抛物线 y=ax2 + bx + c(a ?0)经过 A( 1, 0), B(3, 0), C(0, -3)三点，直线l 是抛物线的对称轴(1) 求抛物线的函数关系式；(2)点M是直线l上的动点，且 MA等腰三角形，求出所有符合条件的点 M 的坐标.13.如图，在ABCfr, AB= AC, ZBAC= 90 , BD 是/ABC勺平分线，CEL BQ 垂足是E, BA和CE的延长线交于点F.(1)在图中找出与 AB腔等的三角

6、形，并证明你的结论；证明：BD= 2EC.1. C1 2. D【解析】/ BCAf2(180 /A) = 75 , / BCD= / BCAr / DCAf / BCA-ZA= 75 -30 =45 .3. C【解析】作PQL MNe Q 由PMh PN知PQ垂直平分 MN. MQ= 1./AOB= 60 , 1OP= 12, /. OQ= 2OP= 6,。阵OQ- MQ= 6-1=5.4. C【解析】如图，以BC为边作等腰直角三角形 EBC延长BE交A叶F,得4ABF 是等腰直角三角形，作 EGLCD于G,得AEG0等腰直角三角形，在矩形 ABCD 中剪去AABF ABCE ECG导到四边形

7、EFDG此时剩余部分的面积最小，最111小值为 4X62*4X4.x3X62X3X3= 2.5 ,应选 C.5. C 【解析】.AB= AQ AD是/BAC勺平分线，. ADI BQ BD= CDBD=、AE2-aD = 4, /. BC= 2BD= 8,应选 C6. 20【解析】过点A作AD/ l 1,根据平行线的性质可得/ BAD=/ B . AD/ 12,从而得到/ DAC =/ a=40 .再根据等边 ABC可得到/ BAC= 60 ,B = / BAD= / BAC /DA年 60 -40 =20 .7. 12【解析】设/A=x, .AP=PiP2=P2P3=R3Pi4=Pi4A,

8、./A= /APR=/AP3Pi4=x, ./P2RP3=/R3R4R2 = 2x,./P3PP4=/R2Pi3Ri = 3x, ， /BP6P8=/RP9B=7x,./APR = 7x, / APR = 7x.在 APR 中，/A+ /APR 十 /APP7=i80 ,即 x+7x+7x=i80 ,解得 x=i2 .8. 解：(i)画图正确，角度标注正确，如图 (2)考虑直角顶点，只有点A,B, D三种情况.当点A为直角顶点时，如图，止匕时 y = 90 x.当点B为直 i .角顶点时，再分两种情况：假设/ DB890 ,如图，此时y = 90 +/00 i-x) =i35 于.假设/AB氏

9、90 ,如图，止匕时y=90 +x.当点D为直角 顶点时，又分两种情况：假设4ABD是等腰三角形，如图，此时y=450 +(90 -x) =i35 x.假设DBB等腰三角形，如图，止匕时 x=45 , 45 y 909.解：(i)把点 A(4, 0), B(i, 3)代入抛物线 y=ax2+bx 中，得 0-i6a + 4b?3 = a + b,a = - 1.c解得-a抛物线表达式为：y = -x2+4x (2)点C的坐标为(3, 3),点b = 4,B的坐标为(1, 3),以点C, M, N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：以点 M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2, CM

10、MN /CMN90 ,那么 CB阵MHNBC= MH= 2, BM= HN= 3 2=1, /. M(1, 2), N(2,1 50),由勾股定理得MC=422+12 =75,. SACMIN= 2 XV5x 75=5;以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3,作辅助线，构建如下图的两直角三角形：RtANEMff口 Rt/XMDC 彳导 RtANEIMRtAMDC. M氏ME= 2, EM1 29 一 .= CD= 5,由勾股定理得 CM= 2/2 5 5 =#29,.$ cme-X J29x 299 = ；以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4, CN= MN / MNC= 90 ,作辅助

11、线，1同理得CN=73 +5 =yf34,SCM心2xV34x亚 =17；以点N为直角顶点1,且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5,同理得CN=132+1 =匹, S CMN 210义匹 =5;以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形.综上.5 29所述， CMN勺面积为2或5或17或510 .解：满足条件的所有等腰三角形如以下图所示：解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类.11 .解：如图a,延长AC作FDBC于点D, FEAC于点E,易得四边形CDFE是正方形，那么 CD= DF= FE= EC；在等腰直角 ABC中，AG= BG= 1, A

12、B= AF,AB= gC+ BC = #12+12 =/，.AF= *.在 RtAEF中，（1 +ECf + EF = AF,即（1 +DF）2+DF=（V2）2,解得 DF= 3;如图b,延长BQ彳FDBC于点D,延长CA彳FECA于点E,易得四边形CDF盅正方形，那么 CD= DF= FE= EC.在 RtzAEF中，（EC 1）2+Ep=AF2,即(FD1)2+FD = (啦)2,解得FD= 3尸.综上可知，点F到BC的距离为生尸或 31212 . 解：(1)将 A(1, 0), B(3, 0), C(0, -3)代入抛物线 y = ax2+bx+c 中,ab+c=0,a=1,得9a+3

13、b+c = 0,解得b= 2,故抛物线的解析式为y = x2-2x-3 c= - 3,c= - 3, 如图，抛物线的对称轴为 x=母=1,设M(1, m), A(1, 0), C(0, 3), 2a那么 mA= m + 4, mC= (3 + m)2+1 = m + 6m+ 10, AC= 10.假设 MA= MC 那么 MA= MC,彳#M + 4=M +6m10,解得 m= 1;假设 MA= AC 那么 MA= AC, 得 m+4=10,得 m=46;假设 MC= AQ 那么 MC= AC,得 n2+6m 10= 10, 得m = 0, m= 6,当m= 6时，M A, C三点共线，不构成三角形，不合题 意，故舍去.综上可知，符合条件的M点的坐标为(1 , 6)(1 , -1,1)(1 , 0)13 . 解：(1) AABID 4ACF 证明：: